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zernike多项式拟合方法及应用.pdf

发布时间：2022-06-13 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.20M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    第 10卷　第 3期 2 0 0 2 年 6 月 　　　　　　　　 光学 　精密工程 O ptics and P recision Engineering 　　　　　　　　　Vol.10 　No.3 Jun .　 2 0 0 2 文章编号　1004-924X(2002)03-0318-06 Zernike 多项式拟合方法及应用 单宝忠1, 2 , 王淑岩1 , 牛憨笨1 , 刘颂豪2 (1 .深圳大学 光电子学研究所, 广东 深圳 518060 ; 2 .华南师范大学 量子电子学研究所, 广东 广州 510631) 摘要:由于 Z ernike 多项式的各项与光学像差有相应的对应关系, 用 Zernike 多项式对 镜面面形 数据进行 处理的方法已经广泛应用于工程项目、光学系统设计软件和干涉检查等。 用 Zernike 多项式作 为光学和 结构分析程序间的接口工具是非常方便和成 熟的。 本文 阐述了 Zernike 多 项式及 其拟合 方法和 应用流 程, 并应用它 作为数据接口工具实现了光机热各分析模块间的数据转换, 并在某空间相机系统 集成分析 中得到应用。 关　键　词:Zernike 多项式;拟合;集成分析;有限元 法;光机系统 中图分类号:T H74　　文献标识码:A 1 　引 　言 　　光机系统的光学元件在外载荷作用下 , 由于 镜筒的变形将作整体相对位移 , 同时, 光学表面也 发生面形变化。 所有这些变化都引起光学系统的 同心度(LO S)变化及波前畸变(WF E), 从而影响 光学系统的特性 。分析恶劣环境下光机系统的光 学性能是很有必要的 。 镜面的波面总是趋于光滑和连续的, 所以一 定可以将镜面的面形变化表示成一个完备基底函 数的线性组合或一线 性无关的基底 函数系的组 合。 镜面的变形实质上等同于加工或检测时镜面 上存 在的 畸变 。 本文 借用 干涉 检验 的 概念 , 用 Zernike 多项式对工程分析的镜面面形数据进行 处理的方法已经广泛应用于工程项目 、光学系统 设计 软件(如 Code V)和 干涉检 查(如 Z -M ax 等)。 Zernike 多项式是 F .Zernike 在 1934 年构造 的。Zernike 多项式是互为正交、线 性无关的, 而 且可以唯一的、归一化描述系统圆形孔径的波前 边界。 另外 , Zernike 多项式很容易与 Seidel 像差 项对应, 为有选择地单独处理各像差系数、优化系 　　收稿日期:2001-11-18 ;修订日期:2002-04-12 统性能提供了有效的方法 。 Zernike 多项式 是理想的结构分析与光学分 析程序之间的接口工具。 本文选用 Zernike 多项 式作为基底函数, 用最小二乘法对镜面面形进行 拟合, 表示波前差 。 再将其 拟合的 Zernike 多项 式耦合到原始系统上去, 修正原始系统 , 得到变形 后的系统, 进而评估光学系统在外载荷作用下的 性能 。 2 　Zernike 多项式 Zernike 多项式 是描述干涉图的波前像差的 常 用 方 法 :多 项 式 的 形 式 为 rn cos(mθ) 和 rn sin(mθ), 是以半径和方 位角定义的极坐标形 式表示的多项式。 Zernike 多项式之所以适合用 来表示波前 , 是因为它在定义的单位圆上相互正 交。 因此 , 所处理的数据(由干涉仪测得或分析计 算的面形变化)应该转换到单位圆内, 然后再进行 处理 。多项式拟合系数可以通过对数据进行最小 二乘法拟合得到 。理论上讲 , 项数越多拟合误差 越小 。 Zernike 多项式具有如下两个主要特点 : 1)在单位圆上正交, 即有如下关系
