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2008年湖北高考文科数学真题及答案.doc
2008 年湖北高考文科数学真题及答案
本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
★祝考试顺利★
注间事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上指定位置
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效.
3.填空题和解答题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在
试题卷上无效.
4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.设 a=(1，－2), b=(－3,4),c=(3,2)，则(a+2b)·c=
A. ( 15,12)
2.
3
(2
x
1
2
x
)
2
A.210
3.若集合 {1,2,3,4},
P
B.0
C.－3
D.－11
10 的展开式中常数项是
B.
105
2
{ 0
x
Q x
C.
1
4
5,
x R
则
},
D.－105
A. “ Px ”是“ x Q ”的充分条件但不是必要条件
B. “ Px ”是“ x Q ”的必要条件但不是充分条件
C. “ Px ”是“ x Q ”的充要条件
D. “ Px ”既不是“ x Q ”的充分条件也不是“ x Q ”的必要条件
4.用与球必距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为
A.
32
3
B.
8
3
C.8 2
D.
8 2
3
5.在平面直角坐标系 xOy 中，满足不等式组
x
x
,
y
1
的点( , )x y 的集合用阴影表示为下列
图中的
6.已知 ( )
f x 在 R上是奇函数，且满足 (
f x
4)
( ),
f x
当 (0,2)
x
时，
( )
f x
2
x
2
，
B.2
C.－98
D.98
)
x
的图象 F向右平移
3
个单位长度得到图象 F′，若 F′的一条对称
则的一个可能取值是
则 (7)
f
=
A.－2
7.将函数 sin(
y
1
,
轴是直线
x
A.
5
12
8. 函数
( )
f x
A.
(
]4,
)
1 (
n
1
x
,2[
C.
)0,4[
]1,0(
5
12
x
2)
3
B.
2
x
C.
11
12
D.
11
12
x
2
3
x
的定义域为
4
B. ( 4,0)
(0,1)
D.
)0,4[
)1,0(
9.从 5 名男生和 5 名女生中选 3 人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的
组队方案数为
A.100
B.110
C.120
D.180
10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，
在月球附近一点 P变轨进入以月球球心 F为一个焦点的椭圆轨道
I 绕月飞行，之后卫星在 P点第二次变轨进入仍以 F为一个焦点
的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在 P点第三次变轨进入以 F为
圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用 12c 和 22c 分别表示椭圆轨道 I
和Ⅱ的焦距，用 12a 和 22a 分别表示椭圆轨道 I 和Ⅱ的长轴的长，
给出下列式子：
a
① 1
c
1
a
2
2;
c
a
② 1
c
1
a
2
2;
c
c a
③ 1 2
1 2;
a c
c
④ 1
a
1
其中正确式子的序号是
.
c
2
a
2
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在答题卡相应位置上.
11.一个公司共有 1 000 名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一
个 容 量 为 50 的 样 本 ， 已 知 某 部 门 有 200 名 员 工 ， 那 么 从 该 部 门 抽 取 的 员 工 人 数
是
.
12.在△ABC中，a，b，c分别是角 A，B，C所对的边，已知
a
3,
b
3,
c
30 ,
则
A＝
.
13.方程
2
x
2
x
的实数解的个数为
3
.
14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，
假设甲闹钟准时响的概率是 0.80，乙闹钟准时响的概率是 0.90，则两个闹钟至少有一准时
响的概率是
.
15.圆
C
:
x
y
3 4cos ,
(
2 4sin
为参数 的圆心坐标为
)
，和圆 C关于直线
x
y 对称的圆 C′的普通方程是
0
.
三、解答题：本大题共 6 分小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满 12 分）
已知函数
( )
f x
sin cos
x
2
（Ⅰ）将函数 ( )
f x 化简成
x
2
A
cos
2
2.
x
2
sin(
)
x
(
AB
,0
,0
))2,0[
的形式，并指出
( )
f x 的周期；
（Ⅱ）求函数
( )
f x
[ ,
在
17.（本小题满分 12 分）
17
]
12
上的最大值和最小值
已知函数
( )
f x
（Ⅰ）求 m的值；
3
2
x mx m x
2
1
（m为常数，且 m>0）有极大值 9.
（Ⅱ）若斜率为－5 的直线是曲线
y
( )
f x
的切线，求此直线方程。
18.（本小题满分 12 分）
如图，在直三棱柱
ABC A B C
1 1
1
中，平面 1A BC 侧面 1
1.
A ABB
（Ⅰ）求证：
AB BC
;
（Ⅱ）若 1AA
AC a
，直线 AC与平面 1A BC 所成的角为，
二面角 1
A BC A
的大小为 求证：
,
.
