2020年湖南高考文科数学试题及答案
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡
皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1.已知集合
A
{ |
x x
2
3
x
4 0},
B
A.{ 4,1}
C.{3,5}
2.若
z
1 2i
3
,则|
i
| =z
A.0
C. 2
{ 4,1,3,5}
,则 A B
B.{1,5}
D.{1,3}
B.1
D.2
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正
方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值
为
A. 5 1
4
B. 5 1
2
C. 5 1
4
D. 5 1
2
4.设 O为正方形 ABCD的中心,在 O,A,B,C,D中任取 3 点,则取到的 3 点共线的概率为
A.
C.
1
5
1
2
B.
D.
2
5
4
5
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y和温度 x(单位:℃)的关系,在 20 个不同的温度
条件下进行种子发芽实验,由实验数据 (
,
x y
i
i
)(
i 得到下面的散点图:
,20)
1,2,
由此散点图,在 10℃至 40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y和温度 x的回归方程
类型的是
A. y
a bx
C.
y
a b
ex
B.
y
a bx
2
D.
y
a b
ln
x
6.已知圆 2
x
2
y
6
x
,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
0
A.1
C.3
7.设函数
( )
f x
x
cos(
B.2
D.4
在[−π,π]的图像大致如下图,则 f(x)的最小正周期为
)
π
6
A. 10π
9
C. 4π
3
8.设
a
log 4
3
,则 4 a
2
A. 1
16
B. 1
9
9.执行下面的程序框图,则输出的 n=
B. 7π
6
D. 3π
2
C. 1
8
D. 1
6
A.17
B.19
C.21
D.23
10.设{ }na 是等比数列,且 1
a
a
2
a
3
1
a
, 2
4+
a a
3
a
,则 6
2
a
7
a
8
A.12
B.24
C.30
D.32
11.设 1
,F F 是双曲线
2
C x
:
2
2
y
3
的两个焦点,O 为坐标原点,点 P 在C 上且|
1
OP ,则
| 2
PF F△
1 2
的
面积为
A. 7
2
,A B C 为球O 的球面上的三个点,⊙ 1O 为 ABC△
C. 5
2
B.3
12.已知 ,
D.2
的外接圆,若⊙ 1O 的面积为 4π ,
AB BC AC OO
1
,则球O 的表面积为
A. 64π
B. 48π
C.36π
D.32π
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.若 x,y满足约束条件
y
x
2
2 0,
1 0,
x
y
1 0,
y
则 z=x+7y的最大值为.
14.设向量 (1, 1),
a
b
(
m
1,2
m
4)
,若 a
b ,则 m .
15.曲线 ln
y
x
的一条切线的斜率为 2,则该切线的方程为.
x
1
16.数列{ }na 满足 2
n
( 1)
a
n
a
n
3
n
1
,前 16 项和为 540,则 1a .
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生
都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.(12 分)
某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为 A,B,C,D 四个等级.加工业务约
定:对于 A 级品、B 级品、C 级品,厂家每件分别收取加工费 90 元,50 元,20 元;对于 D 级品,厂家
每件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为 25 元/件,
乙分厂加工成本费为 20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了 100 件这
种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
频数
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
频数
A
40
A
28
B
20
B
17
C
20
C
34
D
20
D
21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率;
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂
承接加工业务?
18.(12 分)
ABC△
的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知 B=150°.
(1)若 a= 3 c,b=2 7 ,求 ABC△
(2)若 sinA+ 3 sinC= 2
2
,求 C.
的面积;
19.(12 分)
如图, D 为圆锥的顶点, O 是圆锥底面的圆心, ABC△
是底面的内接正三角形, P 为 DO 上一点,
∠APC=90°.
(1)证明:平面 PAB⊥平面 PAC;
(2)设 DO= 2 ,圆锥的侧面积为 3π ,求三棱锥 P−ABC的体积.
20.(12 分)
已知函数 ( )
f x
x
e
(
a x
2)
.
(1)当 1a 时,讨论 ( )
f x 的单调性;
(2)若 ( )
f x 有两个零点,求 a 的取值范围.
21.(12 分)
已知 A、B分别为椭圆 E:
2
2
x
a
2
y
(a>1)的左、右顶点,G为 E的上顶点,
1
AG GB
8
,P为直线
x=6 上的动点,PA与 E的另一交点为 C,PB与 E的另一交点为 D.
