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论文研究-求解双层规划模型的粒子群优化算法 .pdf
2
2
2
求解双层规划模型的粒子群优化算法
(1
广西大学 计算机与电子信息学院 ,南宁 530004 ;2
上海理工大学 管理学院 ,上海 200093)
赵志刚1 ,顾新一2 ,李陶深1
2007 年 8 月
文章编号 :1000
6788 (2007) 08
系统工程理论与实践
0092
07
第 8 期
摘要 : 首先对粒子群优化算法作了改进 ,然后提出采用改进的粒子群优化算法并借助分层迭代的思想
来求解双层规划模型 ,进而提出并描述了求解双层规划模型的一种通用的有效算法. 最后 ,通过实验研
究和对比分析验证了文中算法的有效性.
关键词 : 双层规划 ;粒子群优化算法 ;分层迭代 ;全局优化
中图分类号 : TP18 文献标志码 : A
Particle Swarm Optimization for Bi
level Programming Problem
College of Computer and Electronics and Information , Guangxi University , Nanning 530004 , China ; 2
(1
University of Shanghai for Science and Technology , Shanghai 200093 , China)
College of Management ,
ZHAO Zhi
gang1 , GU Xin
yi2 ,LI Tao
shen1
Abstract : Bi - level programming problem is a NP hard problem that is very hard to be solved. The existing solution
algorithms or methods are designed to solve the particular bi
level programming models , which are lack of universality.
A modified particle swarm optimization is put forward firstly that can improve significantly the performance of standard
PSO. By introducing the new PSO algorithm , a universal effective solution algorithm for bi
level programming model is
presented which is based on the hierarchical iteration. The experimental studies show that the new solution algorithm
can be used to solve the general bi
Key words : bi
level programming ; PSO ; hierarchical iteration ; global optimization
level programming models.
1 引言
双层规划问题是一类具有主从递阶关系结构的数学模型 ,它是将优化问题作为约束条件的极值问
题[1 ] .
双层规划模型的基本思想可以用下面的数学模型来描述.
F( x , y)
(U) min
x
其中 , y = y ( x) ,由下述规划求得
s. t. G( x , y) ≤0
(L) min
y
f ( x , y)
s. t. g ( x , y) ≤0
双层规划模型是由两个相互关联的子模型(U) 和 (L) 组成 ,其中 (U) 称为上层规划 , (L) 称为下层规划.
F 是上层规划所确定的目标函数 , x 为上层规划的决策变量 , G 是对变量的约束 ; f 为下层规划所确定的
目标函数 , y 为下层规划的决策变量 , g 是对变量 y 的约束. 上层决策者通过设置 x 的值影响下层决策者 ,
因此限制了下层决策者的可行约束集 ,而下层决策者的行为反过来又会通过 y 影响上层的决策. 所以下
层决策变量 y 是上层决策变量 x 的函数 ,即 y = y ( x) ,这个函数一般称为反应函数.
双层规划模型的应用越来越广泛 ,许多问题的实质最终都可以利用双层规划模型进行描述2 ～4 . 另一
09
收稿日期 :2005
资助项目 :广西自然科学基金 (桂科自 0640026) ; 广西教育厅科研项目 (桂教科研 200626)
作者简介 :赵志刚 (1973 - ) ,男 ,广西人 ,博士 ,副教授 ,主要从事智能优化算法的研究 ,E
22
mail :zzgmail2002 @163. com.
© 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
第 8 期
求解双层规划模型的粒子群优化算法
39
方面 ,双层规划模型的求解异常困难 ,原因之一就是由于双层规划问题是一个 NP hard 问题. 文献 5 指出 :
即使是很简单的双层线性规划问题也是 NP hard 问题 ,不存在多项式求解算法. 双层规划的非凸性是造成
双层规划问题求解异常复杂的另一重要原因.
