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2007年湖北高考文科数学真题及答案.doc
2007 年湖北高考文科数学真题及答案
本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上指定位置.
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷上无效．
3．将填空题和解答题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题
对应的答题区域内．答在试题卷上无效．
4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1． tan 690°的值为（
）
Ｂ． 3
Ａ． 3
3
3
9
U
是小于 的正整数 ，
A ，，， ，
B ，，， ，那么 U
Ｄ． 3
3 4 5 6
1 2 3 4
Ｃ． 3
痧
2．如果
|
x x
B
（
A
U
）
Ａ．
1 2，
Ｂ．
3 4，
Ｃ．
5 6，
Ｄ．
7 8，
3．如果 2
x
3
n
2
3
x
的展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最小值为（
）
y
Ａ．10
４．函数 2
2
x
x
x
x
Ａ．
Ｃ．
log
log
y
y
2
2
1
1
1
1
Ｂ．6
x
1(
1
x
Ｃ．5
Ｄ．3
x
0)
的反函数是（
）
(
x
1)
Ｂ．
y
log
(
x
1)
Ｄ．
y
log
x
x
x
x
1
1
1
1
2
2
(
x
1)
(
x
1)
5．在棱长为 1 的正方体
ABCD A B C D
1
1
中，E F， 分别为棱 1
AA BB， 的中点，
1
G 为棱 1 1A B 上的一点，且 1
AG
≤ ≤ ．则点 G 到平面 1D EF 的距离
1)
1 1
(0
为（
）
Ａ． 3
Ｂ． 2
2
Ｃ． 2
3
Ｄ． 5
5
1D
G
D
1A
E
A
1C
C
1B
F
B
6．为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校 100 名高中男生的体重情况，根据所
得数据画出样本的频率分布直方图如右图所示．根据此图，估计该校 2000 名高中男生中体
重大于 70.5 公斤的人数为（
A．300
D．450
B．360
C．420
）
频率
组距
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
54.556.558.560.562.564.566.568.570.572.574.576.5
体重（kg）
7．将 5 本不同的书全发给 4 名同学，每名同学至少有一本书的概率是（
）
A．
15
64
8．由直线
y
C．
B．
24
125
(
x
x 上的一点向圆
15
128
1
D．
48
125
2
1
y
引切线，则切线长的最小值为（
2
3)
）
A．1
B． 2 2
C． 7
D．3
9．设 (4 3)
，a
，a 在 b 上的投影为
5 2
2
，b 在 x 轴上的投影为 2，且|
| 14≤b
，则 b 为（
）
A．(2 14)，
B．
2
2
，
7
C．
22
，
7
D．(2 8)，
10．已知 p 是 r 的充分条件而不是必要条件，q 是 r 的充分条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s
的必要条件，现有下列命题：
① s 是 q 的充要条件；
② p 是 q 的充分条件而不是必要条件；
③ r 是 q 的必要条件而不是充分条件；
④ p 是 s 的必要条件而不是充分条件；
⑤ r 是 s 的充分条件而不是必要条件．
则正确命题的序号是（
A．①④⑤
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填在答题卡相应位置上．
B．①②④
C．②③⑤
D．②④⑤
）
11．设变量 x
y， 满足约束条件
x
x
2
3
≥ ，
0
y
y
≤ ≤ ，
0
≥ ，
3
x
则目标函数 2x
y 的最小值为
．
12．过双曲线
2
x
4
2
y
3
1
左焦点 1F 的直线交曲线的左支于 M N， 两点， 2F 为其右焦点，
MF
则 2
NF MN
2
的值为______．
13 ． 已 知 函 数
y
( )
f x
f
(1)
f
(1)
＿＿＿＿．
的 图 象 在 点 (1
M
f，
(1))
处 的 切 线 方 程 是
y
x
1
2
， 则
2
14．某篮球运动员在三分线投球的命中率是
．（用数值作答）
1
2
15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知
药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时
间 t （小时）成正比；药物释放完毕后， y 与 t 的函数关系式为
1
t a
y
1
16
（ a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回
，他投球 10 次，恰好投进 3 个球的概率为
y （毫克）
答下列问题：
（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时
间t （小时）之间的函数关系式为
