2004山西考研数学二真题及答案.doc-资料库

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2004 山西考研数学二真题及答案一、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 设 ( ) f x  lim n  ( n  2 nx 1) x 1  , 则 ( ) f x 的间断点为 x  . 确定, 则曲线 y  ( ) y x 向上凸的 x 取值范围 (2) 设函数 ( ) y x 由参数方程   x   y   3 3 t t 3 t   3 t   1 1 为 . (3)  1  dx 2 1 x x   . (4) 设函数 z  ( , z x y ) 由方程 2 x  3 z z  e  确定, 则3 z  2 x  y  z  y   (5) 微分方程 ( y  3 x dx )  2 xdy  满足 0 xy   的特解为 1 6 5 . . (6) 设矩阵 A       2 1 0 1 2 0 0 0 1      E , 矩阵 B 满足  ABA  2  BA  , 其中 A 为 A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则 B  . 二、选择题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 把 x  时的无穷小量 0   x 0 cos 2 t dt ,   2 x 0 tan t dt ,   0 sinx 3 t dt 排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是 ( ) (A) .    , , (C) .    , , (B) (D) .    , , .    , , (8) 设 ( ) f x  x (1  x ) , 则 ( ) (A) (B) x  是 ( ) f x 的极值点, 但 (0, 0) 不是曲线 0 x  不是 ( ) f x 的极值点, 但 (0, 0) 是曲线 0 第 1 页共 25 页 y  ( ) f x 的拐点. y  ( ) f x 的拐点.

(C) (D) x  是 ( ) f x 的极值点, 且 (0, 0) 是曲线 0 y  ( ) f x 的拐点. x  不是 ( ) f x 的极值点, (0, 0) 也不是曲线 0 y  ( ) f x 的拐点. (9) lim ln n  n (1  1 n 2 ) (1  2 n 2 ) (1  2 ln xdx . 2 1  2 (A) (C) 2 1  ln(1  )x dx . (D) 2 1  2 n ) n (B) 等于 ( ) 2 2 1  ln (1 2 ln xdx .  )x dx (10) 设函数 ( ) f x 连续, 且 (0) 0  , 则存在 0 , 使得 ( f  ) (A) ( ) f x 在 (0, ) 内单调增加. (B) ( ) f x 在 ( , 0) 内单调减小. (C)对任意的 (0, )  x 有 ( ) f x f (0) . (D)对任意的 (   x , 0) 有 ( ) f x f (0) . (11) 微分方程 y    y x 2 1 sin   x 的特解形式可设为 ( ) (A) y   ax 2  bx   c ( x A sin x B  cos ) x . (B) y   ( x ax 2  bx   c A sin x B  cos ) x . (C) y   ax (D) y   ax 2 2  bx   c A sin x .  bx   c A cos (12) 设函数 ( ) f u 连续, 区域 D  x  ( , x y x ) 2  2 y  2 y  , 则  D ( f xy dxdy ) 等于 ( ) (A) (C) 1 1   0   2 2 1 x   dx 1 x   2sin   d 0 ( f xy dy ) . (B) 2 2 y y  2 ( f xy dx ) . 2 ( f r sin cos )   dr . (D)  2 ( f r sin cos )   rdr  2 0   dy 0 2sin   d 0 0 (13) 设 A 是 3 阶方阵, 将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B , 再把 B 的第 2 列加到第 3 列得C , 则满足 AQ C 的可逆矩阵Q 为 ( ) 第 2 页共 25 页

