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2001陕西考研数学二真题及答案.doc
2001 陕西考研数学二真题及答案
一、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分．把答案填在题中横线上．）
（1）
lim
1
x
3
x
x
x
2
1
2
x
＝______．
【答案】
2
6
【考点】洛必达法则
【难易度】★★
【详解】解析：方法一：
lim
1
x
3
2
x
x
1
x
2
x
lim
1
x
)
2(1
x
1)(
x
2)
(
x
1
x
3
1
x
1
2 x
lim
x
1
1
2
2 .
6
方法二：使用洛必达法则计算
lim
1
x
3
2
x
x
1
x
2
x
lim
1
x
1
32
1
12
x
12
x
x
1
22
3
1
22
2
6
.
（2）设函数
y
)(xf
由方程
e
2
yx
cos(
xy
)
e
1
所确定，则曲线
y
)(xf
在点 )1,0( 处
的法线方程为______．
【答案】
x
2
y
02
【考点】隐函数的导数、平面曲线的法线
【难易度】★★
【详解】解析：在等式 2
e
x y
cos(
xy
)
2
e
x y
(2
y
')
sin(
xy
) (
y
xy
') 0,
两边对 x求导,得
e
1
将
x
,0
y
1
代入上式,得 '(0)
y
故所求法线方程为
2.
y
11
2
x
,
即 x−2y+2=0.
（3）
π
2
π
2
【答案】
3
(
x
sin
2
x
)
cos
2
d
xx
＝_______．
8
【考点】定积分的换元法
【难易度】★★
【详解】解析：由题干可知，积分区间是对称区间，利用被积函数的奇偶性可以简化计算.
在区间[
]
2 2
,
上, 3
x
2
cos
x 是奇函数,
sin
2
x
cos
2
x 是偶函数,
故
2
2
3
x
2
sin
x
2
cos
xdx
2
2
3
x
2
cos
x
2
sin
x
cos
2
x dx
2
2
1
4
2
sin 2
xdx
1
8
2
2
(1 cos 4 )
x dx
.
8
（4）过点
1(
2
)0,
且满足关系式
arcs
y
in
x
y
1
2
x
1
的曲线方程为______．
y
【答案】
arcsin
1
2
【考点】一阶线性微分方程
x
x
【难易度】★★
【详解】解析：方法一:
原方程
y
'arcsin
x
y
1
2
x
1
可改写为
y
arcsin
'
x
1,
两边直接积分,得 arcsin
y
x C
x
1 .
2
arcsin
x
x
1
2
.
又由
y
1(
2
) 0,
解得
C
故所求曲线方程为：
y
方法二:
将原方程写成一阶线性方程的标准形式
y
'
1
arcsin
x
y
1
arcsin
.
x
1
2
x
解得
1
arcsin
x
dx
2
1
x
y
e
C
1
arcsin
x
e
1
arcsin
x
dx
2
1
x
dx
C
1
arcsin
e
x
ln arcsin
x
dx
(
C x
),
ln arcsin
x
e
1
arcsin
x
又由
y
1(
2
) 0,
解得
C
故曲线方程为：
y
arcsin
x
1 .
2
x
.
1
2
1
1
11
a
1
1
a
11
a
x
1
x
2
x
3
（5）设方程
【答案】 2
2
有无穷多个解，则 a＝______．
【考点】非齐次线性方程组解的判定
【难易度】★★
【详解】解析：方法一:
利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有
A
1 1
a
1
1
a
1 1
a
1
1
2
1
0
a
0 1
1
a
1 1
a
2
1
a
a
2
3
1 2
a
1
0
0
a
1
0
1
a
a
1
1
a
2
a
2
3
a
2
,
2
可见,只有当a =−2 时才有秩 (
)
r A
)
r A
(
对应方程组有无穷多个解.
2 3,
方法二:
当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的a 一定使系数行列式
为零,即有
1 1
a
1
1
a
1 1
a
(
a
2)(
a
1)
2
解得
0,
2a
或 1a
.
由于答案有两个,应将其带回原方程进行检验.显然,当 1a 时,原方程无解,因此只能是
2a
.