    第 3 期　　　　　　　　　　　　单宝忠, 等:Z ernike 多项式拟合方法及应用　　　　　　　　　　　　　　　 319 m(ρ, θ)ρdθd ρ 0 0∫2 π ∫1 n(ρ, θ)· Uk U l π n +1 0 (1) = n(ρ, θ)和 Uk δ (n = m , l = k) (n ≠ m 或 l ≠ k), m(ρ, θ)为 Zernike 多项式 。当 式中 U l l =0 时 δ=1 , 当 l ≠0 时, δ=0 .5 。对于具有圆 形光瞳镜面的系统, 可将其规一化为单位圆。函数 系的正交使不同多项式的系数相互独立, 有利于 消除偶然因素的干扰 。 2)和光学设计者惯用的 Seidel 像差系数很容 易建立起联系 , 如表 2 所示。 极坐标形式的 Zernike 多项式的具体表达式 如下 : U l n(ρ)· Θl n(ρ, θ)= Rl (2) 　　上式中 n 为多项式的阶数 , 取值为 0 , 1 , 2 , …。l 为与阶数 n 有关的序号, 其值恒与 n 同奇偶 性, 且绝对值小于或等于阶数 。令(2)式中 n(θ), l = n -2 m , (3) = ∑m R n-2 m n (n -s)! (-1)s s=0 R|n-2 m| n s !(m -s)!(n -m -s)!ρn-2s (n -2 m ≥0) 　　　　　　　　　　　　　　 (n -2m <0), (4) n = cos(n -2 m)θ (n -2m ≥0) Θn-2m -sin(n -2m)θ (n -2 m < 0), (5) 　　在基底函数系选定后, 干涉条纹的级数分布 函数 F 即有如下的形式 F(ρ, θ)= ∑∞ k =0 QkU n-2m n (ρ, θ) = QT · U , (6) 　　式(6)中 Qk 为常数 , Q T 为系数 Qk 组成的列 向量的转置 。U 为 Zernike 多项式项 u k 组成的列 向量 。 k = n(n +1) +m +1 , (7) 　　 基 底函数选定后 , 剩下的 问题是如 何求出 (6)式中的常数 Qk , 即求 Zernike 多项式的线性 组合系数 。 2 Zernike 多项式的正交性问 题。 首先求出一组在 所有数据点集合上 离散正交的, 且 为 Zernike 多 项式系的线性组合的基底函数系 V , 即 V = CU , (8) 　　上式中 C 是系数元素cij 的方阵。V 中的每一 个元素均满足方程: ∑σ Vr 1 · Vr 2 · W = 0 (r 1 ≠ r 2) 1 (r 1 = r 2), (9) 　　上式中 σ为全体所取数据点(节点)的集合, W 是非负权函数 。 G ram -Schmidt 正交法给出 V 和 U 的如下 关系 : Vi = Ui -∑i - 1 r=1 W · U 2 W · Ui · Vr Vr · ∑σ i - ∑(W · Ui · Vr)2] 1 2 [ ∑σ , 3 　拟合方法 本文 采 用 G ram -Schmidt 正 交 法 来 解 决 (10) 　　将(10)式进行变换, 并结合(8)式可求得方 阵 C 中各元素 cij 的表达式如下 cij = 0 　　　　　　　　　　　　　　 [ ∑σ W · U 2 ∑i - 1 i - ∑i - 1 (∑σ W · U i · Vr)2] -1 [ (∑ W · Ui · Vr)· Ci i · Crj] 　 (i > j), (i < j) 2 (i = j) r=1 r =1 (11) (13) 　　将(11)式代入(8)式即可求得 V 。由(6)和 (9)式可得 : F(ρ, θ)= QT · U = QT · C -1· V = B T · V , (12) 　　比较 (12)式最后一个等式的两端得: Q TC -1 = B T , 　　(13)式两边同时乘 C 矩阵并转置得: Q = CT · B , (14) 　　(14)式中向量 B 可由已知数据点的数据 , 用 最小二乘法求得。设 x(ρ, θ)为变形后镜面的节