目前对于双层规划模型通常采用数值仿真计算 ,以期在合理的时间内获得模型的近似最优解6 ～8 . 但
是 ,当前国内外一些学者提出的求解算法或求解方法 ,都是针对特定的双层规划模型提出的 ,并且算法的
运行效率和收敛精度都不高. 本文在分析和借鉴现有的一些较优秀的算法思想的基础上 ,提出采用粒子群
优化算法求解双层规划模型. 实验研究表明 ,本文提出的算法不仅能有效求解双层规划模型 ,可以获得高
质量的全局最优解 ,而且该算法具有通用性和普遍性 ,不依赖于具体的双层规划模型.
2 粒子群优化算法
粒子群优化算法 (Particle Swarm Optimization ,PSO) 是一类基于群体 (Population
based) 的智能随机优化算
法. 从鸟类的觅食行为中受到启发 ,Kennedy 和 Eberhart 在 1995 年提出了粒子群优化算法9
,并立刻引起了
优化及演化计算等领域的学者们的广泛关注. 目前 PSO 算法 已广泛应用于函数优化 ,神经网络训练 ,模糊
系统控制以及其他的应用领域. 然而 ,Kennedy 等人提出的 PSO 算法亦有其不足 :易陷入局部极值点 ,进化
后期收敛速度慢 ,精度较差等. 为了克服 PSO 算法的这些不足 ,研究人员提出了许多改进的 PSO 算法. 吕
振肃等提出自适应变异的 PSO 算法10
,通过在算法流程中增加变异操作来提高基本 PSO 算法跳出局部极
值点的能力. He 等提出一种被动收敛的 PSO 算法11
,改变了粒子群更新方式 ,从而有效保持种群多样性 ,
避免粒子群收敛到局部最优解. Sun 等从量子力学的角度提出一种新的 PSO 算法模型12
,这种模型是以
DELTA 势阱为基础 ,认为粒子具有量子行为 ,进而根据这种模型提出量子粒子群算法 ,算法收敛性能有了
极大提高. 这些算法从不同方面对 PSO 算法进行了改进 ,不同程度地提高了算法的收敛速度和精度.
粒子群优化算法中针对优化问题的每一个解都是搜索空间中的一个“粒子”,每个粒子都有一个由优
化函数所决定的适应度 (通常即优化函数本身) ,以评价该粒子当前位置的优劣. 粒子群优化算法首先初始
化一群随机粒子 ,然后通过迭代找到最优解. 在第 k 次迭代中 ,第 i 个粒子具有如下两个属性 :
1) 在一个 N 维空间中的位置向量 Xk
i = ( xk
1 , …, xk
n , …, xk
N ) ,其中 xk
n ∈[ ln , un ] ,1 ≤n ≤N , ln 和 un 是
位置向量第 n 维座标的下限和上限 ;
2) 速度向量 V k
i = ( vk
1 , …, vk
n , …, vk
N ) ,其值被限定在最大速度向量 V k
max = ( vk
max ,1 , …, vk
max , n , …, vk
max , N )
以及最小速度向量 V k
min = ( vk
min ,1 , …, vk
min , n , …, vk
min , N ) 之间.
在 PSO 算法的每一次迭代过程中 ,整个种群的所有粒子均根据以下两个公式被更新[9 ] :
i
V k +1
Xk +1
= ωV k
= Xk
i + c1 r1 ( Pk
i + V k +1
i
i - Xk
i ) + c2 r2 ( Pk
g - Xk
i ) ,
(1)
i
,
(2)
其中 Pi 是第 i 个粒子自身所找到的当前最佳位置 (即个体最优解) ,在某些文献中 Pi 也被记作 pbest. Pg
(有时也记为 gbest) 是整个粒子群目前找到的最优解. r1 和 r2 是[0 ,1 ]之间的随机数 ; c1 和 c2 被称作学习
因子 ,通常 , c1 = c2 = 2 ;ω是加权系数 ,一般取值在 0
9 之间. 文献 13 ]通过大量实验证明 ,如果 ω随
算法迭代的进行而线性减小 ,将显著改善算法的收敛性能. 设 ωMax 为最大加权系数 ,ωMin 为最小加权系
数 ,iter 为当前迭代次数 ,iterMax 为算法总的迭代次数 ,则有 :
1～0
ω = ωMax - iter ×
ωMax - ωMin
iterMax
.
