离散数学（左孝凌）详细答案.doc-资料库

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第 1 章习题解答离散数学~ 习题 1.1 1. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。 ⑴ 中国有四大发明。 ⑵ 计算机有空吗? ⑶ 不存在最大素数。 ⑷ 21+3＜5。 ⑸ 老王是山东人或河北人。 ⑹ 2 与 3 都是偶数。 ⑺ 小李在宿舍里。 ⑻ 这朵玫瑰花多美丽呀! ⑼ 请勿随地吐痰! ⑽ 圆的面积等于半径的平方乘以。 ⑾ 只有 6 是偶数，3 才能是 2 的倍数。 ⑿ 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。 ⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺ ⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。 2. 将下列复合命题分成若干原子命题。 ⑴ 李辛与李末是兄弟。 ⑵ 因为天气冷，所以我穿了羽绒服。 ⑶ 天正在下雨或湿度很高。 ⑷ 刘英与李进上山。 ⑸ 王强与刘威都学过法语。 ⑹ 如果你不看电影，那么我也不看电影。 ⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。 ⑻ 除非天下大雨，否则他不乘班车上班。解：⑴本命题为原子命题； ⑵ p：天气冷；q：我穿羽绒服； ⑶ p：天在下雨；q：湿度很高； ⑷ p：刘英上山；q：李进上山； ⑸ p：王强学过法语；q：刘威学过法语； ⑹ p：你看电影；q：我看电影； ⑺ p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉； ⑻ p：天下大雨；q：他乘班车上班。 1

第 1 章习题解答 3. 将下列命题符号化。 ⑴ 他一面吃饭，一面听音乐。 ⑵ 3 是素数或 2 是素数。 ⑶ 若地球上没有树木，则人类不能生存。 ⑷ 8 是偶数的充分必要条件是 8 能被 3 整除。 ⑸ 停机的原因在于语法错误或程序错误。 ⑹ 四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当它的对边平行。 ⑺ 如果 a 和 b 是偶数，则 a+b 是偶数。解：⑴ p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q ⑵ p：3 是素数；q：2 是素数；原命题符号化为：p∨q ⑶ p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：p→q ⑷ p：8 是偶数；q：8 能被 3 整除；原命题符号化为：p↔q ⑸ p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p ⑹ p：四边形 ABCD 是平行四边形；q：四边形 ABCD 的对边平行；原命题符号化为：p↔q。 ⑺ p：a 是偶数；q：b 是偶数；r：a+b 是偶数；原命题符号化为：p∧q→r 4. 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。 ⑴ 如果 3+3=6，则雪是白的。 ⑵ 如果 3+3≠6，则雪是白的。 ⑶ 如果 3+3=6，则雪不是白的。 ⑷ 如果 3+3≠6，则雪不是白的。 ⑸ 3 是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。 ⑹ 2+3=5 的充要条件是 3 是无理数。(假定是 10 进制) ⑺ 若两圆 O1，O2 的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。 ⑻ 当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。解：设 p：3＋3＝6。q：雪是白的。 ⑴ 原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。 ⑵ 原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。 ⑶ 原命题符号化为：p→q；该命题是假命题。 ⑷ 原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。 ⑸ p： 3 是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：p↔q；该命题是假命题。 ⑹ p：2+3＝5；q： 3 是无理数；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。 ⑺ p：两圆 O1,O2 的面积相等；q：两圆 O1,O2 的半径相等；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。 ⑻ p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。 2

第 1 章习题解答习题 1.2 1.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。 ⑴ (p∧q→r) ⑵ (p∧(q→r) ⑶ ((p→q)↔(r∨s)) ⑷ (p∧q→rs) ⑸ ((p→(q→r))→((q→p)↔q∨r))。解：⑴⑶⑸是合式公式；⑵⑷不是合式公式。 2.设 p：天下雪。 q：我将进城。 r：我有时间。将下列命题符号化。 ⑴ 天没有下雪，我也没有进城。 ⑵ 如果我有时间，我将进城。 ⑶ 如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。解：⑴ p∧q ⑵ r→q ⑶ p∧r→q 3.设 p、q、r 所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。 ⑴ r∧q ⑵ ¬ (r∨q) ⑶ q↔ (r∧¬ p) ⑷ (q→r)∧(r→q) 解：⑴ 我有时间并且我将进城。 ⑵ 我没有时间并且我也没有进城。 ⑶ 我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。 ⑷ 如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。 4. 试把原子命题表示为 p、q、r 等，将下列命题符号化。 ⑴ 或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。 ⑵ 如果张三和李四都不去，他就去。 ⑶ 我们不能既划船又跑步。 ⑷ 如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。解：⑴ p：你给我写信；q：信在途中丢失；原命题符号化为：(p∧ q)∨(p∧q)。 ⑵ p：张三去；q：李四去；r：他去；原命题符号化为：p∧q→r。 3

