北航研究生矩阵理论A笔记.pdf-资料库

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北京航空航天大学矩阵理论 A 笔记任课教师：赵迪编辑：张京蕊

北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系写在前边编者按：矩阵理论 A 课程是我校一门研究生公共课程，本人特将 2008 年秋季本课程赵迪老师大班的笔记整理成电子版，以供后人学习、参考之用。本笔记包括七大部分，编号从零至六。众所周知，赵老师上课从不用课件，完全是板书，所以选这门课程的同学每堂课必然要仔仔细细的记笔记，虽然我把赵老师这门课程的笔记整理成了电子版，但仍不鼓励大家拿着打印稿，不记笔记，甚至不去上课。俗话说：“好记性不如烂笔头。”勤奋一些，平时认认真真把笔记记清，可以巩固对这门课程知识的记忆，为以后考试和应用打好基础，事半功倍。同时严正声明：禁止将此笔记用于任何商业用途。虽然这个电子版是我搞出来的，但我仍认为这套笔记的版权应该归赵老师或者北航理学院所有，希望同学不要因贪小利而忘大义。最后，希望这份电子版的笔记能够给同学们学习这门课程带来方便，祝同学们在北航生活、学习、工作愉快！矩阵理论 A 笔记

北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系目录 §0 补充公式................................... 1 §1 Jordan（约当）标准形（简介）.............. 11 §2 线性变换与矩阵............................ 24 §3 欧式空间与 R分解.......................... 48 Q §4 常用矩阵分解.............................. 74 §5 范数与级数................................ 81 §6 广义逆 + .................................. 97 A §7 直积拉直及应用........................... 105 矩阵理论 A 笔记

北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系 §0 补充公式令 A = (aij)n×n∈Cn×n，f(x) = a0 + a1x + … + amxm 定义 f(A) = a0I + a1A + … + amAm，其中 I = nI = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 若 g(x) = b0 + b1x + … + bkxk，f(x)•g(x)=g(x)•f(x)，则 f(A)•g(A)=g(A)•f(A) 分块公式令 A = A 1 0 ⎛ ⎜⎜ ⎝ 0 A 2 ⎞ ⎟⎟ ⎠ ，A1，A2 为方阵 A k 1 0 0 A k 2 ⎞ ⎟⎟ ⎠ 0 ( Af 2 ( ) * ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ sA A k 1 则：（1） k A = （2） ( Af ) = ( Af 1 0 ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎜⎜ ⎝ ) 令 A = A 1 O ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ A 2 则：（1） k A = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ （2） ( Af ) = ，f(x)为多项式 ⎞ )⎟⎟ ⎠ ，A1,…,As 为方阵 A k 2 ( ) * A k s ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ O ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ ( Af 1 ) O ( Af 2 ) ( ) * ( sAf ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ )⎟⎟ ⎠ 相似关系：A∽B，（P-1AP = B）则：（1）(P-1AP)k = P-1AkP，（k=0,1,2,…）（2）f(P-1AP) = P-1f(A)P，f(x)为多项式许尔公式（schur）：每个复方阵，A = (aij)n×n 都相似于上三角形。共 113 页矩阵理论 A 笔记第 1 页

