2017 山东省莱芜市中考数学真题及答案
一、选择题(本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正
确选项的代码涂在答题卡上,每小题选对得 3 分,选错、不选或选出的答案超过一个均记
零分,共 36 分)
1.(3 分)﹣6 的倒数是(
)
A.﹣ B.
C.﹣6
D.6
2.(3 分)某种细菌的直径是 0.00000078 米,将数据 0.00000078 用科学记数法表示为(
)
A.7.8×10﹣7 B.7.8×10﹣8 C.0.78×10﹣7
D.78×10﹣8
3.(3 分)下列运算正确的是(
)
A.2x2﹣x2=1 B.x6÷x3=x2 C.4x•x4=4x5 D.(3xy2)2=6x2y4
4.(3 分)电动车每小时比自行车多行驶了 25 千米,自行车行驶 30 千米比电动车行驶 40
千米多用了 1 小时,求两车的平均速度各为多少?设自行车的平均速度为 x 千米/小时,应
列方程为(
)
A. ﹣1=
B. ﹣1=
C. +1=
D. +1=
5.(3 分)将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三棱柱,得到一个如图所示
的几何体,则该几何体的左视图是(
)
A.
B.
C.
D.
6.(3 分)如图,AB 是⊙O 的直径,直线 DA 与⊙O 相切于点 A,DO 交⊙O 于点 C,连接 BC,
若∠ABC=21°,则∠ADC 的度数为(
)
A.46° B.47° C.48° D.49°
7.(3 分)一个多边形的内角和比其外角和的 2 倍多 180°,则该多边形的对角线的条数是
(
)
A.12
B.13
C.14
D.15
8.(3 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,BC=2,将 Rt△ABC 绕 A 点顺时
针旋转 90°得到 Rt△ADE,则 BC 扫过的面积为(
)
A.
B.(2﹣ )π C.
π D.π
9.(3 分)如图,菱形 ABCD 的边长为 6,∠ABC=120°,M 是 BC 边的一个三等分点,P 是对
角线 AC 上的动点,当 PB+PM 的值最小时,PM 的长是(
)
A.
B.
C.
D.
10.(3 分)如图,在四边形 ABCD 中,DC∥AB,AD=5,CD=3,sinA=sinB= ,动点 P 自 A 点
出发,沿着边 AB 向点 B 匀速运动,同时动点 Q 自点 A 出发,沿着边 AD﹣DC﹣CB 匀速运动,
速度均为每秒 1 个单位,当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动,设点 P 运动 t(秒)
时,△APQ 的面积为 s,则 s 关于 t 的函数图象是(
)
A.
B.
C.
D.
11.(3 分)对于实数 a,b,定义符号 min{a,b},其意义为:当 a≥b 时,min{a,b}=b;
当 a<b 时,min{a,b}=a.例如:min={2,﹣1}=﹣1,若关于 x 的函数 y=min{2x﹣1,﹣x+3},
则该函数的最大值为(
)
A.
B.1
C.
D.
12.(3 分)如图,正五边形 ABCDE 的边长为 2,连结 AC、AD、BE,BE 分别与 AC 和 AD 相交
于点 F、G,连结 DF,给出下列结论:①∠FDG=18°;②FG=3﹣ ;③(S 四边形 CDEF)2=9+2 ;
④DF2﹣DG2=7﹣2 .其中结论正确的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题填对得 4 分,共 20 分,请填在答题卡上)
13.(4 分)(﹣ )﹣3﹣2cos45°+(3.14﹣π)0+
=
.
14.(4 分)圆锥的底面周长为
,母线长为 2,点 P 是母线 OA 的中点,一根细绳(无弹
性)从点 P 绕圆锥侧面一周回到点 P,则细绳的最短长度为
.
15.(4 分)直线 y=kx+b 与双曲线 y=﹣ 交于 A(﹣3,m),B(n,﹣6)两点,将直线 y=kx+b
向上平移 8 个单位长度后,与双曲线交于 D,E 两点,则 S△ADE=
.
16.(4 分)二次函数 y=ax2+bx+c(a<0)图象与 x 轴的交点 A、B 的横坐标分别为﹣3,1,
与 y 轴交于点 C,下面四个结论:
①16a﹣4b+c<0;②若 P(﹣5,y1),Q( ,y2)是函数图象上的两点,则 y1>y2;③a=﹣ c;
④若△ABC 是等腰三角形,则 b=﹣
.其中正确的有
(请将结论正确的序号全部
填上)
17.(4 分)如图,在矩形 ABCD 中,BE⊥AC 分别交 AC、AD 于点 F、E,若 AD=1,AB=CF,则
AE=
.
三、解答题(本大题共 7 小题,共 64 分,解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步
骤)
18.(6 分)先化简,再求值:(a+
)÷(a+
),其中 a= ﹣3.