(3)
粒子群在更新过程中 ,粒子速度每一维的取值不超过最大允许值 ,粒子位置每一维的座标也限制在允
许范围内. 同时 , Pi 与 Pg 在迭代过程中不断更新 ,最后输出的 Pg 就是算法得到的最优解.
粒子群优化算法在运行过程中 ,如果某粒子发现了一个当前的群体最优位置 ,其他粒子将迅速向其靠
拢. 如果该最优位置是局部最优点 ,粒子群就无法在解空间内重新搜索 ,因此 ,算法陷入局部最优 ,出现了
所谓的早熟收敛现象. 文献[10 ]中的实验研究表明 ,在 PSO 算法的运行过程中 ,如果对整个粒子群当前找
到的最优解 Pg 增加一个随机扰动 ,将有助于算法跳出局部最优点 ,从而显著改善算法的收敛性能 ,使 PSO
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3
3
3
3
49
系统工程理论与实践
算法能够有效避免早熟收敛问题 ,提高全局搜索能力.
设 η是服从标准正态分布的随机变量 ,即 η～ N (0 ,1) ,则
Pg = Pg ×(1 + η) .
由此 ,一个改进的 PSO 算法可以描述如下 :
2007 年 8 月
(4)
Step1 随机初始化粒子群中粒子的位置 Xi 与速度 Vi , i ∈[ 1 , m ] , m 为群体规模 (即粒子个数) ;将第
i 个粒子的 Pi 设置为该粒子的当前位置 , Pg 设置为初始群体中最佳粒子的位置.
Step2 对于粒子群中的所有粒子 ,执行如下操作 :
1) 根据式 (1) ～ (3) 更新位置与速度 ;
2) 计算粒子 i 的适应度 F( Xi ) , i ∈[1 , m ] ;
3) 如果粒子 i 的适应度优于 Pi 的适应度 , Pi 更新为该粒子的当前位置 Xi ;
4) 如果粒子 i 的适应度优于 Pg 的适应度 , Pg 更新为该粒子的当前位置 Xi .
Step3 判断算法收敛准则是否满足 ,如果满足 ,转 Step5 ;否则转 Step4.
Step4 根据式 (4) 更新 Pg ,转 Step2.
Step5 输出 Pg ,算法运行结束.
3 求解双层规划模型的算法描述
前已述及 ,双层规划模型的求解非常困难 ,特别是非线性双层规划模型是一类强 NP hard 问题[14 ] ,解
决起来很复杂 ,尤其当变量较多时 ,求解其全局最优解极为困难.
尽管目前尚未发现一种算法能十分严谨地保证所求得的解肯定就是问题的最优解 ,但也发现了一些
比较好的算法 ,能在相当大的程度上求出双层规划问题的近似最优解 ,如文献[15 ]提出的采用遗传算法求
解双层规划模型 ,就取得了较好的计算效果. 由于粒子群优化算法与遗传算法有诸多类似之处 ,如都是基
于种群的进化演化算法 ,都具有全局收敛性且本质上都是随机搜索算法 ,但粒子群优化算法结构更为简
单 ,控制参数更少 ,因此 ,我们认为将粒子群优化算法应用于求解双层规划模型是一项有意义的尝试.
通过分析和对比现有的求解双层规划模型的方法和算法 ,我们在借鉴一些优秀的算法思想的基础上 ,
提出采用粒子群优化算法并借助分层迭代的思想来求解双层规划模型. 即对上层规划采用 PSO 算法进行
求解 ,下层规划采用传统优化方法进行求解 ,然后在上层规划和下层规划之间反复迭代 ,最后逐渐逼近双
层规划问题的最优解. 该算法可以称为基于 PSO 的双层迭代算法 (Bi
Level Iterative Algorithm ,BLIA) . 在这
里 ,我们说的传统优化方法可以是优化计算软件包 ,如 MATLAB 提供的一整套优化计算函数等.
