2019广东考研数学一真题及答案.doc-资料库

2019 广东考研数学一真题及答案一、选择题，1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.当 0x 时，若 x tan x 与 kx 是同阶无穷小，则 k A.1. C.3. B.2. D.4. 2.设函数 )( xf     xx ln x , x , x x   ,0 ,0 则 0x 是 )(xf 的 A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点. 3.设 nu 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是 A.  1 n u n n . C. n 1  1     n u u n 1  B. D. .    n 1)1(  u n .  u 2   1 n u 2 n  .  n 1   n 1  4.设函数 ,( yxQ )  ，如果对上半平面（ 0y ）内的任意有向光滑封闭曲线 C 都有 x 2 y ,( dyyxQdxyxP ,(  ) )  0 ，那么函数 ,( yxP ) 可取为  C A. y  2 3 x y . C. 1 1  . y x B. 1 y  2 3 x y . D. x 1 . y 5.设 A 是 3 阶实对称矩阵，E 是 3 阶单位矩阵.若 2 A  A  2 E ，且 4A ，则二次型 xT 的规范形为 Ax A. 2 y 1  y 2 2  2 y 3 . B. 2 y 1  y 2 2  2 y 3 . C. 2 y 1  y 2 2  2 y 3 . D.  2 y 1  y 2 2  2 y 3 . 6.如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程第 1 页共 10 页

zayaxa 1 3 i   2 i i  ( id i  )3,2,1 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 AA, ，则 A. ) ( Ar  (,2 Ar .3)  B. ) ( Ar  (,2 ) Ar  .2 C. D. ( Ar (,1)  ) Ar  .2 ( Ar (,1)  Ar .1)  7.设 BA, 为随机事件，则 ( ) AP  ( BP ) 的充分必要条件是 A. ( BAP  )  ( ) AP  ( BP ). B. ( ABP )  ( ( BPAP ) ). C. ( BAP )  ). ( ABP D. ( ABP )  ( BAP ). 8.设随机变量 X 与Y 相互独立，且都服从正态分布 A.与无关，而与 2 有关. B.与有关，而与 2 无关. C.与 2 , 都有关. D.与 2 , 都无关. 2N ( , ，则  1YXP ) 二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 9. 设函数 )(uf 可导， z  f (sin y  sin x )  xy , 则 1 cosx  z  x   1 cosy  z  y  = . 10. 微分方程 2 yy ' y 2  2 0 满足条件 y 1)0(  的特解 y . 11. 幂级数 )1( n  n )!2(  0 n n x 0 ，（在 ) 内的和函数 )(xS . 第 2 页共 10 页

12. 设为曲面 2 x  2 y  4 2 z  (4 z  )0 的上侧，则 4  x 2 4  z 2 dxdy = .  z 13. 设  3 ），，（ 2 1 为 3 阶矩阵.若 1 ，线性无关，且 2 2 2  1 3 ，则线性方程组 0x 的通解为 . 14. 设随机变量 X 的概率密度为 )( xf  x 2 0     X 为 X 的数学期望，则  XFP ）（   1X x  2 0, ，其他，）（xF 为 X 的分布函数， . 三、解答题：15~23 小题，共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分 10 分）设函数 )(xy 是微分方程 ' y  xy 2x 2  e 满足条件 y 0)0(  的特解. （1）求 )(xy ；（2）求曲线 y  )(xy 的凹凸区间及拐点. 16.（本题满分 10 分）设 ba, 为实数，函数 z  2 ax 2 2  by 在点（3，4）处的方向导数中，沿方向 l 3  i 4 j 的方向导数最大，最大值为 10. （1）求 ba, ；（2）求曲面 z  2 ax 2 2  by （ 0z ）的面积. 17.求曲线 y x   e sin ( xx  )0 与 x 轴之间图形的面积. 18.设 a n  1  0 n x 1  2 x dx ，n=（0，1，2…）（1）证明数列 na 单调减少，且 a n  n n   1 2 a n  2 （n=2，3…）（2）求 lim n  a n a n 1  . 19.设  是锥面 2 x   y  2  2 1(  z 2 0()  z )1 与平面 0z 围成的锥体，求  的形第 3 页共 10 页