2
19.（本不题满分 12 分）
如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两
个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为 18000cm2，四周空白的宽度为 10cm，
两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形
广告面积最小？
20（本小题满分 13 分）
已知双曲线
xC
:
a
2
2
2
2
y
b
双曲线 C上.
(1
a
,0
b
)0
F
的两个焦点为 1
( 2,0),
F
2
(2,0),
P
点
(3, 7)
在
（Ⅰ）求双曲线 C的方程；
（Ⅱ）记 O为坐标原点，过点 Q (0,2)的直线 l与双曲线 C相交于不同的两点 E、F，
若△OEF的面积为 2 2, 求直线 l的方程
21.（本小题满分 14 分）
已知数列{an}和{bn}满足：a1=，an+1=
2
3
an
n
4
,bn=(－1)n(an－3n+21)，其中为
实数， n 为正整数。
（I）证明：对任意实数，数列{an}不是等比数列；
（II）证明：当
时，数列 是等比数列；
18
{ }nb
（III）设 nS 为数列{ }nb 的前 n项和，是否存在实数 ，使得对任意正整数 n，都有
nS 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
12?
参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.第小题 5 分，满分 50 分.
1.C
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，第小题 5 分，满分 25 分.
5.C
6.A
2.B
3.A
4.D
7.A
8.D
9.B
10.B
11.
10
12.
30°（或
6
）
13.
2
14.
0.98
15.（3，－2），（x＋2）2＋（y－3）2＝16（或 x2＋y2＋4x－6y－3＝0）
三、解答题：本题共 6 小题，共 75 分.
16.本小题主要考查三角函数的恒等变换、周期性、单调性和最值等基本知识和运算能力.
（满分 12 分）
解：(Ⅰ)f(x)=
1
2
sinx+
1
x
cos
2
2
1
2
(sin
x
cos
x
)
3
2
2
2
sin(
x
)
4
3
2
.
故 f(x)的周期为 2kπ｛k∈Z 且 k≠0｝.
[
5,
]上是减函数，在[
4
5
4
时，f(x)有最小值－
故当 x=
x
5
4
5
17,
4
12
3
2
( Ⅱ ) 由π≤x≤
17
12
π， 得
4
5
3
. 因 为 f(x) ＝
2
2
sin(
x
)
4
3
2
在
]上是增函数.
2
；而 f(π)=－2，f(
17
12
π)＝－
6
6
4
＜－2，
所以当 x=π时，f(x)有最大值－2.
17.本小题主要考查应用导数研究函数性质的方法和基本运算能力.（满分 12 分）
解：(Ⅰ) f’(x)＝3x2+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,则 x=－m或 x=
当 x变化时，f’(x)与 f(x)的变化情况如下表：
1
3
m,
(－∞,－
m)
+
x
f’(x)
f (x)
－m
0
极大值
m, m
(－
1
3
－
)
1
( m
3
,+∞)
+
1
3
m
0
极小值
从而可知，当 x=－m时，函数 f(x)取得极大值 9，
即 f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1,
依题意知 f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1 或 x＝－
1
3
.
1
又 f(－1)＝6，f(－
3
)＝
68
27
，
所以切线方程为 y－6＝－5(x＋1), 或 y－
即 5x＋y－1＝0，或 135x＋27y－23＝0.
68
27
＝－5(x＋
1
3
)，
18.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力
和推理论证能力.（满分 12 分）
(Ⅰ)证明：如右图，过点 A在平面 A1ABB1 内作 AD⊥A1B于 D，则
由平面 A1BC⊥侧面 A1ABB1,且平面 A1BC∩侧面 A1ABB1＝A1B，
得 AD⊥平面 A1BC.又 BC 平面 A1BC
所以 AD⊥BC.
因为三棱柱 ABC－A1B1C1 是直三棱柱,
则 AA1⊥底面 ABC,所以 AA1⊥BC.
又 AA1∩AD=A,从而 BC⊥侧面 A1ABB1,
又 AB 侧面 A1ABB1，
故 AB⊥BC.
(Ⅱ)证法 1：连接 CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线 AC与平面 A1BC所成的角，∠ABA1 就是
二面角 A1－BC－A的平面角，即∠ACD＝θ，∠ABA1=
.
于是在 RtΔADC中，sinθ=
AD
AC
AD
a
,在 RtΔADA1 中，sin∠AA1D＝
AD
AA
1
AD
a
,
∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ＝∠AA1D.
2
又由 RtΔA1AB知，∠AA1D＋ ＝∠AA1B＋ ＝
，故θ＋ ＝
2
.
