2017 福建高考理科数学真题及答案
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的。
1.已知集合 A={x|x<1},B={x|3
x },则
1
A.
A B
{ |
x x
0}
B. A B R
C.
A B
{ |
x x
1}
D. A B
【答案】A
【难度】容易
【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座 第一章《集合》中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺班中
均有涉及。
2.如图,正方形 ABCD内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形
的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是
A.
1
4
B.
π
8
C.
1
2
D.
π
4
【答案】B
【难度】容易
【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺班
中均有涉及。
3.设有下面四个命题
1
z
1 :p 若复数 z 满足
R ,则 z R ;
2 :p 若复数 z 满足 2z R ,则 z R ;
3 :p 若复数 1
z
,z z 满足 1 2z z R ,则 1
2
z ;
2
4 :p 若复数 z R ,则 z R .
其中的真命题为
A. 1
,p p
3
,p p
B. 1
4
C. 2
,p p
3
,p p
D. 2
4
【答案】B
【难度】中等
【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
4.记 nS 为等差数列{ }na 的前 n 项和.若 4
a
a
5
, 6 48
S ,则{ }na 的公差为
24
A.1
B.2
C.4
D.8
【答案】C
【难度】容易
【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座 第六章《数列》中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺班中
均有涉及。
5.函数 ( )
f x 在 (
是
A.[ 2,2]
【答案】D
【难度】容易
单调递减,且为奇函数.若 (
f
)
,
1)
,则满足
1
1
(
xf
2
的 x 的取值范围
) 1
B. [ 1,1]
C. [0,4]
D. [1,3]
【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座 第三章《函数的性质及其应用》中有详细讲解,在寒假特训班、
百日冲刺班中均有涉及。
6.
(1
A.15
)(1
1
2
x
B.20
6
展开式中 2x 的系数为
)x
C.30
D.35
【答案】C 中等
【难度】
【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座 第十六章《计数技巧》中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲
刺班中均有涉及。
7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为 2,
俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为
A.10
B.12
C.14
D.16
【答案】B
【难度】中等
【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座 第十一章《立体几何》中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲
刺班中均有涉及。
8.右面程序框图是为了求出满足 3n-2n>1000 的最小偶数 n,那么在
和
两个空白框中,可以分别
填入
A.A>1000 和 n=n+1
B.A>1000 和 n=n+2
C.A 1000 和 n=n+1
D.A 1000 和 n=n+2
【答案】D
【难度】中等
【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座 第十三章《算法与统计》中有详细讲解,在寒假特训班、百日
冲刺班中均有涉及。
9.已知曲线 C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+
2π
3
),则下面结正确的是
A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
π
6
个单位长度,得到曲
线 C2
B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
π
12
个单位长度,得到曲
线 C2
C.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的
线 C2
D.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
1
2
线 C2
【答案】D
【难度】较难
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
π
6
个单位长度,得到曲
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
π
12
个单位长度,得到曲
【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺
班中均有涉及。
10.已知 F为抛物线 C:y2=4x的焦点,过 F作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1 与 C 交于 A、B两点,直
线 l2 与 C交于 D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为
A.16
B.14
C.12
D.10
【答案】A
【难度】中等
【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座 第十二章《圆锥曲线的方程与性质》中有详细讲解,在寒假特
训班、百日冲刺班中均有涉及。
11.设 xyz为正数,且 2
x
y
3
z
,则
5
A.2x<3y<5z
B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x
D.3y<2x<5z
【答案】D
【难度】中等
【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座 第二章《函数》中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺班中
均有涉及。
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们退出了“解
数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列 1,1,2,1,2,4,
1,2,4,8,1,2,4,8,16 ,…,其中第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20,21,
22,依此类推.求满足如下条件的最小整数 N:N>100 且该数列的前 N项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激
活码是
A.440
B.330
C.220
D.110
【答案】A
【难度】中等
【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座 第六章《数列》中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺班中
均有涉及。
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.已知向量 a,b的夹角为 60°,|a|=2, | b |=1,则| a +2 b |=
.
【答案】 2 3
【难度】中等
【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺
班中均有涉及。
14.设 x,y满足约束条件
2
1
y
x
2
1
y
x
0
x
y
,则 3
z
x
的最小值为
y
2
.
【答案】-5
【难度】容易
【点评】
15.已知双曲线 C:
2
2
x
a
2
2
y
b
1
(a>0,b>0)的右顶点为 A,以 A为圆心,b为半径做圆 A,圆 A与双曲线 C
的一条渐近线交于 M、N两点。若∠MAN=60°,则 C的离心率为________。
【答案】 6
3
【难度】中等
【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座 第四章《函数的值域、最值求法及应用》中有详细讲解,在寒
假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
16.如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC的中心为 O。D、E、F为圆 O上
的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以 BC,CA,AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后,分别以 BC,CA,
AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得 D、E、F重合,得到三棱锥。当△ABC的边长变化时,所得三棱
锥体积(单位:cm3)的最大值为_______。
【答案】 4 15
【难度】较难
【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座 第十二章《圆锥曲线的方程与性质》中有详细讲解,在寒假特
训班、百日冲刺班中均有涉及。
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生
都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:60 分。
17.(12 分)
△ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知△ABC的面积为
2
a
3sin
A
(1)求 sinBsinC;
(2)若 6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长
【答案】(1)
1
2
sin
bc
sin
A
2
a
3sin
A
2
A a
2
b
c
sin
sin
B
2
A a
2
2
R
sin sin sin
C
B
2
A
2
sin
2
A
C
3
2
S
bc
ABC
3
2
a
sin
A
3
sin
bc
2
sin sin
B
C
2
3
C
(2)cos
B
cos
由于
sin sin
B
C
cos(
B C
)
1
6
2
3
cos
B
cos
C
sin sin
B
C
1
2
B C
2
3
,
A
1
3
ABC
的周长
=
a b c
3 6sin(
sin(
)
B
1
6
(
1
2
,1]
所以,周长的取值范围为(6,9].
【难度】中等
B
1
6
)
【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺
班中均有涉及。
18.(12 分)
如图,在四棱锥 P-ABCD中,AB//CD,且
BAP
CDP
90
(1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD;
(2)若 PA=PD=AB=DC,
APD
90
,求二面角 A-PB-C的余弦值.
【答案】
∠AEC 为所求的二面角
因此,AC= 2 3a
所以,
cos
AEC
AE
2
AC
2
2
CE
2
*
AE CE
3
3
.
【难度】较难
【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座 第十一章《立体几何》中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲
刺班中均有涉及。
19.(12 分)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件,并测量其尺寸
(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记 X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件数,