19.(8 分)为了丰富校园文化,某学校决定举行学生趣味运动会,将比赛项目确定为袋鼠
跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛五种,为了解学生对这五项运动的喜欢情况,随机调
查了该校 a 名学生最喜欢的一种项目(每名学生必选且只能选择五项中的一种),并将调查
结果绘制成如图不完整的统计图表:
学生最喜欢的活动项目的人数统计表
项目
袋鼠跳
夹球跑
跳大绳
绑腿跑
拔河赛
学生数(名)
百分比(%)
45
30
75
b
90
15
c
25
20
30
根据图表中提供的信息,解答下列问题:
(1)a=
,b=
,c=
.
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)根据调查结果,请你估计该校 3000 名学生中有多少名学生最喜欢绑腿跑;
(4)根据调查结果,某班决定从这五项(袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛可分
别记为 A、B、C、D、E)中任选其中两项进行训练,用画树状图或列表的方法求恰好选到学
生喜欢程度最高的两项的概率.
20.(9 分)某学校教学楼(甲楼)的顶部 E 和大门 A 之间挂了一些彩旗.小颖测得大门 A
距甲楼的距离 AB 是 31m,在 A 处测得甲楼顶部 E 处的仰角是 31°.
(1)求甲楼的高度及彩旗的长度;(精确到 0.01m)
(2)若小颖在甲楼楼底 C 处测得学校后面医院楼(乙楼)楼顶 G 处的仰角为 40°,爬到甲
楼楼顶 F 处测得乙楼楼顶 G 处的仰角为 19°,求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离.(精确
到 0.01m)
(cos31°≈0.86,tan31°≈0.60,cos19°≈0.95,tan19°≈0.34,cos40°≈0.77,tan40°
≈0.84)
21.(9 分)已知△ABC 与△DEC 是两个大小不同的等腰直角三角形.
(1)如图①所示,连接 AE,DB,试判断线段 AE 和 DB 的数量和位置关系,并说明理由;
(2)如图②所示,连接 DB,将线段 DB 绕 D 点顺时针旋转 90°到 DF,连接 AF,试判断线段
DE 和 AF 的数量和位置关系,并说明理由.
22.(10 分)某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩,已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多 5
元,小丽从该网店网购 2 袋甲种口罩和 3 袋乙种口罩共花费 110 元.
(1)该网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元?
(2)根据消费者需求,网店决定用不超过 10000 元购进甲、乙两种口罩共 500 袋,且甲种
口罩的数量大于乙种口罩的 ,已知甲种口罩每袋的进价为 22.4 元,乙种口罩每袋的进价
为 18 元,请你帮助网店计算有几种进货方案?若使网店获利最大,应该购进甲、乙两种口
罩各多少袋,最大获利多少元?
23.(10 分)已知 AB 是⊙O 的直径,C 是圆上一点,∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D,过 D 作
DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E,如图①.
(1)求证:DE 是⊙O 的切线;
(2)若 AB=10,AC=6,求 BD 的长;
(3)如图②,若 F 是 OA 中点,FG⊥OA 交直线 DE 于点 G,若 FG= ,tan∠BAD= ,求⊙O
的半径.
24.(12 分)抛物线 y=ax2+bx+c 过 A(2,3),B(4,3),C(6,﹣5)三点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图①,抛物线上一点 D 在线段 AC 的上方,DE⊥AB 交 AC 于点 E,若满足 = ,
求点 D 的坐标;
(3)如图②,F 为抛物线顶点,过 A 作直线 l⊥AB,若点 P 在直线 l 上运动,点 Q 在 x 轴上
运动,是否存在这样的点 P、Q,使得以 B、P、Q 为顶点的三角形与△ABF 相似,若存在,求
P、Q 的坐标,并求此时△BPQ 的面积;若不存在,请说明理由.
2017 年山东省莱芜市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正
确选项的代码涂在答题卡上,每小题选对得 3 分,选错、不选或选出的答案超过一个均记
零分,共 36 分)
1.(3 分)﹣6 的倒数是(
)
A.﹣ B.
C.﹣6
D.6
【分析】乘积是 1 的两数互为倒数.
【解答】解:﹣6 的倒数是﹣ .
故选:A
【点评】本题主要考查的是倒数的定义,熟练掌握倒数的定义是解题的关键.
2.(3 分)某种细菌的直径是 0.00000078 米,将数据 0.00000078 用科学记数法表示为(
)
A.7.8×10﹣7 B.7.8×10﹣8 C.0.78×10﹣7
D.78×10﹣8
【分析】绝对值<1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a×10﹣n,与较大数的
科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的
0 的个数所决定.
【解答】解:数 0.00000078 用科学记数法表示为 7.8×10﹣7.
故选 A.
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为 a×10﹣n,其中 1≤|a|<10,n
为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定.
3.(3 分)下列运算正确的是(
)
A.2x2﹣x2=1 B.x6÷x3=x2 C.4x•x4=4x5 D.(3xy2)2=6x2y4
【分析】各项计算得到结果,即可作出判断.
【解答】解:A、原式=x2,不符合题意;
B、原式=x3,不符合题意;