北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系 λ 1 O ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ λ 2 ( ) ∗ λ n ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ 即： 1 − P AP = Pf：用归纳法，其中 λ1,…,λn 的次序可以任意指定 n = 1 时成立可以设为(n = 1)阶方阵成立对于 n 阶方阵 A = (aij)n×n 设特征值为 λ1,…,λn 取 λ1 对应的特征向量，记为 α1 ≠ 0，Aα1 =λ1α1 把 α1 扩展为可逆方阵 Q = (α1,α2,…,αn) ∴QTQ = In = (e1,e2,…,en) 又∵Q -1(α1,α2,…,αn) = (Q -1α1, Q -1α2,…, Q -1αn) 0 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ = e 2 ，…， Q 1 − α n = 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ = e n 其中 Q 1 − α 1 = 1 − AQQ = = ∴ = = Q ， e 1 1 0 0 1 − α 2 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎠ ⎝ ( AQ , , − ααα n 1 ( AQ , , 1 − αα 2 ) ( ,,, λα ∗∗∗ 1 ) ( ) Q ∗ 2 A , , , , , 1 1 ) A α n ) ( ) , ∗ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ 1 − 1 − = = = Q ( αλ 1 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 记 = 为 ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) ∗ λ 1 A0 λ 1 0 0 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎜⎜ ⎝ 1 ⎞ ⎟⎟ ⎠ ，其中 A1 为(n-1)阶 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ∴由假设，对于 A1 必有(n-1)阶 P1，可推出 P 1 − AP = λ 2 O ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ∗ λ n ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ∴得证。 Eg.知 n 阶方阵 A，适合 Ak = 0，则| A + I | = 1 共 113 页矩阵理论 A 笔记第 2 页

北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系 Pf： kA ⇒= 0 任意特征值 k λ =⇒= λ 0 0 即全体特征值为 0,0,…,0 由需要 1 − P AP = 0 O ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ∗ 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⇒ 1 − P AP =+ I 1 ∵ 1 − P AP + 1 − IPP = 1 − ) PIAP + ( = IA IA +⇒+ = 1 注：（1）若 A ∽ B（相似），则 A、B 有相同特征值 λ1,…,λn 可引入记号：谱集 ( σ A ) { = }n 1 , λλλ , , 2 （全体特征值，含重复） ∴A ∽ B ⇒ ( σσ = A ( ) )B （2）A ∽ B −⇒ AI λ = BI − λ = ( )n λλλλλλ ) 2 )( − − − ( 1 ，特征多项式 ∵ 1 − P AP −⇒= AI λ B = − 1 P ( ) PAI − λ = BI λ − 引理：若 A = A 1 0 ⎛ ⎜⎜ ⎝ 0 A 2 ⎞ ⎟⎟ ⎠ ，则| λI – A | = | λI1 – A | = |λI1 – A1 ||λI2 – A2 | ⇒ ( σσ A = ( ) A 1 ) ∪ ( σ )2 A 即{λ1, λ2,…,λn} = {λ1, λ2,…,λk}∪{λk+1, λk+2,…,λn} 设 B = λ 1 O ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ λ 2 ∗ λ n ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ ，f(x)为多项式，则 ( Bf ) = f ( λ 1 ) O ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ( ) ∗ f ( λ n ⎞ ⎟ ⎟ )⎟ ⎠ 引理：若 n 阶方阵 A 的谱集 σ(A) = {λ1, λ2,…,λn}，则 f(A)的全体特征值为{f(λ1),f(λ2),…,f(λn)}，f(x)为多项式 ( ) λ 1 λ 1 ∗ f Pf：由许尔定理，A ∽ B = ⇒ )Af ∽( ( Bf ) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ O λ n ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ O ∗ f ( λ n ⎞ ⎟ ⎟ )⎟ ⎠ ( )xf⇒ 的全体特征值为{f(λ1),f(λ2),…,f(λn)}，f(x)为多项式例如：λ 为 A 的特征值 kλ⇒ 为 Ak 的特征值。（f(x) = xk）共 113 页矩阵理论 A 笔记第 3 页