心坐标. 20.设向量组  1  T ,)1,2,1(  2  T ,)2,3,1(  3  ,1( T a )3, ，为 3R 的一个基， T)1,1,1( 在这个基下的坐标为 ,( cb )1, T . （1）求 cba , , . （2）证明 2,aa ，为 3R 的一个基，并求 3 , 2 aa 3 , 到 , aaa 3 1 , 2 的过度矩阵. 2    2   0  2  x 0 1 2  2       与 B  2   0   0  1 0 01  0 y      相似 21.已知矩阵 A  （1）求 yx, . （2）求可可逆矩阵 P ，使得 P  1 AP  . B 22.设随机变量 X 与 Y 相互独立， X 服从参数为 1 的指数分布， Y 的概率分布为  YP  1   , YPp  1 1  p 0(,  p ),1 令 Z  XY （1）求 z 的概率密度. （2） p 为何值时， X 与 Z 不相关. （3） X 与 Z 是否相互独立? 23.（本题满分 11 分）设总体 X 的概率密度为 ,( xf 2  )     e    (  ux  2 2  0 2 ) x x   ,  ,  其中是已知参数， 0 是未知参数，是常数， X ，， 2 1 nX…X 来自总体 X 的简单随机样本. （1）求；（2）求 2 的最大似然估计量第 4 页共 10 页

参考答案 1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.A 7.C 8.A 9. y cos x  x cos y 10. 3 xe 2 11. 12. 13. 14. x cos 32 3 ，T)1,2,1( k 2 3 k 为任意常数. 15. 解：（1）故 0c ，因此（2） y  2 xe  y 1 2 x 2  )( xy   e xdx  2 x 2 xdx  e (  e dx  c )  e  2 x 2 ( x  c ) ，又 y 0)0(  ，  2 1 x 2 .  xe  1 2 2 x  2 ex 1(  2 ) ex  1 2 2 x ， )( xy 1 2  x 2 e 1(  2 x ) xe  1 2 2 x  3 ( x  )3 ex  1 2 2 x  2 ( xx  )3 e  1 2 2 x ，令 0y 得 ,0 x 3 x y  y ( ,  )3 3 ( )0,3  凸 0 拐点  凹 0 0 拐点 )3,0(  凸 3 0 拐点 ,3(  )  凹所以，曲线 y  )(xy 的凹区间为 ( )0,3 拐点为 )0,0( ， (  ,3  3 3 e ， 2 ) 3,3( 和 ,3( 3e grad z )4,3( ) . 2  ，凸区间为 ) ( ,  )3 和 )3,0( ,  )8,6( ba ， 16. 解：（1） grad z  )2,2( by ax ，由题设可得，  6  a 3 .1 ba 所以， 8 b 4  ，即 ba  ，又 grad z   6 a 2    8 b 2   10 ，第 5 页共 10 页

（2） S  2 x (1  z  x  2 )  ( z  y  2 ) dxdy = 2 x  2  2  y  2  y )2(1 x  2  2  )2( y 2 dxdy = 2 x  2  y 2 x  2 4 y dxdy = 41  2  2  d  0 0 2 241   = d 2   1 12 41(  2)  3 2 2 = 0 13 . 3 17. 18. 第 6 页共 10 页

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19.由对称性， x  ,0 y  2 ， z  zdv  dv     1 0   1 0 D   z D z zdz dxdy dz dxdy  1 0   0 1( z  1 1(  ) 2  z 2 dz  z ) dz = z 1 1 0   0 1(  z 2 dz 1(  z ) dz ) 2  1 12 1 3  1 4 . 20.（1）     3  即 =b  c 1 2 b 1     2     1    c 1     3     2         1 a 3       1     1     1   ，解得 3 a    2 b    2 c  . （ 2 ）      ，， 2 3 1 1 1   = 3 3 1   2 3 1        1 1 0 1 0 0      1   1    1  ，所以   r     ，， 2 3 3 ，则 3  ，，可为 3R 的一个基. 2         ，， 2 ，， 1 =   2 3 3 P 则  = P       3 ，， 1 ，， 2   1 3 2             1 1 2 1 2 1 0 0 1 0 0         . 21.（1） A 与 B 相似，则 ( ) tr A  ( tr B ) ， A B ，即 4 x y    4 2 8 x    1 y    ，解得 3 x      2 y  （2） A 的特征值与对应的特征向量分别为 1=2 ， 1  = 1     2    0   ； 2= 1  ， 2  2   = 1   0       ； 3= 2  ， 3  1   = 2   4       . 第 8 页共 10 页

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