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2008年广东高考理科数学真题及答案.doc
2008 年广东高考理科数学真题及答案
本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试
室号、座位号填写在答题卡上．用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应
位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息
点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；
不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息
点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：如果事件 A B， 互斥，那么 (
P A B
)
(
)
P A
(
P B
)
．
已知 n 是正整数，则
n
a
n
b
(
)(
a b a
n
1
n
a
2
b
ab
n
2
b
n
1
)
．
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．已知0
a ，复数 z 的实部为 a ，虚部为 1，则 z 的取值范围是（
2
）
A． (1 5)，
B． (1 3)，
C．(1 5)，
D． (1 3)，
2．记等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 1
a ， 4
S ，则 6S （
20
）
A．16
B．24
1
2
C．36
3．某校共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如表 1．已
知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到二年级女生的概率
是 0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生，
则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）
D．48
一年级 二年级 三年级
女生 373
男生 377
x
370
y
z
4．若变量 x
y， 满足
A．24
A．90
B．18
2
y
x
≤
2
x
y
≤
0
x
≥
，
0
y
≥
，
B．80
，
C．16
40
50
，
则 3
z
x
D．12
表 1
的最大值是（ ）
2
y
C．70
D．40
5．将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示 A B C， ， 分别是 GHI△ 三边的中点）得到几何体
如图 2，则该几何体按图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（
）
G
D
H
B
A
I
C
E
F
图 1
A
侧视
B
C
B
B
B
B
E
D
E
F
图 2
E
A．
B．
E
E
C．
D．
6．已知命题 :p 所有有理数都是实数，命题 :q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命
题的是（ ）
A． (
)p
q
B． p q
C．(
p
)
(
q
)
D． (
p
)
(
q
)
7．设 a R ，若函数
y
e
ax
， x R 有大于零的极值点，则（
3
x
）
A．
a
3
B．
a
3
C．
a
1
3
D．
a
1
3
8．在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点O E， 是线段OD 的中点， AE 的延长线与
CD 交于点 F ．若 AC
A．
1
4
a
1
2
b
B．
a ， BD
2
3
a
1
3
b
b ，则 AF
（
1
4
）
b
D．
1
3
a
2
3
b
a
C．
1
2
二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．
（一）必做题（9~12 题）
开始
9．阅读图 3 的程序框图，若输入
a
（注：框图中的赋值符号“ ”也可以写成“ ”或“: ”）
（ k 是正整数）的展开式中， 8x 的系数小于
4m ， 6
．
n ，则输出
2 6
)kx
，i
输入 m n，
1i
a m i
n 整除 a?
是
输出 a i，
结束
图 3
否
10．已知
(1
120，则 k
11．经过圆 2
x
．
2
x
2
y
的圆心C ，且与直线
0
x
y 垂直
0
的直线方程是
．
12．已知函数 ( )
f x
(sin
x
cos )sin
x
x
， x R ，则 ( )
f x 的
最小正周期是
二、选做题（13—15 题，考生只能从中选做两题）
．
13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线 1
C C， 的极坐标方
2
程分别为 cos
，
3
4cos
，≥ ≤
0 0
π
2
，则曲
线 1C 与 2C 交点的极坐标为
．
14．（不等式选讲选做题）已知 a R ，若关于 x 的方程 2
x
a
x
1
4
a
有实根，则
0
．
a 的取值范围是
15．（几何证明选讲选做题）已知 PA 是圆O 的切线，切点为 A ，
直径， PC 与圆O 交于点 B ，
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分 13 分）
PB ，则圆O 的半径 R
PA ． AC 是圆 O 的
2
．
1
已知函数 ( )
f x
A
sin(
x
A
)(
0 0
，
π)
， x R 的最大值是 1，其图像经过点
M
π 1
， ．
3 2
（1）求 ( )
f x 的解析式；
（2）已知
，
π0
， ，且
2
17．（本小题满分 13 分）
(