（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那
么从药物释放开始，至少需要经过
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分 12 分）
小时后，学生才能回到教室．
O 0.1
．
t （小时）
已知函数
( )
f x
2sin
2 π
4
x
3 cos 2
x
，
x
π π
， ．
4 2
（I）求 ( )
f x 的最大值和最小值；
（II）若不等式 ( )
f x m
在
2
x
π π
， 上恒成立，求实数 m 的取值范围．
4 2
17．（本小题满分 12 分）
如 图 ， 在 三 棱 锥 V ABC
中 ， VC
⊥ 底面
ABC
， AC
BC⊥ ， D 是 AB 的 中 点 ， 且
Ｖ
Ｃ
A
Ｄ
Ｂ
AC BC a
，
∠
VDC
0
π
2
．
（I）求证：平面VAB ⊥ 平面VCD ；
（II）试确定角的值，使得直线 BC 与平面VAB 所成的角为
π
6
．
18．（本小题满分 12 分）
某商品每件成本 9 元，售价为 30 元，每星期卖出 432 件，如果降低价格，销售量可以增加，
且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x （单位：元， 0
x≤ ≤ ）的平方成正
比，已知商品单价降低 2 元时，一星期多卖出 24 件．
（I）将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数；
（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
19．（本小题满分 12 分）
30
设二次函数
( )
f x
2
x
ax a
，方程 ( )
f x
x 的两根 1x 和 2x 满足
0
0
x
1
x
2
1
．
（I）求实数 a 的取值范围；
（II）试比较 (0)
f
(1)
f
f
(0)
与
1
16
的大小．并说明理由．
20．（本小题满分 13 分）
已知数列{ }na 和{ }nb 满足： 1 1
以 q 为公比的等比数列．
a ， 2
a ，
2
na ，
0
b
n
a a
1
n n
（
n N ），且{ }nb 是
*
（I）证明：
a
2n
a q
n
2
；
（II）若
c
n
a
2
n
1
22
a
n
，证明数列{ }nc 是等比数列；
（III）求和：
1
a
1
1
a
2
1
a
3
1
a
4
1
a
2
n
1
1
a
2
n
．
21．（本小题满分 14 分）
C
p， 作直线与抛物线 2
x
在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 (0
A B， 两点．
（I）若点 N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求 ANB△
（II）是否存在垂直于 y 轴的直线l ，使得l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若
p ）相交于
面积的最小值；
py
（
2
)
0
存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．
（此题不要求在答题卡上画图）
参考答案
y
C
B
A
O
N
x
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 50 分．
1．Ａ
6．Ｂ
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 25 分．
5．Ｄ
10．Ｂ
2．Ｄ
7．Ａ
3．Ｃ
8．Ｃ
4．Ａ
9．Ｂ
11．
3
2
14．
15
128
12．8
13．3
15．
y
0
10
t
，
1
16
t
，
；0.6
≤ ≤
t
1
10
1
10
t
，
1
10
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．
16．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和
性质解题的能力．
解：（Ⅰ）
∵
( )
f x
1 cos
π
2
2
x
3 cos 2
x
1 sin 2
x
3 cos 2
x
x
1 2sin 2
π
3
．
又
∵
x
π π
，
4 2
，
∴ ≤
π
6
2
x
π
3
≤ ，即
2π
3
2
≤
x
1 2sin 2
π
3
≤ ，
3
∴
( )
f x
max
3
，
( )
f x
min
2
．
（Ⅱ）
∵
( )
f x m
2
( ) 2
f x
m f x
( ) 2
，
x
π π
， ，
4 2
∴
( )
m f x
2
且
( )
m f x
，
2
min
max
1
∴
4m
，即 m 的取值范围是 (1 4)， ．
17．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运
算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．
解法 1：（Ⅰ） AC BC a
∵
CD AB∴
，又VC 底面 ABC ． VC AB∴
又 AB 平面VAB ，∴平面VAB 平面VCD ．
（Ⅱ） 过点C 在平面VCD 内作CH VD 于 H ，则由（Ⅰ）知CD 平面VAB ．
