2006年全国卷Ⅱ高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2006 年全国卷Ⅱ高考理科数学真题及答案一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）已知集合 M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则 M∩N=（） A．∅ B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3} 2．（5 分）函数 y=sin2x•cos2x 的最小正周期是（） A．2π B．4π C． D． 3．（5 分） =（） A． B． C．i D．﹣i 4．（5 分）如图，PA、PB、DE 分别与⊙O 相切，若∠P=40°，则∠DOE 等于（）度． A．40 B．50 C．70 D．80 5．（5 分）已知△ABC 的顶点 B，C 在椭圆 +y2=1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是（） A． B．6 C． D．12 6．（5 分）已知函数 f（x）=lnx+1（x＞0），则 f（x）的反函数为（） A．y=ex+1（x∈R） B．y=ex﹣1（x∈R） C．y=ex+1（x＞1） D．y=ex﹣1（x＞1） 7．（5 分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为和．过 A、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 A′、B′，则 AB：A′B′=（）

A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3 8．（5 分）函数 y=f（x）的图象与函数 g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则 f（x）的表达式为（） A． B． C．f（x）=﹣log2x（x＞0） D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0） 9．（5 分）已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 y= x，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 10．（5 分）若 f（sinx）=2﹣cos2x，则 f（cosx）等于（） A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x 11．（5 分）设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 = ，则 =（） A． B． C． D． 12．（5 分）函数的最小值为（） A．190 B．171 C．90 D．45 二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分） 13．（4 分）在的展开式中常数项为（用数字作答）． 14．（4 分）已知△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，且 AB=1，BC=4，则边 BC 上的中线 AD 的长为． 15．（4 分）过点的直线 l 将圆（x﹣2）2+y2=4 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角

最小时，直线 l 的斜率 k= ． 16．（4 分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出人．三、解答题（共 6 小题，满分 74 分） 17．（12 分）已知向量，，．（1）若，求θ；（2）求的最大值． 18．（12 分）某批产品成箱包装，每箱 5 件，一用户在购进该批产品前先取出 3 箱，再从每箱中任意出取 2 件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有 0 件、1 件、2 件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的 6 件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率． 19．（12 分）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB=BC，D、E 分别为 BB1、AC1 的中点．（I）证明：ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线；（II）设，求二面角 A1﹣AD﹣C1 的大小．

20．（12 分）设函数 f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的 x≥0，都有 f（x）≥ax 成立，求实数 a 的取值范围． 21．（14 分）已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，且．过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为 S，写出 S=f（λ）的表达式，并求 S 的最小值． 22．（12 分）设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且方程 x2﹣anx﹣an=0 有一根为 Sn﹣1，n=1，2，3，…．（1）求 a1，a2；（2）猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明． 2006 年全国卷Ⅱ高考理科数学真题参考答案一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）已知集合 M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则 M∩N=（） A．∅ B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3} 【分析】解出集合 N，结合数轴求交集．【解答】解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，用数轴表示可得答案 D 故选 D． 2．（5 分）函数 y=sin2x•cos2x 的最小正周期是（）

A．2π B．4π C． D．【分析】将函数化简为：y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．【解答】解：所以最小正周期为，故选 D 3．（5 分） =（） A． B． C．i D．﹣i 【分析】化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．【解答】解：故选 A． 4．（5 分）如图，PA、PB、DE 分别与⊙O 相切，若∠P=40°，则∠DOE 等于（）度． A．40 B．50 C．70 D．80 【分析】连接 OA、OB、OP，由切线的性质得∠AOB=140°，再由切线长定理求得∠DOE 的度数．【解答】解：连接 OA、OB、OP， ∵∠P=40°， ∴∠AOB=140°， ∵PA、PB、DE 分别与⊙O 相切， ∴∠AOD=∠POD，∠BOE=∠POE， ∴∠DOE= ∠AOB= ×140°=70°．故选 C．

5．（5 分）已知△ABC 的顶点 B，C 在椭圆 +y2=1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是（） A． B．6 C． D．12 【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a，可得△ABC 的周长．【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a，可得△ABC 的周长为 4a= ，故选 C 6．（5 分）已知函数 f（x）=lnx+1（x＞0），则 f（x）的反函数为（） A．y=ex+1（x∈R） B．y=ex﹣1（x∈R） C．y=ex+1（x＞1） D．y=ex﹣1（x＞1）【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域；将 y=lnx+1 看做方程解出 x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可．【解答】解：由 y=lnx+1 解得 x=ey﹣1，即：y=ex﹣1 ∵x＞0，∴y∈R 所以函数 f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为 y=ex﹣1（x∈R）故选 B 7．（5 分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为和．过 A、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 A′、B′，则 AB：A′B′=（）

A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3 【分析】设 AB 的长度为 a 用 a 表示出 A'B'的长度，即可得到两线段的比值．【解答】解：连接 AB'和 A'B，设 AB=a，可得 AB 与平面α所成的角为，在 Rt△BAB'中有 AB'= ，同理可得 AB 与平面β所成的角为，所以，因此在 Rt△AA'B'中 A'B'= ，所以 AB：A'B'= ，故选 A． 8．（5 分）函数 y=f（x）的图象与函数 g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则 f（x）的表达式为（） A． B． C．f（x）=﹣log2x（x＞0） D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）【分析】先设函数 f（x）上的点为（x，y），根据（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y）且函数 y=f（x）的图象与函数 g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，得到 x 与 y 的关系式，即得答案．【解答】解：设（x，y）在函数 f（x）的图象上 ∵（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y），所以（﹣x，﹣y）在函数 g（x）上 ∴﹣y=log2（﹣x）⇒f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）故选 D．

9．（5 分）已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 y= x，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D．【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程 y= x 即 y= x，由此可得 b： a=4：3，结合双曲线的平方关系可得 c 与 a 的比值，求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上， ∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）由此可得双曲线的渐近线方程为 y=± x，结合题意一条渐近线方程为 y= x，得 = ，设 b=4t，a=3t，则 c= =5t（t＞0） ∴该双曲线的离心率是 e= = ．故选 A． 10．（5 分）若 f（sinx）=2﹣cos2x，则 f（cosx）等于（） A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x 【分析】本题考查的知识点是函数解析式的求法，根据已知中 f（sinx）=2﹣cos2x，结合倍角公式对解析式进行凑配，不难得到函数 f（x）的解析式，然后将 cosx 代入，并化简即可得到答案．【解答】解：∵f（sinx）=2﹣（1﹣2sin2x）=1+2sin2x， ∴f（x）=1+2x2，（﹣1≤x≤1） ∴f（cosx）=1+2cos2x=2+cos2x．故选 D 11．（5 分）设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 = ，则 =（） A． B． C． D．

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