2017 云南高考文科数学真题及答案
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则 A B 中元素的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
2.复平面内表示复数 z=i(–2+i)的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了 2014 年 1 月至
2016 年 12 月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是
A.月接待游客逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月
D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月,波动性更小,变化比较平稳
4.已知
sin
A.
7
9
cos
,则 sin 2=
4
3
B.
2
9
C.
2
9
D.
7
9
3
x
2
x
y
6 0
y
0
0
,则 z=x-y的取值范围是
B.[–3,2]
C.[0,2]
5.设 x,y满足约束条件
A.[–3,0]
D.[0,3]
6.函数 f(x)= 1
5
sin(x+
3
)+cos(x−
6
)的最大值为
A. 6
5
B.1
7.函数 y=1+x+
sin x
2
x
的部分图像大致为
C. 3
5
D. 1
5
A.
C.
B.
D.
8.执行下面的程序框图,为使输出 S的值小于 91,则输入的正整数 N的最小值为
A.5
B.4
C.3
D.2
9.已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的
体积为
A. π
10.在正方体
B.
3π
4
C.
π
2
D.
π
4
ABCD A B C D
1
1 1
1
中,E为棱 CD的中点,则
A. 1
A E DC⊥
1
B. 1A E BD⊥
C. 1
A E BC⊥
1
D. 1A E AC⊥
11.已知椭圆 C:
2
2
x
a
2
2
y
b
1
,(a>b>0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2 为直径
的圆与直线
bx ay
2
ab
相切,则 C的离心率为
0
A.
6
3
B.
3
3
C.
2
3
D.
1
3
12.已知函数
( )
f x
2
x
2
(
x a e
x
1
e
1
x
)
有唯一零点,则 a=
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
2
D.1
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.已知向量 ( 2,3),
a
b
(3,
)
m
,且 a⊥b,则 m=
.
14.双曲线
2
2
x
a
2
y
9
(a>0)的一条渐近线方程为
1
y
x ,则 a=
3
5
.
15.△ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c。已知 C=60°,b= 6 ,c=3,则 A=_________。
16.设函数
( )
f x
x
2
1
0
, ,
x
x
, ,
0
x
则满足
( )
f x
(
f x
1
2
) 1
的 x的取值范围是__________。
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.(12 分)
设数列 na 满足 1
a
23
a
(2
n
1)
a
n
2
n
.
(1)求 na 的通项公式;
(2)求数列
na
1
n
2
的前 n项和.
18.(12 分)
某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶 6 元,
未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求
量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶;如果最
高气温位于区间[20,25),需求量为 300 瓶;如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶.为
了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进
货量为 450 瓶时,写出 Y的所有可能值,并估计 Y大于零的概率.学#科@网
19.(12 分)
如图,四面体 ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
(1)证明:AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若 E为棱 BD上与 D不重合的点,且 AE⊥EC,
求四面体 ABCE与四面体 ACDE的体积比.
20.(12 分)
在直角坐标系 xOy中,曲线 y=x2+mx–2 与 x轴交于 A,B两点,点 C 的坐标为(0,1).当
m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现 AC⊥BC的情况?说明理由;
(2)证明过 A,B,C三点的圆在 y轴上截得的弦长为定值.
21.(12 分)
已知函数 ( )
f x =lnx+ax2+(2a+1)x.
(1)讨论 ( )
f x 的单调性;
(2)当 a﹤0 时,证明
( )
f x
3
4
a
.
2
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第
一题计分。
22.[选修 4―4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy中,直线 l1 的参数方程为
x
y
2+ ,
t
,
kt
(t为参数),直线 l2 的参数方
程为
2
x
my
k
,
,
m
( 为参数).设 l1 与 l2 的交点为 P,当 k变化时,P的轨迹为曲线 C.
m
(1)写出 C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 l3:ρ(cosθ+sinθ)−
2 =0,M为 l3 与 C的交点,求 M的极径. 学*科@网
23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分)
已知函数 ( )
f x =│x+1│–│x–2│.
(1)求不等式 ( )
f x ≥1 的解集;
(2)若不等式 ( )
f x ≥x2–x +m的解集非空,求 m的取值范围.
绝密★启用前
一、选择题
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题正式答案
1.B
7.D
2.C
3.A
4.A
5.B
6.A
8.D
9.B
10.C
11.A
12.C
二、填空题
13. 2
14. 5
15. 75° 16. (- ,
)
三、解答题
17.解:
(1)因为 +3
+…+(2n-1) =2n,故当 n≥2 时,
+3
+…+( -3)
=2(n-1)
两式相减得(2n-1) =2
所以 =
(n≥2)
又因题设可得 =2.
从而{
} 的通项公式为
=
.
(2)记 {
}的前 n项和为 ,
由(1)知
=
=
-
.
则 =
-
+
-
+…+
-
=
.
18.解:
(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶,当且仅当最高气温低于 25,由表格数据知,最
高气温低于 25 的频率为
, 所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率
估计值为 0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时,
若最高气温不低于 25,则 Y=6 450-4 450=900;
若最高气温位于区间 [20,25),则 Y=6 300+2(450-300)-4 450=300;
若最高气温低于 20,则 Y=6 200+2(450-200)-4 450= -100.
所以,Y的所有可能值为 900,300,-100.
Y大于零当 且仅当最高气温不 低于 20,由表格 数据知,最高气温 不低于 20 的频率为
,因此 Y大于零的概率的估计值为 0.8.
19.解:
(1)取 AC 的中点 O连结 DO,BO.
因为 AD=CD,所以 AC⊥DO.
又由于△ABC是正三角形,所以 AC⊥BO.
从而 AC⊥平面 DOB,故 AC⊥BD.
(2)连结 EO.
由(1)及题设知∠ADC=90°,所以 DO=AO.
在 Rt△AOB中,
.
又 AB=BD,所以
,故∠DOB=90°.
由题设知△AEC为直角三角形,所以
.
又△ABC是正三角形,且 AB=BD,所以
.
故 E为 BD的中点,从而 E到平面 ABC的距离为 D到平面 ABC的距离的 ,四面体 ABCE的体
积为四面体 ABCD的体积的 ,即四面体 ABCE与四面体 ACDE的体积之比为 1:1.
20.解:
(1)不能出现 AC⊥BC的情况,理由如下:
设
,
,则
满足
所以
.
又 C的坐标为(0,1),故 AC的斜率与 BC的斜率之积为
,所以不能出现 AC⊥BC
的情况.
(2)BC的中点坐标为(
),可得 BC的中垂线方程为
.
由(1)可得
,所以 AB的中垂线方程为
.
联立
又
,可得
所以过 A、B、C三点的圆的圆心坐标为(
),半径
故圆在 y轴上截得的弦长为
,即过 A、B、C三点的圆在 y 轴上的截得的
弦长为定值.
21.解:
(1)f(x)的定义域为(0,+ ),
.
若 a≥0,则当 x∈(0,+ )时,
,故 f(x)在(0,+ )单调递增.