(1)求 E的方程;
(2)证明:直线 CD过定点.
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程为
x
y
,
k
cos
k
sin
t
t
(t 为参数 ) .以坐标原点为极点, x 轴正半轴为
极轴建立极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程为 4 cos
16 sin
.
3 0
(1)当 1
k 时, 1C 是什么曲线?
(2)当 4
k 时,求 1C 与 2C 的公共点的直角坐标.
23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分)
已知函数 ( )
f x
| 3
x
1| 2 |
x
1|
.
(1)画出
y
( )
f x
的图像;
(2)求不等式 ( )
f x
(
f x
1)
的解集.
文科数学试题参考答案(A 卷)
2.C
6.B
10.D
3.C
7.C
11.B
4.A
8.B
12.A
14.5
15.y=2x
16.7
选择题答案
一、选择题
1.D
5.D
9.C
非选择题答案
二、填空题
13.1
三、解答题
17.解:(1)由试加工产品等级的频数分布表知,
甲分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 40
100
乙分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 28
100
;
0.4
0.28
.
(2)由数据知甲分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为
利润 65
25 −5 −75
频数 40
20
20
20
因此甲分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为
65 40 25 20 5 20 75 20 15
100
.
由数据知乙分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为
利润 70
30
0 −70
频数 28
17 34
21
因此乙分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为
70 28 30 17 0 34 70 21 10
100
.
比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.
18.解:(1)由题设及余弦定理得
28 3
c
2
2
c
2
2
3
c
cos150
,
解得
c (舍去), 2c ,从而 2 3
2
.
a
1 2 3 2 sin150
2
中, 180
B C
A
ABC△
的面积为
(2)在 ABC△
.
3
30
,所以
C
sin
A
3 sin
C
sin(30
C
)
3 sin
C
sin(30
故
sin(30
C
)
2
2
.
,
C
)
而 0
C
30
,所以30
C
45
,故
C .
15
19.解:(1)由题设可知,PA=PB= PC.
由于△ABC是正三角形,故可得△PAC≌△PAB.
△PAC≌△PBC.
又∠APC =90°,故∠APB=90°,∠BPC=90°.
从而 PB⊥PA,PB⊥PC,故 PB⊥平面 PAC,所以平面 PAB⊥平面 PAC.
(2)设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l.
由题设可得 rl= 3 , 2
l
2
r
.
2
解得 r=1,l= 3 ,
从而
AB .由(1)可得 2
PA
3
2
PB
2
AB
,故
PA PB PC
.
6
2
所以三棱锥 P-ABC的体积为
1 1
3 2
PA PB PC
1 1
3 2
(
6
2
3
)
.
6
8
20.解:(1)当a=1时,f(x)=ex–x–2,则 f x( )=ex–1.
当x<0时, f x( )<0;当x>0时, f x( )>0.
所以f(x)在(–∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.
(2) f x( )=ex–a.
当a≤0时, f x( )>0,所以f(x)在(–∞,+∞)单调递增,
故f(x)至多存在1个零点,不合题意.
当a>0时,由 f x( )=0可得x=lna.
当x∈(–∞,lna)时, f x( )<0;
当x∈(lna,+∞)时, f x( )>0.所以f(x)在(–∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增,
故当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=–a(1+lna).
(i)若0≤a≤
1
e
,则f(lna)≥0,f(x)在(–∞,+∞)至多存在1个零点,不合题意.
(ii)若a>
1
e
,则f(lna)<0.
由于f(–2)=e–2>0,所以f(x)在(–∞,lna)存在唯一零点.
由(1)知,当x>2时,ex–x–2>0,所以当x>4且x>2ln(2a)时,
( )
f x
e
x
2
x
2
e
(
a x
2)
e
ln(2 )
a
(
x
2
2)
(
a x
2)
2
a
.
0
故f(x)在(lna,+∞)存在唯一零点,从而f(x)在(–∞,+∞)有两个零点.
综上,a的取值范围是(
21.解:(1)由题设得 (
A a
1
e
,0),
AG a
( ,1)
GB
,
则
a
( , 1)
,+∞).
( ,0),
B a
G
(0,1)
.
.由
AG GB
8
得 2 1 8
a ,即 3
a .