    320　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　光学　精密 工程　　　　　　　　　　　　　　　　　　第 10 卷 点位置。最小二乘法原理要求 : ∑σ W · Δ2 = ∑σ W[ x(ρ, θ)-F(ρ, θ)] 2 =M in , (15) 　　将(12)式中的 F(ρ, θ)展开, 代入(15)式并 变换得: W · Δ2 = ∑σ ∑σ x(ρ, θ)· ∑k W[ ∑k Bi · Vi +∑σ W · Bi · Vi] 2-2 ∑σ W ·[ x(ρ, θ)] 2 , i =1 i =1 (16) 　　考虑(9)式 , 并令(16)式对 Bi 的偏导数为零, 推导得到 : Bi = ∑σ W · x · Vi , (17) 　　将(17)式代入(14)式最终得系数向量 Q , 即 可将镜面的面形表示成 Zernike 多项式系的线性 组合 。 Code V 是具有代表性的光学设计分析程序, 对光学系统进行光学 性能分析是其 基本应用之 一。Code V 中 使 用 的 Zernike 多 项 式 有 标 准 Zernike 多项 式(ZRN)和 F ringe Zernike 多 项式 (ZF R)两种类型。 F ringe Zernike 多项式(ZF R) 已在 F ringe 软件及其他干涉图软件里得到应用, 它最多可有 37 项, 是标准 F ringe Zernike 多项式 (Z FR)的子集 , 按不同阶数排列 。Zernike 多项式 可以精确描述畸变光学表面, 并且其每一项都对 应很明确的物理含义 , 对应于各种像差的某些项。 F ringe Zernike 多项式的前 9 项多项式列在后面 的表 2 中 , 第 1 项为常数 , 第 2 -9 项分别对应 X 向倾斜、Y 向倾斜、离焦、与轴成 0°或 90°的像散、 与轴成 45°的像散、X 轴的三级彗差 、Y 轴的三级 彗差 、三级球差等。 用逆矩阵法求 Zernike 多项式 U 的系数 Q 的 具体的求解过程分如下四步进行: 1)所取采样点归一化 , 转换到单位圆内 采样点的归一化就是要求得将圆形光瞳转换 为单位圆后, 采样点对应的坐标。 归一化后, 采样 点的坐标为: x i =(x i -x 0)/ ρi y i =(y i -y0)/ ρi (x 0 , y0)、ρi 为采 样点的中 心坐标和 极坐标 半径 。 2)计算 Zernike 多项式 U , 作为基底函数 将 1)中 归一化的采 样点坐标 , 带入 Zernike 多项式 , 得到 作为基 底函数 的多项 式函 数矩阵 U 。 3)将 Zernike 多项式 U 单位正交化 G ram -Schimidt 标 准正交法可以 把任何一 组无关向量化为等价的标准正交组 。利用此法将 Zernike 多项式 U 进行标准正交化, 得到单位正 交矩阵 V 。 4)用广义逆矩阵方法求 Zernike 多项式拟合 系数 Q 对于列满秩的 m ×n 矩阵 A(m ≥n)时, 广 义逆矩阵 +=(VT V)-1 VT 　满足:V V 镜面节点的变形 Ф可由 Zernike 多项式 U V =In + 表示为: UQ = Ф 　　进行如下坐标转换: ФV = B VB = Z + Q = V Z 　　其中, B 、Z 为中间变换矩阵 , 由上式即可求 得进行 Zernike 多项式拟合的一系列系数 Q 。将 所求得 的 Z ernike 系 数 Q 写入到一 个.IN T 文 件, 作为光学程序 Code V 的输入文件 , 修正光学 镜面的变形。 4 　应用实例 本方法曾作为结构和光学系统软件间的数据 接口 , 对某光机系统进行了光机热集成分析 , 应用 的软 件主要包括:PA T RAN(结构分析模块和热 分析模块)、Code V(光学分析程序)。 首先要建立结构有限元模型和光学模型, 使 结构模型中镜面上的节点与光学系统模型中的镜 面相对应。 镜筒的光学模型的光学线路图 、结构 有限元模型分别如图 1 、2 所示 。 图 1 　光学系统模型 Fig.1　M odel o f the optical system .
