2005年江苏南京农业大学高等代数考研真题.doc

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2005 年江苏南京农业大学高等代数考研真题一填充题（65 分=30 分） 1．多项式 x36x2+15x14 的有理根为。 2． 1 2 1      1 1 1  1  0 0      的逆矩阵为。 3．已知二阶方阵 A 的特征值为1=2，2=3，对应的特征向量分别为 X1=(1，2) '，X2=(3，4) '。则 A= 。 4．当 a= 时，向量组1=(a，1，3，11)，2=(1，3，1，3)，3=(1，2，1，4)的秩为 2。 5．设 f(x1，x2，x3) = x1 2+4x2 2+4x3 2+2x1x22x1x3+4x2x3 正定，则的取值范围是。

6．设在空间 P[x]n 中，变换 А 为 f(x)  f(x+1)  f(x) 。求变换 А 在基  0=1 ， ( xx i= )1 (  ! i x  i )1 (i=1，2，…，n1)下的矩阵。二（15 分）证明：xm1 整除 xn1 的充要条件是 m 整除 n。三（15 分）设 aij，bij 分别为 n 阶行列式 detA，detB 的元素，而且满足 bij= n k 1  ika  aij(i=1，2，…， n；j=1，2，…，n)，求证 detB=(1) m (n1)detA。四（15 分）设 nm 实矩阵 A 的秩为 m，B 为 n 阶正定矩阵，证明矩阵 A'BA 可逆。这里 A'是 A 的转置矩阵。五（15 分）设 V 是一个 n 维欧氏空间，1，2，…，n 是 V 的一个标准正交基，是 V 的一个线性变换，A=( aij)是在这个基下的矩阵，证明：(i ，j)= aji，i，j=1，2，…，n。六（15 分）若 D=(d ij) nn，定义 TrD= n i 1  iid 。设 A  3 1 0      13  0 0 1 0     

（1）求 TrAk ，k=1，2，…。（2）证明 A 不相似于任一对角阵。七（15 分）实数0 是 A  A 的特征值的充要条件是存在非零向量 X，使 A  X = X。这里 A 是复方阵，  A 是 A 的共轭阵。八（15 分）设0 是线性方程组的一个解，1，2…，t 是它的导出方程组的一个基础解系，令1=0， 2=1+0，…，t+1=t+0，证明线性方程组的任一个解，都可表成=u11+ u22+…+ut+1t+1，其中 u1+ u2+…+ut+1=1。九（15 分）设 f(x)是数域 P 上的多项式，而且有 f(x)= (x) (x)，( (x) ， (x))=1。又设 V 为 P 上 n 维线性空间，T 为 V 的一个线性变换，K 为 f(T)的核，W1 为 (T)的核，W2 为 (T)的核，求证：K= W1 W2。

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