基于直线电机二级倒立摆的滑模控制研究.pdf-资料库

5 10 15 20 25 30 35 40 中国科技论文在线基于直线电机二级倒立摆的滑模控制研究 # http://www.paper.edu.cn 赵韩1，陈祥林2，甄圣超1，周长斌1，孙国强1** （1. 合肥工业大学机械工程学院，合肥 230009； 2. 合肥工业大学汽车与交通工程学院，合肥 230009）摘要：基于直线电机二级倒立摆实时控制平台的滑模控制研究，采用自行搭建的基于 TMS320F2812 和 MATLAB 的快速控制原型开发系统，从工程实际应用的角度设计并验证滑模控制算法的特点。利用滑模变结构控制算法对直线电机二级倒立摆系统进行了实时仿真控制。首先，建立二级倒立摆系统动力学模型、设计滑模控制算法并进行仿真分析得到理想的趋近律控制参数；然后，针对直线电机二级倒立摆系统建立实时仿真控制软硬件平台，并进行实时仿真试验。试验结果表明，所设计的滑模变结构控制方法的合理有效性，且具有较强的鲁棒性，为滑模控制的工程应用提供参照。关键词：倒立摆系统；滑模控制；实时控制；直线电机中图分类号：TP273 Sliding mode control study based on the linear motor double pendulum ZHAO Han1, CHEN Xianglin2, ZHEN Shengchao1, ZHOU Changbin1, SUN Guoqiang1 (1. School of Mechanical Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009; 2. School of Automotive and Traffic Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009) Abstract: Sliding mode control study based on the linear motor double pendulum real-time control platform , use the rapid control prototyping system based on TMS320F2812 and MATLAB, design and verify the characteristics of the sliding mode control algorithm from the angle of engineering application. Using the sliding mode variable structure control algorithm control the linear motor double inverted pendulum system by real-time simulation. First, establish dynamics model of double inverted pendulum system and design the sliding mode control algorithm and determine reaching Sliding mode control study based on the linear motor double pendulumlaw parameters by simulation analysis. Then, establish real-time simulation of hardware and software control platform according to the linear motor double inverted pendulum system. The results show that the sliding mode control algorithm is reasonable and has strong robustness it provide reference for the engineering application of sliding mode control. Key words: Inverted Pendulum System; SMC; real-time control; linear motor 0 引言倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、严重不稳定和强耦合的非线性系统[1]。随着倒立摆级数的增加，控制过程中的许多关键问题变得更加的凸显，如非线性问题、鲁棒性、镇定问题、跟踪问题等。因此，倒立摆是评估控制算法性能的优选工具[2]。国内外学者采用不同的控制算法研究二级倒立摆的平衡控制，文献[3]采用 PID 控制算法，并进行仿真验证，文献[4]采用 LQR 控制器结合 VC 控制二级倒立摆，文献[5]采用基于融合函数的模糊控制方法很好地结合了 LQR 及模糊控制算法。此外，还有模糊 PID 等先进算基金项目：国家自然科学基金(51505116) 作者简介：赵韩（1957-），男，教授，博导，主要研究方向：机构学、机械传动和磁力机械学通信联系人：甄圣超（1988-），男，副教授，硕导，主要研究方向：系统动力学与先进控制理论，电机驱动控制与运动控制. E-mail: zhenshengchao@hfut.edu.cn - 1 -