本文提出了求解双层规划模型的 PSO
Step1 (初始化) 初始化 PSO 算法中的参数 ;随机产生下层模型的初始解 (需满足约束条件) ;随机初
始化粒子群中粒子的位置 Xi 与速度 Vi , i ∈[1 , m ] , m 为群体规模 (即粒子个数) ;将第 i 个粒子的 Pi 设置
为该粒子的当前位置 , Pg 设置为初始群体中最佳粒子的位置.
B 算法) ,其基本流程如下 :
BLIA 算法 (简称 P
Step2 对于粒子群中的所有粒子 ,执行如下操作 :
1) 根据式 (1) ～ (3) 更新位置与速度 ;
2) (求解下层规划) 将粒子 i 的位置 Xi (即上层模型的解) 代入下层模型 ,利用传统优化方法求解下层
模型 ,获得下层模型的最优解 y
i
;
i 代入上层规划的目标函数 ,计算粒子 i 的适应度 F( Xi , y
3) 将 Xi 、y
4) 如果粒子 i 的适应度优于 Pi 的适应度 , Pi 更新为该粒子的当前位置 Xi ;对应于 Pi 的下层模型的
i ) , i ∈[1 , m ] ;
最优解 yPi 被相应更新为 y
i
;
5) 如果粒子 i 的适应度优于 Pg 的适应度 , Pg 更新为该粒子的当前位置 Xi ;对应于 Pg 的下层模型的
最优解 yPg 被相应更新为 y
i
.
Step3 判断算法收敛准则是否满足 ,如果满足 ,转 Step5 ;否则转 Step4.
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第 8 期
1
求解双层规划模型的粒子群优化算法
59
Step4 根据式 (4) 更新 Pg ,利用传统优化方法求出对应于 Pg 的下层模型的最优解 yPg ,转 Step2.
Step5 输出双层规划模型的最优解 Pg 和 yPg ,并相应求出上 、下层规划的目标函数值 ,算法运行结
束.
4 实验研究
为了验证 P
数值结果 ,以便与用 P
ωMax 和 ωMin 分别为 0
Pentium Ⅳ2
例 1[16 ]
0G
B 算法的有效性 ,限于篇幅 ,我们给出了 8 个算例 ,并给出相关文献中用不同算法求出的
B 算法中 PSO 算法的参数设置如下 : c1 = c2 = 2 ,
5 实现 ,在
1 ,群体规模 m = 40 ,最大迭代次数 iterMax = 50. 算法用 MATLAB6
B 算法求出的数值结果进行对比. P
9 和 0
256M 计算机上运行.
min
x
F( x , y) = 2 x1 + 2 x2 - 3 y1 - 3 y2 - 60
s. t. x1 + x2 + y1 - 2 y2 ≤40
0 ≤ x1 ≤50 ,0 ≤ x2 ≤50
min
y
f ( x , y) = ( y1 - x1 + 20) 2 + ( y2 - x2 + 20) 2
s. t. 2 y1 - x1 + 10 ≤0
2 y2 - x2 + 10 ≤0
- 10 ≤ y1 ≤20 , - 10 ≤ y2 ≤20
1 - 3 x2 - 4 y1 + y2
F( x , y) = - x2
2
min
x
例 2[17 ]
s. t. x2
1 + 2 x2 ≤4
x1 ≥0 , x2 ≥0
min
y
f ( x , y) = 2 x2
1 + y2
1 - 5 y2
s. t. x2
1 - 2 x1 + x2
2 - 2 y1 + y2 ≥- 3
x2 + 3 y1 - 4 y2 ≥4
y1 ≥0 , y2 ≥0
例 3[15 ]
min
x
min
y
F( x , y) = k ( x2
1 + x2
2 ) - 3 y1 - 4 y2 +
f ( x , y) =
1
2
[ y1 y2 ] H
y1
y2
- b ( x) T
( y2
1 + y2
2 )
1
2
y1
y2
s. t.
