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2012年云南昆明理工大学高等数学考研真题A卷.doc
2012 年云南昆明理工大学高等数学考研真题 A 卷
一、选择题：（1—6 题，每题 4 分，共 24 分）
（1）下列函数中，不是奇函数的是（
）
A．
ln(
x
1
2
x
)
B．
ln
x
x
2
1
C．
（2）设
( )
f x
ln
2
x
,
x
x x
2 ,
x x
1
1
，则（
）
1
2
1ln
1
x
x
D．
ln(
x
x
2
1)
A． ( )
f x 在 1x 处有最小值
B． ( )
f x 在 1x 处有最大值
C．点 (1, 1) 是曲线
y
( )
f x
的拐点 D．点 (1, 1) 不是曲线
y
( )
f x
的拐点
（3）下列结果正确的是（
）
A．
C．
d
da
d
dx
b
a
b
a
sin
2
x dx
sin
a
2
B．
sin
2
x dx
sin
2
x
D．
d
db
d
dx
sin
2
x dx
sin
b
2
b
a
sin
2
x dx
2 sin
x
2
x
b
a
（4）设 L 为 xOy 平面上的单位圆周 2
x
2
y
的正向，则
1
xdx
2
x
ydy
2
y
L
的值为（
）
A．用 L 的参数方程计算得值为 0
na
2
（5）设 a 为常数，则级数
sin(
n
n
1
B．用格林公式计算得值为 0
C．2 D．4
)
1
n
（
）
A．绝对收敛 B．条件收敛 C．发散 D．敛散性与 a 的取值有关
y x y x y x 都 是 方 程
( ),
( ),
( )
y
( )
p x y
2
( )
p x y
1
（ 6 ） 若 1
2
3
( )
f x
的 解 ，
( ),
p x p x
1
( ),
2
y
( )
f x 为 已 知 的 连 续 函 数 ， 且 1
y
2
y
2
y
3
常 数 ， 则 该 方 程 的 通 解 为 y
（
）
A． 1 1
C y C y
2
y
3
2
B． 1
(
C y
1
y
2
)
(
C y
2
2
y
3
)
y
1
C． 1 1
C y C y C y
3 3
2
2
D． 1
(
C y
1
y
2
)
(
C y
2
2
y
3
)
二、填空题：（7—16 题，每题 4 分，共 40 分）
（7）
lim
x
2
x
e
x
x
0
2
x
2
x e dx
.
（8）设
f x
0(
)
存在，则
lim
0
h
(
f x
0
h
)
(
f x
0
h
)
h
.
（9）设 ( )
f x 是定义在 1x 上的正值函数，则
( )
F x
极小值点为 x
.（其中 1x ）
（10）设 ln ( )
f x
cos
x
，则
( )
xf x dx
( )
f x
x
1
2
x
ln
x
2
t
ln
t
f
( )
t dt
的
.
（11）
2
2
3
sin
x
sin
3
xdx
.
（12）设 F 是可微函数，且函数
z
( ,
z x y
)
由方程 (
F x
,
y y
,
z z
x
) 0
所确定，则
.
（13）交换二重积分的次序：
dx
0
sin
0
x
e
2 2
x y
dy
z
x
=
.
x
e
sin
y
ky dx
)
x
e
cos
ydy
，其中 L 为 xOy 面上的圆周 2
x
2
y
4
（14） (
L
的正向.
(
a x
n
n
0
（ 15 ） 若 幂 级 数
为
.
2)n
在
x 处 绝 对 收 敛 ， 则 此 级 数 在
2
x 处 的 敛 散 性
5
（16）利用待定系数法求特解，微分方程
y
2
y
y
x
3
xe
*y
.
x
的特解形式应设为
e
三、解答题：（17—25 题，共 86 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（17）（本题满分 8 分） 求极限
lim arctan
x
x
1
x
4
2
x
x
.
（18）（本题满分 8 分）设 ( )
f u 处处可导，
( )
g x
f
[
f
(1
x
2
)
x x
]
2
g x
，求 ( )
.
（19）（本题满分 10 分）一平面图形介于两直线 0
x 及 1x 之间，且位于曲线
y
3
x 的
下方，位于曲线
y
小值.
3
x 在点 3
( ,
t t 处切线的上方，（ [0,1]
t
)
），求该图形面积的最大值和最
（20）（本题满分 10 分）求空间曲线 2cos ,
t y
x
2sin ,
t z
在点 3,1,
3
t
2
处的切线
与法平面方程.
（21）（本题满分 8 分）试利用极坐标变换计算
1
0
dx
（22）（本题满分 12 分）计算 xdydz
ydzdx
2
1
x
zdxdy
2
x
2
x
y
2
e
dy
4
2
x
2
x
y
2
e
dy
.
dx
2
1
4
0
，其中 是锥面
z
2
x
2
被
y
平面 0
z 和 2
z 所截部分的外侧.
（23）（本题满分 12 分）试求幂级数
n
1
n
1
( 1)
n
x
(
n n
1
1)
的收敛域及其和函数.
（24）（本题满分 12 分）设 ( )
f x 在 (
内二阶可导， (0) 1,
)
f
,
f
(0)
，且对 xOy
2
面内任何光滑闭曲线 L ，积分
( )
yf x
6
y
[
2
L
2
x dx
]
[
y
2
2
xy
2
x
( ) 5 ( )]
f x
f x dy
求 ( )
f x .
（ 25 ）（ 本 题 满 分 6 分 ） 设 ( ),
f x g x 在 [ , ]a b 上 连 续 ， ( )
f x
( )
0
( )
g x
， 且
0
( )
f x
(
g a b x
，求
)
I
b
a
( )
f x
( )
f x
( )
g x
dx
.
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