45 50 55 60 65 70 中国科技论文在线法的研究[6]。滑模变结构控制能够克服系统的不确定性,具有很强的鲁棒性，尤其是对非线性系统的控制具有良好的控制效果[7]。由于其响应速度快，对外界噪声干扰和参数摄动具有鲁棒性，在高精度机器人控制领域得到了广泛的应用[8]。 http://www.paper.edu.cn 目前对于二级倒立摆滑模控制算法的研究大多停留在仿真验证，少数有进行实物验证，且缺少实时调节参数的手段。因此研究基于二级倒立摆的滑模变结构控制具有重要的理论意义和实际应用价值。本文设计的滑模变结构控制算法，采用 Ackermann 公式设计并采用指数趋近律的方式从而有效地削弱输出控制量的抖动。为了对本文所设计的滑模变结构控制算法，进行评估和比较。本文采用直线电机二级倒立摆平台，建立相对精确的数学模型，减少与控制算法无关因数的影响。并且，自行设计了基于 TMS320F2812DSP 和 MATLAB 的快速控制原型开发系统，从而简单高效地实现了对直线电机二级倒立摆的实时控制。相对于传统的 MATLAB 仿真验证算法，本文采用的实时控制系统，可进行实时在线参数调节，实验结果易于观察比较，同时可将 DSP 采集的数据存储在磁盘里，进行离线数据处理。 1 系统数学建模二级倒立摆系统是一个多自由度运动的刚体系统，本文采用经典力学理论拉格朗日方程在惯性坐标系中建立系统的动力学方程。在忽略空气阻力，导轨摩擦阻力等各种次要因数之后，可将直线电机二级倒立摆系统简化为如图 1 所示的模型。包括，滑动块（小车）、质量块、匀质上下杆。其中，小车质量为 M，下摆杆质量为 m1,上摆杆质量为 m2，质量块（编码器）质量为 m3，下摆杆转动中心到小车质心距离为 l1,与纵轴的夹角为∅1，上摆杆转动中心到质量块质心距离为 l2，与纵轴的夹角为∅2。直线电机给小车的推力为 F。图 1 二级倒立摆模型示意图 Fig.1 Schematic diagram of double inverted pendulum model 拉格朗日方程为：（1）其中 q 为广义坐标，T 为系统各部件动能之和，V 为系统各部件势能之和。假设系统初 • L q q ( , ) = • T q q V q q ( , ) • ( , ) − 始状态为平衡状态，初始条件为零。定义状态变量： xφφ φφ• = x x x x x x x [ , ] , [ 1, 2, 3, 4, 5, 6] T T x φφ [ , ] , （3） 2 （2） X = = , 1 , 2 • 2 q 1 • , 1 根据方程： d d t ∂ ∂ L • q i ∂− ∂ L q i = f i - 2 - （4）

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 75 以及动能和势能的计算公式最终可以得到系统状态方程： X =              x  x 1  2  x 3  4  x 5  6 x x              = 0 0 0 0 0 0           0 0 0 0 k k 12 22 0 0 0 0 k k 13 23 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0           x x x x x x 1 2 3 4 5 6                   +           0 0 0 1 k k 17 27 u           其中： − g 3 ( 2 − m 2( 4 = m 1 − 1 k 12 − 4 m 3 m 2 − 2 − m ) 4 3 m l 12 ) 1 3 , = k 22 4 m l 2 2 + m 2( 2 + 3( + m m 3 + 2 )] m l )] 3 2 m 1 g m 2 [ 1 16 − [ 9 g m 4 [ − 1 1 6 9 = k 13 m g 9 2 − − m 3 2 − 2( 4 m 1 12 m l ) 1 3 80 = k 17 − 3( 2 − m 2( 4 m m 1 − m − 3 − m 4 ) 3 − m l 12 ) 1 3 2 2 1 , , k 2 3 = 3[4 m l 2 2 + ( 2 m + 3( m 1 + 3( 3 m m 2 )] + m 3 ))] k 27 = 2[ m 1 + 2( m 2 4 m l 2 2 − − )] 3 [ m 1 + [ 4 3 3( + m 1 6 9 + m 1 3( m 2 + m 3 )] + m 2 m l )] 3 2 2 滑模控制器设计及仿真 2.1 控制算法设计 85 90 滑模变结构控制的基本思想是，在状态空间中预设一个切换面，当状态变量处于切换面之外时，采用趋近运动的方式使其使其到达切换面运动；当状态变量到达切换面后，采用滑动模态运动，使其能够保持在切换面，并向稳定点运动[9]。在实际控制过程中，由于惯性的存在，状态变量达到切换面后，并不能保持在切换面上运动，而是在切换面的上下两侧来回穿越。因而，滑模变结构控制策略与常规控制的根本区别在于控制的不连续性，滑模变结构控制策略可分为两个阶段：滑动阶段和趋近阶段。因此设计滑模变结构控制器需要满足以下条件：  滑动模态存在，即根据切换函数的数值来变化控制量；  满足可达性条件，在切换面 s(x)=0 以外的运动点都将于有限的时间内到达切换面；  保证滑模运动的稳定性；  达到控制系统的动态品质要求。控制器的设计可分为两个部分：a.切换函数 s(x)的设计也就是选取一个合适的滑模面， 95 b.控制律的设计，也就是保证系统在有限时间内到达滑模面。定义滑模面为：（5）为了保证系统状态在到达滑模面后能够变换到平衡状态，采用 Ackermann 公式设计矩阵 M：（6） TM e P A ) S x M x t ( ) ( ) = ( T = 其中 100 = Te [0,0,0,0,0,1][ B AB A B A B A B A B − , ] , , , , 1 2 3 4 5 - 3 -