- 0
333 y1 + y2 - 2 ≤0
333 y2 - 2 ≤0
y1 - 0
y1 ≥0 , y2 ≥0
a) k = 0
1 , H =
1
- 2
- 2
5
, b ( x) =
x1
x2
;
b) k = 1 , H , b ( x) 同 a) ;
c) k = 0 , H =
1
3
3
10
, b ( x) =
x1
x2
;
d k = 0
1 , H , b ( x) 同 c) .
例 4[15 ]
min
x
F( x , y) =
1
2
s. t. x ≥0
[ ( y1 - 3) 2 + ( y2 - 4) 2 ]
min
y
f ( x , y) =
1
2 yT H( x) y -
(3 + 1
333 x , x) y
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a) H( x) =
b) H( x) =
- y2 ] T .
1 + x
0
1 + x
0
0
1 + 0
0
1
系统工程理论与实践
s. t. g ( x , y) ≤0
2007 年 8 月
, g ( x , y) = ( - 0
333 y1 + y2 - 2 , y1 - 0
333 y2 - 2 , - y1 , - y2 ) T ;
1 x
, g ( x , y) = [ ( - 0
333 + 0
1 x) y1 + y2 - x , y1 + ( - 0
333 - 0
1 x) y2 - 2 , - y1 ,
我们用 P
B 算法对例 1～例 4 中的 8 个算例进行了优化计算 ,对每个算例独立运算 30 次 ,取最好解作
为近似全局最优解. 计算结果列于表 1 中 ,并和相关文献中记录的结果进行了比较.
从表 1 中可以看出 ,对每一个算例 ,P
B 算法都能求出一个非常好的近似全局最优解. 文献 16 ]提出
了基于罚函数求解单目标两层规划问题的算法 ,上 、下两层目标函数都加入了惩罚项. 该算法是一种启发
式近似搜索算法 ,对算例 1 仅能求出局部最优解. 文献 17 ]将两层非线性问题进行转化 ,利用转换后问题
的特殊结构提出了一种全局收敛的分支定界单纯型算法 ,对算例 2 取得了较好的计算效果 ;但该算法对双
层规划模型有一些特殊要求 ,并且从表 1 中可以看出 ,该算法对例 2 求出的全局最优解不够精确.
表 1 P
B 算法与相关文献的数值结果的比较
上层目标最优值 F
下层目标最优值 f
最优解 ( x , y)
P
B 算法
文献
P
B 算法
文献
P
B 算法
0
5
100
0
(0 ,30 , - 10 ,10)
文献
(25 ,30 ,5 ,10)
- 12. 6787
- 12. 68
- 1. 01563
- 1. 0156
(0 ,2 ,1. 875 ,0. 90625)
(0 ,2 ,1. 875 ,0. 9063)
- 8. 9172
- 8. 9172
- 6. 157
- 6. 137
- 7. 578458
- 7. 5782
- 0. 57192
- 0. 5738
- 11. 9985
- 11. 9985
- 178. 07
- 163. 42
(1. 03867 ,3. 09868 ,2. 5973 ,
(1. 0316 ,3. 0978 ,2. 597 ,
1. 7938)
1. 7929)
(0. 27878 ,0. 47498 ,2. 34383 ,
(0. 2733 ,0. 4891 ,2. 3449 ,
1. 03253)
1. 0358)
(14. 9086 ,69. 9642 ,2. 9985 ,
(12. 4761 ,67. 511 ,2. 9985 ,
2. 9985)
(2 ,0 ,2 ,0)
2. 9985)
(2 , - 2. 846e
8 ,2 ,0)
- 3. 6
1. 860462
0. 897460
- 3. 6
1. 8605
0. 8975
- 2
- 2
- 10. 93147 - 10. 9315
- 14. 92894 - 14. 9289 (3. 998535 ,1. 665009 ,3. 887223)