二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分．每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）
（1）设
)(
xf
|,1
|,0
x
x
,1|
,1|
则
f
[{
f
(
xf
)]}
等于（ ）
（A）0．
（B）1．
（D）
,0
,1
|
|
x
x
,1|
.1|
（C）
,1
,0
|
|
x
x
,1|
.1|
【答案】B
【考点】复合函数
【难易度】★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
复合函数中，内层函数的值域是包含于外层函数的定义域。
解析：由题易知
)(
xf
1
，所以
f
[
(
xf
)]
1
，
f
[{
f
(
xf
)]}
f
1)1(
，选 B.
（2）设当
0x
时，
1(
cos
x
)
1ln(
2x
)
是比
xsin 高阶的无穷小，而
nx
xsin 是比
nx
(
2 xe
)1
高阶的无穷小，则正整数 n 等于（ ）
（B）2．
（C）3．
（D）4．
（A）1．
【答案】B
【考点】无穷小量的比较
【难易度】★★
【详解】解析：由题易知:
2
x
)
0
1ln(
n
x
1
2
x
4
x
1
n
0
lim
0
x
)
x
sin
2
x
n
cos
x
2
x
xx
4
1
2
1(
lim
0
x
lim
0
x
1
n
3
n
2
n
sin
x
x
lim
x
1
e
0
x
的拐点个数为（ ）
xx
lim
2
x
0
x
（C）2．
2
1
n
1
n
n
（B）1．
0
lim
0
x
1
n
x
x
0
2
（D）3．
（3）曲线
y
(
x
2
()1
x
2
)3
（A）0．
【答案】C
【考点】函数图形的拐点
【难易度】★★
【详解】解析：
2
2
y
y
y
(2
x
(2
x
(2
x
(4
x
)3
)(1
(2
)(3
)1
x
x
x
2
)(1
)3
(4
(4)3
)(3
x
x
x
2
)3
(8
)(1
(2)3
)1
x
x
x
(8)3
(4)1
(8)3
)1
x
x
x
x
2
(2)1
x
)1
2
(24
x
)2
由
0y
得， 1x 或 3x ，带入
0y
，故 )(xf 有两个拐点.
（4）已知函数 )(xf 在区间
1(
)
1,
内具有二阶导数，
)(xf 严格单调减少，且
f
)1(
f
1)1(
，则（ ）
（A）在
1(
)1,
和
1,1( 内均有
)
)(
xf
x
．
（B）在
1(
)1,
和
1,1( 内均有
)
)(
xf
x
．
（C）在
1(
)1,
内，
)(
xf
x
，在
1,1( 内，
)
)(
xf
x
．
（D）在
1(
)1,
内， ( )
f x
x ，在
1,1( 内， ( )
f x
)
x ．
【答案】A
【考点】函数单调性的判别
【难易度】★★★
【详解】解析：令
)(
xF
)(
xf
x
，则
)(
xF
xf
1)(
，
因为在区间
1(
)
1,
上，
)(xf 严格单调减少，
所以当
1( x
)1,
时，
)(
xF
f
01)1(
， )(xF 单调递增，
)(
xF
F
)1(
f
01)1(
；
当
x
1,1(
)
时，
)(
xF
f
01)1(
，
)(xF 单调递减，
)(
xF
F
)1(
f
01)1(
；
故在
1(
)1,
和
1,1( 内均有
)
xF
0)(
，即
)(
xf
x
.
（5）设函数 ( )
f x 在定义域内可导，它的图形如下图所示，则其导函数
y
)(xf
的图形为
（ ）
【答案】D
【考点】函数单调性的判别
【难易度】★★★
【详解】解析：由图可知 )(xf 有两个极值点，横坐标分别记作
(
xxx
1
1
,
2
，故
x
)
2
)(xf 在
且仅在这两处的值为 0 ，故选 D。其中，当 0x 时， )(xf 先增后减再增，故
)(xf 先正再
负再正，进一步排除 B.