(A) .      0 1 0 1 0 0 1 0 1      (14) 设 A , B 为满足 (B)      0 1 0 1 0 1 0 0 1      . (C)      0 1 0 1 0 0 0 1 1      . (D)      0 1 1 1 0 0 0 0 1      . AB  的任意两个非零矩阵, 则必有 ( 0 ) (A) A 的列向量组线性相关, B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关, B 的列向量组线性相关. (C) A 的行向量组线性相关, B 的行向量组线性相关. (D) A 的行向量组线性相关, B 的列向量组线性相关. 三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 求极限 1 lim 3 x 0 x     x 2 cos    3 x    1      . (16)(本题满分 10 分) 设函数 ( ) f x 在( ,   )上有定义, 在区间[0, 2] 上, ( ) f x  ( x x 2  4) , 若对任意的 x 都满足 ( ) f x  ( k f x  2) , 其中 k 为常数. (I)写出 ( ) f x 在[ 2, 0]  上的表达式; (II)问 k 为何值时, ( ) f x 在 0 x  处可导. (17)(本题满分 11 分) 设 ( ) f x   2   x x sin t dt , (I)证明 ( ) f x 是以为周期的周期函数; (II)求 ( ) f x 的值域. 第 3 页共 25 页

(18)(本题满分 12 分) 曲线 y  x e x  e 2 与直线 0,  x x  ( t t  及 0) y  围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕 0 x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为 ( )V t , 侧面积为 ( )S t , 在 x t 处的底面积为 ( )F t . (I)求 ( ) S t ( ) V t 的值; (Ⅱ)计算极限 lim t  ( ) S t ( ) F t . (19)(本题满分 12 分) 设 e a b e    2 , 证明 2 ln b  ln 2 a  4 2 e ( b a  ) . (20)(本题满分 11 分) 第 4 页共 25 页

某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为 700 km h .经测试,减速伞打开后, / 飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k  6.0 10  6 ).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? (注： kg 表示千克, /km h 表示千米/小时) (21)(本题满分 10 分) 设 z  2 ( f x  2 y , e )xy ,其中 f 具有连续二阶偏导数,求 z  x  , z  y  , 2 z  x y   . (22)(本题满分 9 分) 设有齐次线性方程组 (1    2 x  1  3 x  1  4 x  1 ) a x 1 (2  3 x  2 4 x  2 x   2 ) a x  2 (3   4 x  3 x  3 2 x  3 ) a x 3 (4  0, x  4 2 x  4 3 x  4 ) a x  4 0,  0,  0,  试问 a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解 (23)(本题满分 9 分) 设矩阵 1 2 1 4  1 a      3  3  5      角化. 的特征方程有一个二重根, 求 a 的值, 并讨论 A 是否可相似对第 5 页共 25 页

参考答案一、填空题 (1)0. 解:本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点. 对不同的 x , 先用求极限的方法得出 ( ) f x 的表达式, 再讨论 ( ) f x 的间断点. 由 ( ) f x  lim n  ( n  2 nx 1) x 1  ，显然当 0 x  时, ( ) 0 f x  ；当 0 x  时, ( ) f x  lim n  ( n  2 nx 1) x 1   lim n  (1  2 x 1 n  ) x 1 n   2 lim(1 n     lim n  x 1 n  ) x 1   n   x 2 x  , 1 x 所以 ( ) f x     0, 1 , x x  0 x  0 , 因为 lim ( ) f x x  0  lim 0 x  1 x    f (0) ，故 x  为 ( ) f x 的间断点. 0 (2)解:判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 x    y ( ) x t ( ) y t 定义的参数方程求出二阶导数 2 d y 2 dx , 再由 2 d y 2 dx  确定 x 的取值范围. 0 dy dt dy dx   3 t   3 t   1  2 3 t  ， 3  dy dt dx dt  2 2 3 t 3 t   3 3  2 2 t t     2 t dx dt 1 1  3 t  3 t    1  2 3 t  3 1 1 1    2 1 t  1   2  1 2 t 所以 2 d y 2 dx  d dy dt dt dx dx           1  2 t   2   1  1 2  1) 3( t  4 t 2 1   2  t 1 2  1) 3( t  4 t 2  3( t , 3 1) 令 2 d y 2 dx  (或 0 2 d y 2 dx  )，即 0 4 t 2  3 1) 3( t  0 (或 4 t 2  3 1) 3( t  0 t   )  0 t 或 0 又 x 3 3 t   t 1  ， x   23 t   ，所以   3 0 x t 单调增, 当 0 t  时， 1x  ，所以当 0 t  时   x t x  0 曲线凸  (或当 0 t  时，   x t 1 x  0  )，即 ( x   (或 ( x   )时， ,1) ,1] 1 第 6 页共 25 页