证法 2：由(Ⅰ)知，以点 B为坐标原点，以 BC、BA、BB1 所在的直线分别为 x轴、y
轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设 AB=c（c＜a＝，则 B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(
2
a
c
0,0,2
),
A1(0,c,a)，于是
BC
(
2
a
2
c
)0,0,
， 1BA ＝（0，c，a）,
AC
(
2
a
2
c
,
c
)0,
1AA
0,a
设平面 A1BC的一个法向量为 n=(x,y,z),
则由
n
n
BA
1
BC
,0
,0
得
cy
2
a
az
,0
2
xc
.0
可取 n＝（0，－a，c），于是
n·AC =ac＞0，AC 与 n的夹角 为锐角,则 与 互为余
n
|
n
AC
|
AC
|
2
,0(
a
),
ca
2
c
(
2
a
(
a
2
2
c
c
,
c
2
)
)0,
2
c
c
2
a
2
c
,
角
sin
=cos
=
cos
=
BA
1
|
BA
1
|
|
BA
|
BA
|
,0(
),
ca
2
a
),0,0(
a
2
c
a
a
,
2
c
2
c
2
=
2
.
所以 sin
=cos =sin(
),又 0＜ ， ＜
，所以 +
2
19.本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、不等式等知识解决实际问
题的能力.（满分 12 分）
解法 1：设矩形栏目的高为 a cm，宽为 b cm，则 ab=9000.
①
广告的高为 a+20，宽为 2b+25，其中 a＞0，b＞0.
广告的面积 S＝(a+20)(2b+25)
＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b
≥18500+2
25
a 40
b
=18500+
2
1000
ab
24500
.
当且仅当 25a＝40b时等号成立，此时 b= a
5
8
即当 a=120，b=75 时,S取得最小值 24500.
,代入①式得 a=120，从而 b=75.
故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小.
解法 2：设广告的高和宽分别为 x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为 x－20，
25y
2
,
其中
x＞20，y＞25
两栏面积之和为 2(x－20)
,由此得 y=
25
18000
20
x
,25
y
2
18000
25
20
x
(25
x
)20
)＝
18000
18000
x
20
x
18500
.
25
x,
广告的面积 S=xy=x(
整理得 S=
360000
20
x
因为 x－20＞0，所以 S≥2
360000
20
x
(25
x
)20
18500
24500
.
当且仅当
360000
20
x
(25
x
)20
时等号成立，
此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得 x=140，代入 y=
即当 x=140，y＝175 时，S取得最小值 24500，
18000
20
x
+25,得 y＝175，
故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小.
20.本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基
础知识，考查待定系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力.
（满分 13 分）
(Ⅰ)解法 1：依题意，由 a2+b2=4，得双曲线方程为
2
2
x
a
y
4
2
2
a
1
（0＜a2＜4)，
将点（3， 7 ）代入上式，得
9
2
a
7
a
2
4
1
.解得 a2=18（舍去）或 a2＝2，
故所求双曲线方程为
2
x
2
2
y
2
.1
解法 2：依题意得，双曲线的半焦距 c=2.
2a=|PF1|－|PF2|=
)23(
2
)7(
2
)23(
2
)7(
2
,22
∴a2=2，b2=c2－a2=2.
∴双曲线 C的方程为
2
x
2
2
y
2
.1
(Ⅱ)解法 1：依题意，可设直线 l的方程为 y=kx+2，代入双曲线 C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6=0.
①
∵直线 I与双曲线 C相交于不同的两点 E、F,
∴
2
1
,0
k
2
)4(
k
1(64
k
)
2
，＞
0
∴k∈(－
1,3 )∪ (-1,1)∪(1, 3 ).
设 E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得 x1+x2=
|EF|=
(
x
1
x
2
2
)
(
y
1
y
2
2
)
1(
1
k
k
,1
3
k
＜＜
,3
②
4
2
k
k
)(
x
1
2
,
xx
21
6
k
1
,
2
于是
x
2
2
)
=
1
k
2
(
x
1
x
2
2
)
4
xx
21
1
k
2
2
322
k
1|
2
k
|
而原点 O到直线 l的距离 d＝
2
k
2
1
,
∴SΔOEF=
1
2
d
|
EF
1|
2
2
1
2
k
1
k
2
2
322
k
1|
2
k
|
2
322
k
1|
2
k
|
.
若 SΔOEF＝ 22 ，即
2
322
k
1|
2
k
|
22
k
4
2
k
2
,0
解得 k=± 2 ,
满足②.故满足条件的直线 l有两条，其方程分别为 y=
2 x 和
2
y
2
x
.2
解法 2：依题意，可设直线 l的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6＝0.
①
∵直线 l与双曲线 C相交于不同的两点 E、F，
∴
2
1
,0
k
2
)4(
k
1(64
k
2
0)
，＞
k
,1
3
k
＜＜
.3
∴k∈(－
1,3 )∪(-1,1)∪(1, 3 ).
②
设 E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得
|x1－x2|＝
(
x
1
x
2
2
)
4
xx
21
k
2
|
2
322
k
1|
2
k
|
1|
. ③
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