中国科技论文在线 A ( − A 采用指数趋近加比例趋近的方式[10]： P A ( ) λ )( 1 = − http://www.paper.edu.cn λ )( 2 A − λ )( 3 A − λ )( 4 A − λ )( 5 A − λ ) 6 （7）因为 • = − S KS − Sε sgn( ) （8） • S M X M AX = = ( • + Bu ) = − kS − ε sgn( S ) （9）所以可以得到控制律为： ( 采用李亚诺普函数验证滑模面的可达性，令： u t ( ) M B ( ) 1 − = − M Ax t ( ) + kS ε + sgn( S )) （10） V = （11） 2 S 1 2 + SM AX Bu ( ≤ − 2 kS ) − ε S ≤ − 2 kS • • V S S = = 所以系统是稳定可达的 2.2 参数选取滑模变结构控制存在一个最基本的问题抖振问题。其实质是由惯性引起的，因为状态量到达切换面时，垂直于切换面的速度分量不为零，导致其穿越切换面不能顺利进入滑动模态运动。因此，我们需要选取合理的趋近速率保证其能够在有限的时间内快速趋近滑模面，且在即将趋近滑模面时的速率不要过大，以此抑制抖振[11]。指数趋近率微分方程（8）能很好满足这一要求，对其进行求解可得： s t ( ) = + ( s 0 ε ) k e ε− kt k − （12）从式（12）可以知道，状态量以指数 k 的速率快速趋近滑模面 s=0 但随着时间增长速度快速下降;而ε保证状态量在有限时间到达滑模面，因此应该合理选取 k 和ε以期达到控制系统的动态品质要求。当系统进入滑模面运动时，增加了 s=0 的约束。为了保证系统控制的稳定性，还需要配置 5 个期望的闭环极点，且这些极点应该保证在虚轴的左边。设这些极点分别为：-3，-20，-3-2i，-3+2i，-25。根据系统的参数表 1、系统状态方程和式（6），应用数学工具 MATLAB 编写脚本文件 105 110 115 120 125 可求出相关参数如表 2 所示和 M。 130 M/kg 0.38 k12 62.4 m1 /kg 0.047 k22 -54.19 2.3 建模仿真表 1 系统参数 Tab. 1 System parameter m3/kg m2/kg 0.094 0.253 表 2 状态参数 Tab. 2 State parameter k23 53.04 k13 -11.82 l1/m 0.1 k17 5.13 l2/m 0.172 k27 -0.12 在进行实时控制之前，需要在 MATLAB 软件里建立控制系统模型，进行仿真验证滑模 - 4 -

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 变结构控制算法的可行性和稳定性，并通过仿真分析得到合理的参数值 k 和ε。根据结果参数以及本文设计的滑模变结构控制器在 SIMULINK 里建立如图 2 的模型：图 2 滑模算法控制模型 Fig.2 Sliding mode control model X = ε= 0.01 ，初始条件 [0,0.1,0.1,0,0,0] 取采样时间 T=0.01s,仿真时间为 5.5s, 。分别仿真 k=1;k=10;k=100 三组数据。最终的仿真结果如图 4 所示。其中细实线为 k=1;粗实线为 k=10;点划线为 k=100。综合分析对比下列仿真曲线可得到如下结论：k=1 时小车的位移偏移量最大，到达平衡状态所需的时间最长，但是从微分角度来比较各个量的峰值却最小，所以抖振比较小；k=100 时小车的位移偏移量最小，达到平衡状态所需的时间最短，但从微分角度来比较各个量的峰值却最大；上摆杆和下摆杆的角度随着 k 值的变化不是很明显。k=10 是各个性能指标处于相对中间的位置，效果也比较好，因而从折中的角度出发本文最终确定选取趋近参数 k=10。参数的选取可以按照相似的方式来确定，本文取 0.01 ε= 图 3 是在 k=10， 0.01 ，初始条件为零的情况下在 1s 处施加一个 50mm 的阶跃仿真情况，结果表明小车在阶跃信号的干扰下，二级倒立摆系统的各个状态量能在 2s 的时间内重新回到平衡位置，下摆杆的角度波动范围为 3.5 ~2  ，波动范围都很小。仿真结果表明，滑模变结构控制算法具有较强的抗干扰和鲁棒性，从而在理论上证明该算法的可行性，为下面实时仿真试验提供理论基础。  上摆杆的角度波动范围为 -2 ~1 −  ε= 。 a) 小车位置 b) 下摆杆角 c)上摆杆角 a) Position of car b) Bottom rod angle c) Upper rod angle 图 3 阶跃仿真 Fig.3 Step simulation 135 140 145 150 155 m m / 置位车小 10 0 -10 -20 -30 0 k=1 K=10 K=100 1 2 3 时间/s 4 5 6 g e d / 度角杆摆下 20 10 0 -10 0 k=1 k=10 k=100 1 2 3 时间/s 4 5 6 a) 小车位置 b)下摆杆角 a) Position of car b) Bottom rod angle - 5 -