三、（本题满分 6 分）
求
2
2(
x
d
x
)1
2
x
1
【考点】不定积分的第二类换元法
【难易度】★★★
则
dx
2
sec
udu
,
u
cos
2
u
2sin
udu
cos
2
u
【详解】解析：设 tan ,
u
x
原式
1)cos
2
du
u
u
(2 tan
sin
d
2
sin
u
arctan(sin )u C
1
arctan(
x
1
2
x
)
C
四、（本题满分 7 分）
求极限
lim
x
t
sin(
sin
t
x
x
sin
x
sin)
t
，记此极限为 )(xf ，求函数 )(xf 的间断点并指出其类型．
【考点】两个重要极限、函数间断点的类型
【难易度】★★★
【详解】解析：
)(xf
lim
x
t
sin(
sin
t
x
x
sin
x
sin
t
)
1(
lim
t
x
sin
sin
t
x
)1
sin
t
x
sin
sin
sin
t
sin
sin
x
x
x
x
sin
x
sin
t
x
sin
x
e
由此表达式知 x＝0 及 x＝k （k＝±1，±2，…）都是 f（x）的间断点．
由于
lim
0
x
)(
xf
lim
0
x
e
x
sin
x
e
，所以 x＝0 是 f（x）的可去（或第一类）间断点；而
x＝k （k＝±1，±2，…）均为第二类（或无穷）间断点．
五、（本题满分 7 分）
设
)(x
是抛物线
y
x
上任一点
xyxM
,(
)(
)1
处的曲率半径，
s
)(xs
是该抛物线
上介于点
)1,1(A 与 M 之间的弧长，计算
2
d3
d
d(
)
2
d
s
s
2
的值．（在直角坐标系下曲率公式
为
K
|
y
|
1(
2
y
)
)
3
2
【考点】曲率半径、定积分的几何应用—平面曲线的弧长、由参数方程所确定的函数的导数
【难易度】★★★
【详解】解析：
y
'
1
2
x
,
"
y
1
x
3
,
4
抛物线在点 ( ,
M x y 处的曲率半径
)
( )
x
(1
1
K
3
2 2
' )
y
"
y
1
2
(4
x
3
1) .
2
抛物线上 AM 的弧长
s
( )
s x
x
1
1
2
'
y dx
x
1
1
1
4
x
.
dx
故
d
ds
3
2
4
d
dx
ds
dx
1 3 (4
2 2
x
1
1)
1
4
x
6
x
.
2
2
d
ds
d d
)
(
dx ds
6
2
x
1
ds
dx
1
1
1
4
x
6
1 4
x
.
因此
3
2
d
ds
d
)
2
ds
(
2
3
1
2
1 4
x
3
2
6
1 4
x
36
x
9.
六、（本题满分 7 分）
设函数 )(xf 在
,0[ 上可导，
)
f
)0(
0
，且其反函数为 )(xg ．若
(
xf
)
0
d)(
tg
t
x
2
x
,e
求 )(xf ．
【考点】积分上限的函数及其导数、一阶线性微分方程
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
(
tgxf
d)()
0
t
(
(
xfg
))
)(
xf
解析：等式两边对 x 求导得：
(
(
xfg
))
)(
xf
x
2
xe
x
2
ex
，
又因为 )(xg 是 )(xf 的反函数，故
(
(
xfg
))
x
，
所以有
)(
xf
x
2
e
x
xe
)(
xf
x
2(
e
x
xe
)
dx
x
[
e
x
(
e
x
xe
])
dx
x
e
x
xe
C
又因为 )(xf 在 0x 处连续，由
lim
0
x
1)(
xf
fC
)0(
0
得
1C
故
)(
xf
x
e
x
xe
1
.
七、（本题满分 7 分）
设函数 )(xf ， )(xg 满足
)(
xf
)(
(
xgxg
),
e2
x
)(
xf
，且
f
)0(
0
，
g
)0(
2
，求
)(
xg
(π
1
x
0
)(
xf
)
1(
x
2
.d)
x
【考点】自由项为指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程、定积分的分部积分法
【难易度】★★★★
【详解】解析：因为
)(
xf
)(
(
xgxg
),
e2
x
)(
xf
，所以
f
)(
x
e2
x
)(
xf
其对应的齐次微分方程为
f
)(
x
)(
xf
0
特征方程为
012
r
，
ir
所以齐次微分方程的通解为
)(
xf
C
1
cos
Cx
2
sin
x
设非齐次微分方程的特解为
f
)(*
x
xCe
，则
*
f
)(
x
x
Ce
,
f
*
)(
x
x
Ce
,
代入微分方程得
1C ，
所以非齐次微分方程的通解为
)(
Cxf
1
cos
Cx
2
sin
xex
，
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