北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系引理：令 B = λ 1 O ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ∗ λ n ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ，f(x) = | xI – B | = (x-λ1) (x-λ2) …(x-λn) 则 f(B) = (B - λ1I) ( B – λ2I) …(B – λnI) = 0 Pf：当 n = 2 时， B = ∗ λ 1 0 λ 2 ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ ，f(x) = (x-λ1) (x-λ2) ⇒ ( Bf ) = ( B − )( BI λ 1 − λ 2 I ) = 0 0 ⎛ ⎜⎜ ⎝ ∴得证 ∗ − ( λλ 1 2 ) ( λλ 1 2 − 0 ⎞ ⎛ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠ ) ∗ 0 ⎞ =⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎜⎜ ⎝ 00 00 ⎞ ⎟⎟ ⎠ ★ Cayley 公式：设 n 阶方阵 A 的特征多项式为 f(x) = | xI – A | = a0 + a1x + … + xn 则 f(A) = a0I + a1A + … + An = 0 Pf：由许尔 P 1 − AP = B = λ 1 O ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ λ 2 ( ) ∗ λ n ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ ⇒ 1 − ) PAfP ( ( Pf = 1 − AP ) = ( Bf ) 0 = （引理）定义：若多项式 f(x)使 f(A) = 0，则称 f(x)为 A 的一个零化式结论：方阵 A 的特征多项式 f(x) = | xI – A |为 A 的一个零化式 Eg： A = 0 1 ⎛ ⎜⎜ ⎝ 1 − ⎞ ⎟⎟ 0 ⎠ ，特征多项式 f(x) = x2 + 1 可知： ( Af ) = 2 A =+ I 1 − 0 ⎛ ⎜⎜ ⎝ 0 ⎞ =+⎟⎟ 1 − ⎠ I 0 且 f(x) = | xI – A | = (x - i)(x + i)，（ i −= i ,1 2 −= 1 ） f(A) = (A - iI)(A + iI) = 0 也可取 P = i 1 ⎛ ⎜⎜ ⎝ − i 1 ⎞ ，则⎟⎟ ⎠ P 1 =− 1 2 ⎛ ⎜⎜ ⎝ i − 1 − − 1 ⎞ ⎟⎟ i ⎠ 1 − P AP = i 0 ⎛ ⎜⎜ ⎝ 0 ⎞ ⎟⎟ 1 − ⎠ ，对角形共 113 页矩阵理论 A 笔记第 4 页

北京航空航天大学张京蕊工程系统工程系 Eg：知 A = 0 O ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ( ) ∗ 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ nn × ，则 An = 0 由 Cayley 特征多项式： ( ) xf n ⇒= x ( Af ) = n A 0= Ex.1. A = 1 1 ⎛ ⎜⎜ ⎝ 1 − ⎞ ⎟⎟ 1 ⎠ ，求 P 使得 P-1AP 为对角阵，并验证 Cayley 定理。 2. A = ba dc ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ ，求 f(x) = | xI – A |验证 f(A) = 0 补充知识（schur 公式、Cayley 公式）应用由 An = -(a0I + a1A + … + an-1An-1) ⇒ A n 1 + = AA • n −= ( AaAa 0 + 1 2 + + ① )n Aa n 1 − ② 把①代入② ⇒ A n 1 + ( ) ( ) I ∗+∗= A + ( ) ∗+ A n 1 − 可知：任何 Am (m ≥ n)都可写成 I,A, …,An-1 的线性组合。任何多项式 g(A)，可写成 I,A, …,An-1 的组合。 Eg：若| A | ≠ 0，f(x) = | xI – A | = a0 + a1x + … + xn，a0 = | -A | ≠ 0 则 A-1 可用 A 的多项式表示 ∵a1A + a2A2 + … + an-1An-1 + An = -a0I A(a1I + a2A + … + an-1An-2 + An-1) = -a0I )1 −=⇒ Aa n ( Ia 1 A A + + n − 2 + 1 − n − 1 a 0 1 − 零化式定义：若 g(x) = b0 + b1x + … + bmxm，使得 g(A) = b0I + b1A + … + bmAm = 0，称 g(x)为方阵 A 的零化式注：方阵 A 的零化式有无穷多个 ∵取特征多项式 f(x)则 f(A) = 0 任取式 h(x)， ( ) ( AhAf ⇒= 0 ) ( ) ( )xhxf 也是零化式极小式定义：在方阵 A 的零化式集合中，去次数最小的且首项系数为 1 的零化式 mA(x)，称它为 A 的极小式共 113 页矩阵理论 A 笔记第 5 页

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