(3)  2 . 解:利用变量代换法可得所求的广义积分值. 方法 1：作积分变量变换，令 sec  x t ，则 2 x 1 sec   2 t 1 tan   2 t ， dx  d sec t  sec tan t tdt ， : 0 t  ，  2 代入原式：  1  dx 2 x x  1 x  sec t  2 0  sec sec t t   tan tan t t dt    dt 2 2 0   . 方法 2：令 x  ，则 1 t dx  d 1 t   1 2 t dt ， :1 t  ，代入原式： 0  1  dx 2 x x  1 x  1 t 0 1  t 1 2 t  1 (  1 2 t ) dt  1 0  1  1 2 t dt  arcsin t 1 0   2 . (4) 2 . 解:此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解. 方法 1：复合函数求偏导，在 z  e 2 x  3 z  2 y 的两边分别对 x , y 求偏导, z 为 ,x y 的函数. z  x  z  x   e 2 x  3 (2 3 z  z  x  ) ,  x 2 2 e 1 3 e   3 z , 2 x  3 z 3 z  x   z  y  3   x 2 2 e 1 3 e   3 z 2 x  3 z z  y  z  y   e 2 x  3 ( 3 z  z  y  ) 2  ,  2 2 1 3 x e   3 z  2 2 1 3 e  2   x  3 z 1 3 e  1 3 e  2 x  3 z 2 x  3 z  2 从而所以方法 2：令 , ) F x y z ( ,  e 2 x  3 z  2 y   ，则 0 z F e   x  2 x 3 2 z   , 2F   y  , F e   z  2 x 3 ( 3) 1 z    所以 z  x  z  y      F  x  F  y  F  z  F  z    z  2 3 x e (1 3 e    2 2 3 x   z ) 2 2 e 1 3 e  x  3 z , 2 x  3 z   2 (1 3 e   2 x  3 z )  2 2 1 3 e  , x  3 z 从而 3 z  x   z  y  3   x 2 2 e 1 3 e   3 z 2 x  3 z  2 2 1 3 e  2   x  3 z 1 3 e  1 3 e  2 x  3 z 2 x  3 z  2 第 7 页共 25 页

方法 3：利用全微分公式,得 dz  e 2 x  3 (2 z dx  3 ) 2 dz  dy 2 x  3 z  2 e dx  2 dy  3 e 2 x  3 z dz 即 (1 3 e  2 x  3 z ) dz  2 e 2 x  3 z dx  2 dy ，得 dz  x 2 2 e 1 3 e   3 z 2 x  3 z dx  2 2 1 3 e  dy x  3 z 所以从而 z  x   2 2 e 1 3 e  x  3 z , 2 x  3 z z  y   2 2 1 3 x e   3 z 3 z  x   z  y  3   x 2 2 e 1 3 e   3 z 2 x  3 z  2 2 1 3 e  2   x  3 z 1 3 e  1 3 e  2 x  3 z 2 x  3 z  2 (5) y  31 x 5  x . 解:此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解. 方法 1：原方程变形为先求齐次方程分离变量：两边积分得：  dy dx dy dx dy y 1 y 2 x 1  2 x 1 2 x  2 , x 1 2  的通解: 0  y dx ln y  1 2 ln x  ln c   y c x 用常数变易法，设 y  ( ) c x x 为非齐次方程的通解，则  y  ( ) c x x  ( ) c x 代入 dy dx  1 2 x y  1 2 2 x ，得  ( ) c x x  ( ) c x 1 2 x  1 2 x ( ) c x x  1 2 2 x ，即  ( ) c x  1 2 x ， 3 21 x 2 , 积分得 ( ) c x  3 x dx 2   1 2 5 2 x 1 5  C , 于是非齐次方程的通解为： y  又由于故所求特解为 C  1 . ( x 5 21 x 5 31 1 5  6 5  C )  C x  1 5 3 x 1C  , 6 5 1 xy   代入通解，得 31 x 5 1 2 x dy dx    y x y  方法 2：原方程变形为 1 2 2 x , 第 8 页共 25 页

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