连接 BH ，于是 CBH
就是直线 BC 与平面VAB 所成的角．
是等腰三角形，又 D 是 AB 的中点，
．于是 AB 平面VCD ．
ACB
∴△
，
依题意
CBH
，所以
π
6
在
Rt△
CHD
中，
CH
2 sin
a
2
；
在
Rt△
BHC
中，
CH a
sin
π
6
，
a
2
∴
sin
∵
0
．
2
2
π
2
，
∴
π
4
．
故当
时，直线 BC 与平面VAB 所成的角为
π
4
π
6
．
解法 2：（Ⅰ）以CA CB CV
， ， 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴，建立如图所示的空间
直角坐标系，则
C
(0 0 0)
D
，，， ，，， ， ，，
( 0 0)
A a
(0
0)
B
a
2
a a
， ， ， ，，
2 2
2
0 0
V
0
tan
a
，
于是，
VD
a a
， ，
2 2
2 tan
a
2
，
CD
a a
， ， ，
2 2
0
AB
(
a a
， ， ．
0)
AB CD
·
(
从而
0
a a
， ， ， ，
0)
·
a a
2 2
AB VD
·
(
同理
a a
， ， ， ，
0)
·
a a
2 2
1
2
a
2
1
2
2
a
0 0
，即 AB CD
．
2
2
a
tan
1
2
a
2
1
2
a
2
0 0
，
， AB ∴
平面VCD ．
即 AB VD ．又 CD VD D
又 AB 平面VAB ．
∴平面VAB 平面VCD ．
（Ⅱ）设平面VAB 的一个法向量为 (
n
x y z
， ，
则由
n
·
AB
0
n
VD
，
·
0
．
得
a
2
ax ay
ax
2
y
0
，
2
2
az
tan
0
．
可取 (11 2 cot
，，
n
)
，又
BC
(0
， ， ，
0)
a
)
，
z
V
C
B
y
D
于是
sin
BC
BC
n
·
n
·
π
6
a
·
a
2 2cot
2
2
2
sin
，
x
A
即
sin
2
2
∵
0
π
2
，
∴ = ．
π
4
故交
= 时，直线 BC 与平面VAB 所成的角为
π
4
π
6
．
解法 3：（Ⅰ）以点 D 为原点，以 DC DB， 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴，建立如图所示
的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则
D
(0 0 0)
，，， ，
A
0
2
2
0
C
a
， ， ， ， ，
B
0
0
a
2
2
2
2
a
0 0
，， ，
V
AB
2
2
2
0
a
，，
2
tan
a
，于是
DV
2
2
2
0
a
，，
2
tan
a
DC
，
2
2
0 0
a
，， ，
(0 2 0)
， ， ．
a
AB DC
·
从而
(0 2 0)
， ，
a
·
2
2
0 0
a
，，
0
，即 AB DC
．
AB DV
·
同理
(0 2 0)
， ，
a
tan
a
2
0
a
，，
2
2
2
平面VCD ．
， AB ∴
又 DC DV D
又 AB 平面VAB ，
∴平面VAB 平面VCD ．
（Ⅱ）设平面VAB 的一个法向量为 (
n
x y z
， ，
)
，
0
，即 AB DV
．
AB
n
·
0
n
DV
，
·
则由
0
，得
2
ay
2
2
0
，
ax
2
2
az
tan
0
．
可取 (tan 0 1)
，， ，又
n
BC
2
2
a
，
2
2
0
a
， ，
V
C
D
x
A
y
B
BC
BC
n
·
n
·
π
6
2
2
2
sin
，
，
∵
0
，
∴ = ．
2 tan
a
2
1 tan
a
·
π
π
2
4
于是
sin
即
sin
π
2
π
4
故交
时，
即直线 BC 与平面VAB 所成角为
π
6
．
18．本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题
的能力．
解：（Ⅰ）设商品降价 x 元，则多卖的商品数为 2kx ，若记商品在一个星期的获利为 ( )
f x ，
则依题意有
( )
f x
(30
x
9)(432
kx
2
)
(21
x
)(432
kx
2
)
，
又由已知条件，
24
2k · ，于是有 6
k ，
2
所以
( )
f x
6
x
3
126
x
2
432
x
9072
，
x
[0 30]
， ．
（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有
( )
f x
18
x
2
252
x
432
18(
x
2)(
x
12)
．
x
0 2，
f x
( )
2
0
(2 12)，
12
0
12 30，
( )
f x
极小 极大
故 12
x 时 ， ( )
f x 达 到 极 大 值 ． 因 为 (0) 9072
f
， (12) 11264
f
， 所 以 定 价 为
元能使一个星期的商品销售利润最大．
30 12 18
19．本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算
能力．
解法 1：（Ⅰ）令
( )
g x
( )
f x
x
2
x
(
a
1)
x a
，
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