160 165 170 175 180 中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn g e d / 度角杆摆上 10 5 0 -5 0 1 k=1 k=10 k=100 s / m m / 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 分微置位 0 2 3 4 5 6 时间/s 时间/s c)上摆杆角 d) 小车速度 c) Upper rod angle d) Velocity of car 1 2 3 4 5 s / g e d / 分微度角下 5 0 -5 0 k=1 k=10 k=100 s / g e d / 0.5 0 -0.5 分微度角上 1 2 3 时间/s 4 5 6 0 1 2 3 时间/s 4 5 e) 下摆杆角速度 f) 上摆杆角速度 k=1 k=10 k=100 k=1 k=10 k=100 6 6 e) Bottom rod angular velocity f) Upper rod angular velocity 图 4 不同 k 值下的仿真对比 Fig.4 Simulation contrast under different k values 3 基于实时控制平台的仿真实验 3.1 硬件系统搭建直线电机二级倒立摆的控制系统硬件框图如图 5 所示，包括监控计算机、DSP 控制卡、以色列 Elmo 直线电机驱动器、直线电机以及测试直线电机位置的线性传感器、上下摆杆及测试摆杆角度的光电编码器。DSP 控制卡接收来自光电编码器的摆杆角度信号和直线电机位置信号，并对信号进行处理得到六个状态变量，然后根据滑模变结构控制算法计算得到控制量，经过 DA 转换后输出模拟控制信号，再经过 Elmo 驱动器放大后驱动直线电机输出相应的控制力保持二级倒立摆系统的平衡。其中控制系统的硬件部分是采用自主设计的 DSP 控制卡，该控制卡具有四路编码器接收模块，以及多路 DA、AD 通道，满足采集二级倒立摆信息和输出模拟控制量的要求。试验采用 Elmo 伺服驱动器来调节直线电机电流环，经过调节后设置电导为 0.3A/V，电流环的带宽大于 3KHZ，保证了直线电机的线圈电流很好地跟踪输入信号。在没有负载的情况下，直线电机的输出力是与输入信号成正比的。图 6 是为了实时仿真实验所搭建的硬件平台。图 5 硬件结构框图图 6 硬件平台 Fig.5 Block diagram of hardware structure Fig.6 Hardware platform - 6 -