f ，
)
3
5
f ，求 (
(
f 的值．
)
)
12
13
随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检，其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等
品 20 件、次品 4 件．已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1
万元，而 1 件次品亏损 2 万元．设 1 件产品的利润（单位：万元）为．
（1）求的分布列；
（2）求 1 件产品的平均利润（即的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1% ，一等品率提高为 70% ．如果
此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元，则三等品率最多是多少？
18．（本小题满分 14 分）
设
b ， 椭 圆 方 程 为
0
2
x
2
b
2
2
2
y
b
， 抛 物 线 方 程 为
1
2
)
8(
．如图 4 所示，过点 (0
y b
x
作 x 轴的平行线，与
抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的
右焦点 1F ．
b ，
2)
F
y
F
F1
G
x
B
A
O
图 4
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设 A B， 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 P ，使得
为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这
ABP△
些点的坐标）．
19．（本小题满分 14 分）
设 k R ，函数
( )
f x
的单调性．
20．（本小题满分 14 分）
1
1
x
x
，
x
1
1
， ≥
x
1
， ( )
F x
( )
f x
，x R ，试讨论函数 ( )F x
kx
如图 5 所示，四棱锥 P ABCD
的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形，其中 BD
是圆的直径，
ABD
60
，
45
，PD 垂直底面 ABCD ，
PD
2 2
R
，E F，
P
分别是 PB CD， 上的点，且
，过点 E 作 BC 的平行线交 PC 于G ．
BDC
PE DF
EB
FC
（1）求 BD 与平面 ABP 所成角的正弦值；
（2）证明： EFG△
是直角三角形；
（3）当
时，求 EFG△
PE
EB
1
2
E
G
的面积．
D
F
A
B
C
图 5
21．（本小题满分 12 分）
设 p q， 为实数， ， 是方程 2
x
px q
的两个实根，数列{ }nx 满足 1x
0
p ，
2x
2
p
，
q
x
n
px
n
1
qx
n
2
（ 3 4
n ，，…）．
（1）证明：
，
p
q ；
（2）求数列{ }nx 的通项公式；
（3）若 1p ，
q ，求{ }nx 的前 n 项和 nS ．
1
4
参考答案
一、选择题：C D C C
A D B B
1．C【解析】
z
a
12
，而
0
a
2
，即
1
a
2
51
，
z
1
5
2．D【解析】
S
4
62
d
20
，
3d
，故
S
6
3
15
d
48
3．C【解析】依题意我们知道二年级的女生有 380 人，那么三年级的学生的人数应该是
2000
，即总体中各个年级的人数比例为
，故在分层
2:3:3
380
377
373
500
370
抽样中应在三年级抽取的学生人数为
64
4．C
5．A
2
8
16
6．D【解析】不难判断命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，从而上述叙述中只有 (
为真命题
p
)
(
q
)
7．B【解析】 '( ) 3
x
f
ax
ae
，若函数在 x R 上有大于零的极值点，即 '( ) 3
f
ax
ae
0
有正根。当有 '( ) 3
x
f
ax
ae
成立时，显然有 0
a ，此时
0
x
1
a
ln(
们马上就能得到参数 a 的范围为
a 。
3
x
3
a
，由 0
x 我
)
8．B
二、填空题：
9．【解析】要结束程序的运算，就必须通过 n 整除 a 的条件运算，而同时 m 也整除 a ，那
么 a 的最小值应为 m 和 n 的最小公倍数 12，即此时有 3
r
6
i 。
(
C kx
按二项式定理展开的通项为
，我们知道 8x
10．【解析】
2 6
)kx
r
C k x
1
rT
(1
r
6
)
2
2
r
r
的系数为 4
C k
6
4
15
k
4
，即 4
15
k
120
，也即 4
k ，而 k 是正整数，故 k 只能取 1。
8
11．【解析】易知点 C 为 ( 1,0)
，而直线与
x
y 垂直，我们设待求的直线的方程为
0
y
，将点 C 的坐标代入马上就能求出参数 b 的值为 1b ，故待求的直线的方程为
x b
x
y 。
1 0
12．【解析】
( )
f x
的最小正周期
T
2
x
sin cos
x
x
1 cos 2
x
2
1
2
sin 2
x
2
2
cos(2
x
4
)
，故函数
1
2
sin
2
2
。
二、选做题（13—15 题，考生只能从中选做两题）
13．【解析】由 cos
4cos
3
(
0,0
)
2
解得
2 3
6
，即两曲线的交点为 (2 3,
)
6
。
14．
10,
4
15．【解析】依题意，我们知道 PBA
PAC
,由相似三角形的性质我们有
PA PB
2
AB
R
,即
R
PA AB
2
PB
2
2
1
2
2
2 1
3
。
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
1
2
16．解：（1）依题意有 1A ，则 ( )
f x
)
x
，将点
3
代入得
)
sin(
sin(
，
M
)
，
