2015 年江西高考理科数学试题及答案
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。
4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1) 设复数 z 满足
1+z
1 z
=i,则|z|=
(A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2
【解析】
1+
1
z
z
i
可得
z
i
1
1
i
(
i
(1
1)(1
)(1
i
i
i
)
)
i
,故可得|
| 1
z ,选择 A.
【点评】本题考查复数的运算。该题目在 高二数学(理)强化提高班 课程讲座 第四章 复数 第 02 讲 模
的运算部分做了专题讲解,高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同,考查的知识点及解题方法完全相
同。
(2)sin20°cos10°-cos160°sin10°=
(A)
3
2
(B)
3
2
(C) 1
2
(D) 1
2
【解析】本题三角函数公式,故可得
sin 20 cos10 -cos160 sin10 = sin 20 cos10 -cos 180 -20
(
。 。
。
。
。
。
。
。
)
sin10 = sin 20 cos10 + cos 20 sin10 = sin 20 +10 = sin 30 =
。
)
(
。
。
。
。
。
。
。
,选择 D.
1
2
【点评】本题考查三角函数公式。该题目在数学(理)强化提高班 课程讲座 第八章 三角函数 第 01 讲 三
角函数(一)部分做了专题讲解,高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同,考查的知识点及解题方法
完全相同。
(3)设命题 P: nN, 2n > 2n ,则 P 为
(A) n N,
2n > 2n (B) nN,
2n ≤ 2n
(C) n N,
2n ≤ 2n (D) nN,
2n = 2n
【解析】本题考查命题的否定,条件和结论都需要否定,因此选择 C.
【点评】本题考查命题的否定。该题目在数学(理)强化提高班 课程讲座 第十五章 常用逻辑语 第 01 讲
常用逻辑语(一)部分做了专题讲解,高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同,考查的知识点及解题
方法完全相同。
(4)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且
各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为
(A)0.648
(B)0.432
(C)0.36
(D)0.312
【解析】本题考查事件的概率,至少投中 2 次才能通过,那么投中的次数是 2 或 3,因此概率为
P C
(0.6) 0.4
,选择 A.
0.648
(0.6)
C
2
3
2
3
3
3
【点评】本题考查事件的概率。该题目在数学(理)强化提高班 课程讲座 第十四章 概率 第 02 讲 概率
(二)部分做了专题讲解,高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同,考查的知识点及解题方法完全相
同。
(5)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: 2
x
2
0,则 y0 的取值范围是
y
2 1
上的一点,F1、F2 是 C 上的两个焦点,若
1MF
2MF
<
(B)(- 36 , 36 )
2 3
3
2 3
3
) (D)(
,
)
(A)(- 33 , 33 )
(C)(
2 2
3
【解析】本题考查双曲线
2 2
3
,
uuuur uuuur
MF MF
2
通过 1
0
可得
(
x
0
3)(
x
0
3)
y
2
0
,而
0
2
x
0
2
y
2
0
,因此可得 2
y ,故答案为 A.
0
1
1
3
【点评】本题考查双曲线。该题目在数学(理)强化提高班 课程讲座 第十二章圆锥曲线的方程与性质 第
01 讲 圆锥曲线的方程与性质(一)部分做了专题讲解,高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同,考查
的知识点及解题方法完全相同。
(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,
高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆
为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”
已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有
A.14 斛
B.22 斛
C.36 斛
D.66 斛
【解析】本题考查空间立体几何,有四分之一圆弧的周长为 8 尺可以得出,
1 2
r
4
,
8
3 ,因此
r ,故体积为
16
3
1
3
Sh
1 1
3 4
2
r h
,通过计算可得
V
320
9
换算单位可得
320
9
1.62
,因此选择 B.
22
【点评】本题考查空间立体几何。该题目在数学(理)强化提高班 课程讲座 第十一章立体几何 第 01 讲
立体几何(一)部分做了专题讲解,高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同,考查的知识点及解题方
法完全相同。
(7)设 D 为 ABC 所在平面内一点 =3 ,则
(A) =
+
(B)
=
(C) =
+
(D)
=
【解析】本题考查平面向量,画出图形,
uuur uuur uuur uuur
1
AD AC CD AC
3
uuur uuur
BC AC
1
3
uuur uuur
(
AC AB
)
uuur
AB
1
3
uuur
AC
4
3
可知答案为 A.
【点评】本题考查平面向量。该题目在数学(理)强化提高班 课程讲座 第九章平面向量 第 01 讲 平面向
量(一)部分做了专题讲解,高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同,考查的知识点及解题方法完全
相同。
(8)函数 f(x)=
的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为
(A)(
),k
(b)(
),k
(C)(
),k
(D)(
),k
【解析】本题考查三角函数的单调性,根据图像确定函数的解析式,然后再确定单调区间,故可得答案为
B.
【点评】本题考查三角函数的单调性。该题目在数学(理)强化提高班 课程讲座 第八章三角函数第 03 讲
三角函数(三)部分做了专题讲解,高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同,考查的知识点及解题方
法完全相同。
(9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=
(A)5
(B)6 (C)7 (D)8
【解析】本题考查算法,过程为
【点评】本题考查算法。该题目在数学(理)强化提高班 课程讲座 第十三章算法与统计 第 01 讲 算法与
统计 部分做了专题讲解,高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同,考查的知识点及解题方法完全相同。
(10)
的展开式中, y²的系数为
(A)10 (B)20 (C)30(D)60
【解析】本题考查二项式公式,把 x+y 看做是一个整体,因此可得
2
x y 只能是 2
5
5 (
C x
2 2
) (
x
3
y 中的某一项,故可得系数为: 2
C C
5
1
3
)
10 3 30
,故选择 C.