185 190 195 200 205 210 中国科技论文在线 3.2 软件设计 http://www.paper.edu.cn 软件设计方面采用 MATLAB/Simulink 工具箱，将 Simulink 里的滑模变结构控制模型与 DSP 处理器集成起来。从而，方便进行代码自动在线生成、快速原型及嵌入式系统的开发工作。按照代码编写集成工作台 CCS(Code Compose Studio) 的项目文件要求生成 TI DSP 要求的 C 代码，在 CCS 中经修改、编译后就可以下载到 DSP 目标板中运行[12]，因此，采用实时控制系统来验证滑模变结构控制算法非常的高效便捷，省去从头编写代码和控制板卡硬件设计的大量时间。图 7 就是滑模变结构的实时控制模型[13-15] ，左端有三个硬件接口分别为相应传感器信号的输入。它们各自经过一个增益转化后，将传感器的脉冲数转化为实际单位量值。图中的五个 Write 模块是用于实时控制参数的输入，比如在实时控制界面通过给 Write_5 输入合适的值可以产生一个阶跃干扰，右半部分就是整个模型的控制核心，滑模变结构控制算法。模型通过 DA 转换，最终输出一个直线电机控制量，最终通过 DA 接口输送到 Elmo 驱动器中。 Serial Communication 是串口通讯模块，通过这一模块可以实现模型的编译，控制工程文件的生成，以及控制代码的下载。控制代码下载到 DSP 控制板卡后，计算机界面会弹出一个自主设计的实时控制界面，如图 8 所示。 − K z 1) ( Tsz 1) − K z ( Tsz 1) − K z ( Tsz 图 7 实时仿真控制模型图 8 实时控制界面 Fig.7 Control model of Real-time simulation Fig.8 Real-time control interface 3.3 试验结果图 9 是实时仿真控制过程中，传感器采集的数据经过 MATLAB 处理后得到的。其中上摆杆的角度在 2 ~2  之间运动，小车在 20mm-110mm 之间的位置运动。实验数据结果表明该二级倒立摆控制平台在本文设计的滑模变结构控制算  之间运动，下摆杆的角度在 5 ~5 −  −  法下能够非常平稳的运行，摆杆角度和小车位移波动的幅度都保持在一个比较小的范围内。图 10 是 MATLAB 仿真（虚线）和实时仿真（实线）在阶跃为 100mm 的情况下的对比，结果表明实时仿真的波形能很快收敛到理想的波形，系统在 2s 内区域稳定响应速度快，且没有稳态误差。在小车位移阶跃的过程中 MATLAB 仿真的摆杆角度波动比较大，实时仿真的摆杆角度有一个相对较小的波动。总体上看，二级倒立摆控制平台在滑模变结构控制算法下，即使有阶跃干扰仍然能够快速回到平衡位置。动态响应性能良好，很好得验证本文所设计的滑模控制算法的有效性和鲁棒性。 - 7 -

中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 10 5 0 -5 g e d / 度角杆摆上 75 80 0 70 时间/s 时间/s a) 上摆杆角 a)上摆杆角 a) Upper rod angle a) Upper rod angle 5 10 20 10 0 -10 g e d / 度角杆摆下 75 80 0 70 时间/s 时间/s b) 下摆杆角 b) 下摆杆角 b) Bottom rod angle b) Bottom rod angle 5 10 / m m 置位车小 100 0 -100 -200 0 实时控制仿真实时控制仿真 15 15 实时控制仿真 20 20 20 65 65 2 1 0 -1 g e d / 度角杆摆上 -2 60 5 0 s / 度角杆摆下 -5 60 120 100 80 60 40 20 m m 置/ 位车小 60 65 215 220 225 230 235 240 70 75 80 时间/s c) 小车位置 c) 小车位置时间/s 5 10 15 c) Position of car c) Position of car 图 9 实时仿真数据图 10 数据对比 Fig.9 Data of real-time simulation Fig.10 Data comparison 4 结论本文设计的滑模变结构控制器采用 Ackermann 公式和指数趋近律的方式，通过仿真选取合理的趋近律参数，有效抑制了抖振问题。将该控制算法应用到二级倒立摆实时控制平台，取得了良好的预期效果，为滑模控制的工程应用提供参照。从实时仿真试验结果可以看出，滑模变结构控制系统响应快，超调小，具有很好的鲁棒性。通过二级倒立摆这个典型的非线性控制系统，表明一些高阶次、多变量、严重不稳定和强耦合的非线性系统的控制问题可以通过变结构控制得到有效解决。从本文的实时仿真试验可以看出，该算法仍存在较小的抖振，后期还需要进一步深入的研究。 [参考文献] (References) [1] M S Park, D Chwa. Swing-up and Stabilization Control of Inverted-Pendulum Systems Via Coupled Sliding-Mode Control Method[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2009, 56(9): 3541-3555. [2] H Heng. Inverted Pendulum Control and Parameter Optimization Based on MATLAB[D]. Wuhan: Wuhan University of Science and Technology, 2008. [3] J J Wang. Simulation Studies of Inverted Pendulum Based on PID Controllers[J]. Simulation Modeling Practice and Theory, 2011, 19: 440-449. [4] 赵文龙，陈能祥. 基于 LQR 的直线二级倒立摆最优控制系统研究[J]. 南昌航空大学学报，2013，27（1）： 66-72. - 8 -

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