    第 3 期　　　　　　　　　　　　单宝忠, 等:Z ernike 多项式拟合方法及应用　　　　　　　　　　　　　　　 321 表 1 　外载荷作用下光学镜面节点位移 Table 1　Par tial nodes' deformation of a surface　unit :μm No de number 196 197 198 200 202 204 206 208 210 … ■ X -0 .513 -0 .518 -0 .520 -0 .521 -0 .514 -0 .519 -0 .510 -0 .516 -0 .507 ■ Y 4 .038 4 .432 4 .040 3 .647 4 .718 3 .358 4 .822 3 .251 4 .715 ■ Z 29.956 29.962 29.959 29.955 29.964 29.952 29.963 29.950 29.961 　　对 镜筒 各镜 面 节点 及 变形 数 据分 别 进行 Fringe Zernike 多 项式拟 合分析 , 获 得其拟 合结 果, 写入到 .IN T 文件。 某镜面的前 9 项 Zernike 拟合系数如表 2 所示 。 图 2 　光学镜筒的有限元模型 F ig.2　F EM model of the optical tube. 在 Code V 中, 对光学镜筒的原始设计模型进行分 析, 可得到光学系统性能参数 , 与原始设计数据相 吻合, 图 3(a)所示为光学镜筒光学系统光学传递 函数 。表 1 所列为镜筒在外载荷作用下, 某镜面 节点的变形数据 , 将用于变形的拟合分析。 表 2　Zernike 多项式与 Seidel 像差的对应关系及实例结果 T able 2　Relations between Zernike polynomial and Seidel aberration, and results of sample No. Rank 1 2 0 1 1 2 2 2 3 3 4 3 4 5 6 7 8 9 … Expression 1 ρcosθ ρsinθ 2ρ2 -1 ρ2 cos2θ ρ2sin2θ (3ρ2 -2)ρcosθ (3ρ2-2)ρsinθ 6ρ4-6ρ2 +1 Meaning s Constant X Lateral shif t Y Lateral shift Defocus 0°o r 90°A stigima 450 Astig ima X A xis third order coma Y A xis third order coma T hird spherical Coefficients 0.00396591 -0 .00001913 -0 .00389422 -0 .00007505 -0 .00000789 -0 .00000012 -0 .00000131 0.00001151 0.00004875 　　Code V 具有直接读 取.IN T 文件数 据的功 能, 可以读取 Zernike 多项式拟合数据文件 , 将数 据转化为变化的面形, 并粘贴到原始 Code V 光学 模型上来修正光学元件的面形, 使修正后的面形 与变形后的面形相符 。对修正后的模型进行光学 分析 , 可 以 得 到评 价 光 学 性 质的 性 能 参 数, 如 O T F 、O PD 、PSF 、EE(中心能量)等指标, 这里只分 析光学传递函数(O T F)作为评价指标。 用 IN T 命令 将 光学 镜 面变 形 拟合 生成 的 Zernike 多项式加到对应的镜面上, 得到变形后光 学系统模型 , 分析光学系统的原始设计和变形修 正后的系统光学传递函数 , 如 图 3(b)所示 , 表 3 所示为 0 .7 视场 50 对线频率的光学传递函数值。 a 原始设计 a Original design
    322　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　光学　精密 工程　　　　　　　　　　　　　　　　　　第 10 卷 　　由图 3 及表 3 所示的光学传递函数值可以看 出, 由于外载荷的影响, 系统的光学传递函数发生 了变化, 反映出外载荷对光学性能的影响。 5 　结 　　论 本文通过介绍和应用 Zernike 多项式并编制 了实用的接口程序 , 解决了光机系统的光机热各 分析模块间数据接口的问题。 集成分析中各分析 模块之间的数据传输是技术关键。 1)对于受环境影响较大的光学系统进行光机 热集成分析是十分必要的 ; 2)Zernike 多项式拟合是实现光机热集成分 析的有力工具, 已在一些典型的应用及实际工程 应用中得到验证; 3)Zernike 多项式拟合虽然只在某工程中得 到应用, 它更是一种通用的普遍方法, 适用于各种 受环境影响的光学系统的集成分析 。 4)本方法只是对 个别工程进行 针对性的应 用, 还有待于开发出具有广泛应用的通用性的工 具软件。 b 修正后的系统 b V erified system 图 3　光学系统的光 学传递函数 Fig .3　O ptical transfer function of the o ptical system . 表 3 　光学系统 0.7 视场 50 对线频率的光学传递函数 Table 3　Optical transfer function of 0.7 view field in 50 Lp/ mm T ube M eridian A rc vector O riginal design 0 .803 0 .754 A fter deformation 0.770 0.735 参考文献 : [ 1] 单宝忠.空间相机光机系统光机热集成分析及优化设计[ D] .长春:中国科学院长春光学精密机械研究所, 1999 . [ 2] M iller J , Hatch M , G reen K .P redicting performance of optical systems undergoing thermal/ mechanical/ o ptical numerical methods[ J] .SPIE , 1981, 20(2):303 -311. [ 3] 单宝忠.空间光仪光机热集成分析方法[ J] .光学 精密工程, 2001, 8(4):377-381 . [ 4] Wang J Y, Silv a D E.Wave-fro nt interpretation with Zernike poly nomials[ J] .Appl .Opt , 1980 , 19 :1510-1518. [ 5] 单宝忠, 武克用, 卢锷.弹性基体对光学仪器动态特性的影响[ J] .光学 精密工程, 1997, 5(6):59 -63 . Zernike polynomial fitting method and its application SHA N Bao_zhong1, 2 , WA N G Shu_yan 1 , N IU Han_ben1 , L IU Song_hao2 (1 .Inst itute of Optoelect ronics , Shenzhen University , Shenzhen 518060 , China ; 2 .Quantum Electronic Instit ue , Sout h China Normal U ni versity , Guangzhou 510631 , China) Abstract:The items of Zernike poly nomials have corresponding meanings of Seidel aberrations.T he met hod of using Zernike poly nomials to fit optical surf aces has been w idely used in project , opt ical design sof tw are and interf erence check .So it is convenient and mature to use Zernike poly nomials as the data transmission tool between optical and structural analy sis program s .Here, Zernike poly nomials and their fit- ting method , fi tting process are out lined , and are used in the integ rated analysis of a space camera, as an example.