(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视
图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20,则 r=
(A)1(B)2(C)4(D)8
【解析】本题考查三视图,
由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为 r,圆柱的高为
2r,其表面积为
1 4
2
2
r
r
2
r
r
2
2
r
2
r
=
2
5
r
2
4
r
=16 + 20,解得 r=2,故选 B.
【点评】本题考查三视图。该题目在数学(理)强化提高班 课程讲座 第十一章立体几何 第 01 讲 立体几
何(一)部分做了专题讲解,高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同,考查的知识点及解题方法完全
相同。
12.设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a 1,若存在唯一的整数 x0,使得 f(x0) 0,则 a 的取值范围是( )
A.[- ,1) B. [- , ) C. [ , ) D. [ ,1)
【解析】
【点评】本题考查导数的应用。该题目在数学(理)强化提高班 课程讲座 第四章函数的值域、最值求法
及应用 第 02 讲 函数的值域、最值求法及应用(二)部分做了专题讲解,高考原题与讲义中给出的题目只
是数字不同,考查的知识点及解题方法完全相同。
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)
题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分
第 II 卷
(13)若函数 f(x)=xln(x+
a )为偶函数,则 a=
2x
【解析】本题考查偶函数,因此有
f
(
x
)
x
ln(
x
a x
2
)
( )
f x
x
ln(
x
a x
2
)
,故可得
x
a x
2
1
a x
2
x
因此可得 1a .
【点评】本题考查偶函数。该题目在数学(理)强化提高班 课程讲座 第三章函数的性质及其应用 第 03
讲 函数的性质及其应(三)部分做了专题讲解,高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同,考查的知识
点及解题方法完全相同。
(14)一个圆经过椭圆
的三个顶点,且圆心在 x 轴上,则该圆的标准方程为
。
【解析】本题考查圆的方程,设圆心坐标为(a,0),因此可得
2
a
,或 2
a
4
4
a
解得
a
4
4
a ,因此圆的方程为
3
2
(
x
3
2
2
)
2
y
25
4
【点评】本题考查圆的方程。该题目在数学(理)强化提高班 课程讲座 第十二章圆锥曲线的方程与性质 第
02 讲 曲线的方程与性质(一)部分做了专题讲解,高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同,考查的知
识点及解题方法完全相同。
(15)若 x,y 满足约束条件
则
y
x
的最大值为
.
【解析】本题考查线性规划,根据题意画出可行域,
y
x
可以看做是与原点连线的斜率,因此如果
y
x
最大值,也就是求斜率的最大值,通过图形观察可知在(1,3)
处有最大值是 3,因此
x
y
的最大值是 3.
【点评】本题考查线性规划。该题目在高一数学下(讲座 2)强化提高班 课程讲座 第五章不等式 第 06 讲
不等式(六)部分做了专题讲解,高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同,考查的知识点及解题方法
完全相同。
(16)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值范围是
【解析】如下图所示,延长 BA,CD 交于点 E,则可知
ADE
中,
DAE
105
。,
ADE
45
。,
E
30
。,设
AD
1=
2
x ,则
AE
=
2
2
,
x DE
=
2
x
6
4
CD m BC
,
Q
2,
(
2
6
4
x m
)sin15
。 ,故可得
1
2
6
4
x m
6
2
所以 0
x ,而
4
AB
6
4
2
x m
2
2
x
6
4
2
x m
6
2
2
2
x
因此可得 AB 的范围是 ( 6
2, 6
2)
.
【点评】本题考查三角形。该题目在数学(理)强化提高班 课程讲座 第八章三角函数 第 04 讲 三角函数
(四)部分做了专题讲解,高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同,考查的知识点及解题方法完全相
同。
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分 12 分)
Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0,
(Ⅰ)求{an}的通项公式:
(Ⅱ)设
,求数列 }的前 n 项和
【解析】
(Ⅰ)因为 2
a
n
2
a
n
4
S
n
,所以 2
a
1
n
3
2
a
n
1
4
S
n
1
,两式相减可得 2
a
n
3
a
2
1
n
2
a
n
2
a
n
1
4
a
n
即
(
a
n
a
n
1
)(
a
n
a
n
1
)
2(
a
n
a
n
1
)
Q
,
na
0
,
所以{ }na 是等差数列,将 1n 代入 2
a
n
2
a
n
4
S
n
因此可得通项公式为
na
3 (
n
1) 2
2
n
1
a
n
a
1
n
,故可得
0
a
a
1
n
2
n
3
中可得 1
a 或 1
3
a (舍去)
1
(Ⅱ)
n
n
3)
nb
(2
1 1 1
2 3 5
(
1
1)(2
1
7
1
5
nT
L
,因此它的前 n 项和为
1
n
1
(
2 2
1
1 2
n
1 2
1
n
3
)
2
1
n
)
3
1 1
(
2 3
1
n
)
3
2
【点评】本题考查数列。该题目在数学(理)强化提高班 课程讲座 第六章数列 第 05 讲 数列(五)部分
做了专题讲解,高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同,考查的知识点及解题方法完全相同。
(18)如图,,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥
平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。
(1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC
(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值