(3. 45616 ,1. 70709 ,2. 56846)
(3. 4562 ,1. 7071 ,2. 5685)
(3. 9985 ,1. 6650 ,3. 8872)
算例
1
2
3a
3b
3c
3d
4a
4b
文献[15 ]采用遗传算法求解双层规划模型 ,也取得了较好的计算效果. PSO 算法和遗传算法有很多共
同之处 :两者都随机初始化种群 ,都使用适应度来评价和更新系统 ;两者都是随机搜索算法 ,都不能保证一
定可以找到最优解 ,但又往往能够找到最优解或满意解. 另一方面 ,PSO 算法没有交叉和变异等遗传操作 ,
而是根据粒子本身的速度来决定下一步搜索的方向和距离 ,因而算法结构更为简洁 ,且所需控制参数更
少. PSO 算法还有一个重要的特点 ,就是有记忆 ,能“记住”每个粒子自身的最优经验和整个群体的最优经
验. 与遗传算法比较 ,PSO 算法的信息共享机制也很不相同. 在遗传算法中 ,染色体之间互相共享信息 ,整
个种群比较均匀地向最优区域整体移动. 在 PSO 算法中 ,粒子间是通过当前的群体最优经验 Pg 来共享全
局信息的 ,整个搜索过程是粒子跟随当前群体最优解 Pg 及个体最优解 Pi 不断更新的过程 ,并且 , Pg 与 Pi
在搜索过程中也在不断地被更新. 大多数情况下 ,PSO 算法中的所有粒子能够快速地向某个点 ———全局最
优解收敛 ,而不是像遗传算法那样整个群体向最优区域移动 ,因此 ,与遗传算法相比 ,通常 PSO 算法的收
B 算法求解双层规划问题具有极快的收敛速度 ,迭代次数在 50 代以内就能求出令人
敛速度更快. 本文 P
满意的结果. 并且 ,从表 1 中可以看出 ,对于算例 3a～3d 以及算例 4a 和 4b ,本文 P
B 算法求出的结果均优
于文献[15 ]中算法的结果.
为更好地验证 P
B 算法的性能 ,用 P
B 算法对每个算例独立运算 30 次 ,记录上层规划的求解情况并
列于表 2 中. 由于双层规划中的上层规划处于“主导”地位 ,双层规划的解的品质 ,首先取决于上层规划的
解的优劣 ,并且在许多情况下 ,上层规划和下层规划的目标函数均存在着一定的冲突 ,因此 ,表 2 中仅列出
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ΠΠ
ΠΠ
2
ΠΠ
求解双层规划模型的粒子群优化算法
79
表 2 P
B 算法运行 30 次求出的各算例
上层规划的解
算例
最优解
平均最优解 优化值均方差
1
2
3a
0
0
0
- 12. 678711
- 12. 678711
3. 0851e
8
- 8. 9172029
- 8. 9172029
2. 5891e
12
- 7. 578458
- 7. 578456
3. 6145e
6
第 8 期
上层规划的评价指标.
除算例 4a 外 ,所有算例在 30 次运算中均全部收
敛于各自的全局最优解. 而算例 4a 在 30 次运算中仅
有 2 次未能收敛到全局最优解. 由此可见 ,本文提出的
求解双层规划模型的 P
B 算法具有优良的全局收敛性
和极高的算法稳定性.
5 结论
B 算法是非常有效的. P
采用粒子群优化算法求解双层规划模型是一项崭
新的尝试. 通过对不同类型的算例进行数值计算 ,结果
表明本文提出的 P
B 算法不
仅能有效求解双层规划模型 ,可以获得高质量的全局
最优解 ,而且该算法具有通用性和普遍性 ,不依赖于具
体的双层规划模型. 本文的研究工作期望能对双层规划模型及其数值求解指明一条切实可行的技术路线.
同时 ,随着计算机技术与计算方法的日益进步 ,为以合理的代价求解大规模复杂的模型提供了可能.
- 11. 9984985
- 11. 9984985
0. 897459823
0. 897459823
6. 4065e
15
6. 5355e
8
1. 860755
1. 860462
0. 003632
- 3. 6000
- 3. 6
0
3b
3c
3d
4a
4b
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