    第 3 期　　　　　　　　　　　　单宝忠, 等:Z ernike 多项式拟合方法及应用　　　　　　　　　　　　　　　 323 Key words:Zernike poly nomials ;f itting ;integrated analysis ;finite element met hod ;thermal_st ructural sy stem s 作者简介:单宝忠(1970_), 男, 辽宁省人, 1993 年考 入吉林 工业大 学研究 生部, 1996 年 在中科 院长春光 学精密 机械研 究 所攻读博士 , 主要从事空间光学仪器 CAD/ CAE 等方向的研究 工作, 现为 华南师范 大学流 动站、深圳市 企业工 作站深 圳 大学分站博士后, 从事光电子学应用领域研究 工作。 E-mail:shanbz @szu .edu .cn 征订启示 愿《液晶与显示》成为您的良师益友 欢迎订阅 　欢迎投稿　欢迎刊登产品信息 《液晶与显示》是中国科学院长春光学精密机械与物理研究所和中国光学光电子行业协会液晶专业 分会及石家庄实力克液晶材料有限公司联合主办的专业性学术期刊 。 《液晶与显示》以研究报告 、研究快报、综合评述和产品信息等栏目集中报道国内外液晶学科和显示 领域中最新理论研究 、科研成果和创新技术, 及时反映国内外本学科领域及产业信息动态 。《液晶与显 示》被英国《科学文摘》(SA)、美国《化学文摘》(CA)、俄罗斯《文摘杂志》(P Ж)和《中国物理文摘》等国内 外著名检索刊物和文献数据库摘引和收录。《液晶与显示》已入编“中国科学核心期刊全文数据库” 、《中 国学术期刊(光盘版)》和“中国期刊网”(《液晶与显示》网址 :ht tp :// yjys .Chinajoural .net .cn), 及“万方 数据资源系统(ChinaInfo)”(《液晶与显示》网址 :ht tp :// w ww .Chinainf o.gov .cn/ periodical/ yjy xs/ index . ht m), 向国内外读者提供网络信息。 《液晶与显示》以创新性、综合性、实用性为办刊特色, 内容丰富, 信息量大, 涵盖面广 , 可读性强 。既 是启迪科技人员开拓创新思路的参考期刊, 又是从事液晶和显示技术研究的广大科技人员、大专院校师 生及相关领域的科技工作者进行学术交流的良好园地 , 也是图书 、情报等部门必不可少的信息来源。 《液晶与显示》热忱欢迎广大作者、读者广为利用, 踊跃投稿, 将您的科技创新 、产品信息 、企业风貌通过 这一窗口展示出来。 《液晶与显示》为双月刊, 16 开本 , 80 页, 国内定价 34.00 元 , 国内外公开发行 。邮发代号 , 国内:12- 203 ;国外 :4868Q 。同时,《液晶与显示》编辑部将竭诚为广大读者服务, 随时办理破年、破季订阅 。 　　单　位:中科院长春光学精密机械与物理研究所 　　地　址:吉林省长春市工农大路 61 号 　　电　话:(0431)5684692 转 2534 《液晶与显示》编辑部 　　邮　编:130021 E-mail :yjxs @ciomp .ac.cn
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