，故 ( )
f x
sin(
x
cos
x
；
而 0 ，
（2）依题意有
3
cos
5
6
,cos
2
，而 ,
12
13
(0,
)
2
，
1
(
,
3 2
)
2
3
5
4
5
sin
3
1 ( )
5
2
,sin
1 (
12
13
2
)
，
5
13
)
(
f
cos(
)
cos
sin sin
cos
17．解：（1）的所有可能取值有 6，2，1，-2；
(
P
6)
(
P
1)
20
200
，
0.1
(
P
2)
4
200
0.02
故的分布列为：
3 12
5 13
126
200
。
4
5
5 13
56
65
(
P
，
0.63
2)
50
200
0.25
6
2
1
0.63
P
6 0.63 2 0.25 1 0.1 ( 2) 0.02
E
0.25
0.1
（2）
-2
0.02
4.34
（3）设技术革新后的三等品率为 x ，则此时 1 件产品的平均利润为
x
E x
( ) 6 0.7 2 (1 0.7 0.01
( 2) 0.01 4.76
(0
x
x
)
0.29)
依题意， ( ) 4.73
E x
，即 4.76
x
4.73
，解得 0.03
x
所以三等品率最多为3%
18．解：（1）由 2
8(
x
y b
得
)
y
21
x
8
，
b
当
y
b 得
2
x ，G 点的坐标为 (4,
4
b ，
2)
y
'
x ，
1
4
'|
xy
，
4
1
过点 G 的切线方程为 (
b
y
2)
即
4
x
y
，
x b
2
y
F
F1
G
x
B
A
O
图 4
令 0
y 得 2
， 1F 点的坐标为 (2
b
x
,0)b
，
由椭圆方程得 1F 点的坐标为 ( ,0)b ， 2 b b
即 1b ，
即椭圆和抛物线的方程分别为
2
x
2
2
y
和 2
x
1
8(
y
1)
；
（2）过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P ,
以 PAB
若以 APB
为直角的 Rt ABP
为直角，设 P 点坐标为
21( ,
x
只有一个，同理以 PBA
1)
为直角的 Rt ABP
只有一个。
x ， A 、 B 两点的坐标分别为 (
2,0)
和
8
( 2,0) ，
PA PB x
2
2 (
1
8
2
x
2
1)
1
64
4
x
5
4
2
x
1 0
。
关于 2x 的二次方程有一大于零的解， x 有两解，即以 APB
因此抛物线上存在四个点使得 ABP
19．解：
为直角三角形。
为直角的 Rt ABP
有两个，
( )
F x
( )
f x
kx
1
1
kx
,
x
1,
1
kx
,
x
1,
x
x
，
'( )
F x
1
(1
)
x
1
2
x
k
,
2
x
1,
k
,
x
1,
1
对于
( )
F x
1
1
x
(
kx x
1)
，
当 0
k 时，函数 ( )F x 在 (
上是增函数；
,1)
当 0
k 时，函数 ( )F x 在
(
,1
对于
( )
F x
1
x
1
2
(
k x
1)
，
1
k
)
上是减函数，在
(1
1
k
,1)
上是增函数；
1, 上是减函数；
当 0
k 时，函数 ( )F x 在
1,1
中，
k 时，函数 ( )F x 在
20．解：（1）在 Rt BAD
当 0
1
4k
上是减函数，在
2
1
1
4k
,
2
上是增函数。
ABD
60
，
AB R AD
,
3
R
而 PD 垂直底面 ABCD，
PA
2
PD AD
2
2
(2 2 )
R
2
( 3 )
R
11
R
PB
2
PD BD
2
2
(2 2 )
R
2
(2 )
R
2 3
R
,
在 PAB
中， 2
PA
2
AB
2
PB
,即 PAB
为以 PAB
为直角的直角三角形。
P
GE
D
F
C
图 5
A
B
设点 D 到面 PAB 的距离为 H ,
由 P ABD
V
D PAB
V
有 PA AB H AB AD PD
,
即
H
AD PD
PA
R
3 2 2
R
11
R
2 66
11
R
，
sin
H
BD
/ /
;
66
11
, PE
PG
EB GC
(2)
EG BC
即
,
GF PD
/ /
（3）
时
PG DF
GC DC
1
2
PE
EB
1
3
EFG
EG PE
BC PB
1
3
R
2
,而 PE DF
FC
BC
EB
, GF
,
， GF
EG
,
EFG
是直角三角形；
,
1
3
GF CF
PD CD
,
2
3
即
EG
BC
cos 45
2
3
,
R GF
2
3
PD
2
3
2 2
R
4 2
3
R
,
的面积
S
EFG
1
2
EG GF
1
2
2
3
R
4 2
3
R
21．解：（1）由求根公式，不妨设 ，得
p
4
9
2
p
2
2
R
4
q
,
p
4
q
2
p
2
p
4
q
p
2
p
2
4
q
2
p
2
p
，
p
4
q
p
2
p
2
4
q
q
2
p
2
（2）设
x
n
sx
n
1
(
t x
n
1
sx ，则
)
n
2
x
n
(
s
)
t x
n
1
stx ，由
2
n
x
n
px
n
1
qx
n
2
得，
s
p
t
st
q
，消去t ，得 2
s
s
由题意可知， 1
2,
s
ps q ，s 是方程 2
x
0
px q
的根，
0
①当 时，此时方程组
s
p
t
q
st
s
的解记为 1
t
1
或
s
2
t
2
x
n
x
n
1
(
x
n
1
x
n
2
),
x
n
x
n
1
(
x
n
1
x
n
2
),
即
x
n
t x 、
1
1
n
x
n
t x 分别是公比为 1 s 、 2 s 的等比数列，
2
1
n
由等比数列性质可得
x
n
x
n
1
(
x
2
,
n
2
)
x
1
x
n
x
n
1
(
x
2
,
n
2
x
1
)
两式相减，得
(
)
nx
1
(
x
2
n
x
1
)
2
(
x
2
n
x
1
)
2
x
2
2
p
1,
q x
p ，
2
x ， 1
x
2
2
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