第 1 章习题解答 ⑶ p：我们划船；q：我们跑步；原命题符号化为：（p∧q）。 ⑷ p：你来了；q：他唱歌；r：你伴奏；原命题符号化为：p→（q↔r）。 5. 用符号形式写出下列命题。 ⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。 ⑵我今天进城，除非下雨。 ⑶仅当你走，我将留下。解：⑴ p：上午下雨；q：我去看电影；r：我在家读书；s：我在家看报；原命题符号化为：（p→q）∧（p→r∨s）。 ⑵ p：我今天进城；q：天下雨；原命题符号化为：q→p。 ⑶ p：你走；q：我留下；原命题符号化为：q→p。 4

第 1 章习题解答习题 1.3 1.设 A、B、C 是任意命题公式，证明： ⑴AA ⑵若 AB，则 BA ⑶若 AB，BC，则 AC 证明：⑴由双条件的定义可知 A↔A 是一个永真式，由等价式的定义可知 AA 成立。 ⑵因为 AB，由等价的定义可知 A↔B 是一个永真式，再由双条件的定义可知 B↔A 也是一个永真式，所以，BA 成立。 ⑶对 A、B、C 的任一赋值，因为 AB，则 A↔B 是永真式，即 A 与 B 具有相同的真值，又因为 BC，则 B↔C 是永真式，即 B 与 C 也具有相同的真值，所以 A 与 C 也具有相同的真值；即 AC 成立。 2.设 A、B、C 是任意命题公式， ⑴若 A∨CB∨C, AB 一定成立吗？ ⑵若 A∧CB∧C, AB 一定成立吗？ ⑶若¬A¬B，AB 一定成立吗？解：⑴不一定有 AB。若 A 为真，B 为假，C 为真，则 A∨CB∨C 成立，但 AB 不成立。 ⑵不一定有 AB。若 A 为真，B 为假，C 为假，则 A∧CB∧C 成立，但 AB 不成立。 ⑶一定有 AB。 3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。 ⑴ q∧(p→q)→p ⑵ p→(q∨r) ⑶ (p∨q)↔(q∨p) ⑷ (p∧q)∨(r∧q)→r ⑸ ((¬p→(p∧¬q))→r)∨(q∧¬r) 解：⑴ q∧(p→q)→p 的真值表如表 1.24 所示。 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 表 1.24 q∧(p→q) p→q q∧(p→q)→p 1 1 0 1 0 1 0 1 5 1 0 1 1

第 1 章习题解答使得公式 q∧(p→q)→p 成真的赋值是：00，10，11，使得公式 q∧(p→q)→p 成假的赋值是：01。 ⑵ p→(q∨r) 的真值表如表 1.25 所示。 p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 表 1.25 q∨r p→(q∨r) 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 使得公式 p→(q∨r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式 p→(q∨r)成假的赋值是：100。 ⑶ (p∨q)↔(q∨p) 的真值表如表 1.26 所示。 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1 表 1.26 q∨p 0 1 1 1 (p∨q)↔(q∨p) 1 1 1 1 所有的赋值均使得公式(p∨q)↔(q∨p)成真，即(p∨q)↔(q∨p)是一个永真式。 ⑷ (p∧q)∨(r∧q)→r 的真值表如表 1.27 所示。 p 0 0 0 0 1 1 q 0 0 1 1 0 0 r 0 1 0 1 0 1 q 1 1 0 0 1 1 表 1.27 p∧q r∧q (p∧q)∨(r∧q) (p∧q)∨(r∧q)→r 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 6 1 1 1 1 0 1

1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 第 1 章习题解答 0 0 1 1 1 1 使得公式(p∧q)∨(r∧q)→r 成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式(p∧q)∨(r∧q)→r 成假的赋值是：100。 ⑸((p→(p∧q))→r)∨(q∧r) 的真值表如表 1.28 所示。 p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r p∧q p→(p∧q) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 表 1.28 (p→(p∧q))→r q∧r ((p→(p∧q))→r)∨(q∧r) 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 使得公式((p→(p∧q))→r)∨(q∧r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110， 111，使得公式((p→(p∧q))→r)∨(q∧r)成假的赋值是：100。 4.用真值表证明下列等价式： ⑴(p→q)p∧q 证明：证明(p→q)p∧q 的真值表如表 1.29 所示。表 1.29 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p→q (p→q) q 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 p∧q 0 0 1 0 由上表可见：(p→q)和 p∧q 的真值表完全相同，所以(p→q)p∧q。 ⑵p→qq→p 证明：证明 p→qq→p 的真值表如表 1.30 所示。表 1.30 p 0 0 q 0 1 p→q p 1 1 1 1 q 1 0 q→p 1 1 7

第 1 章习题解答 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 由上表可见：p→q 和q→p 的真值表完全相同，所以 p→qq→p。 ⑶(p↔q)p↔q 证明：证明(p↔q)和 p↔q 的真值表如表 1.31 所示。表 1.31 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p↔q (p↔q) q 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 p↔q 0 1 1 0 由上表可见：(p↔q)和 p↔q 的真值表完全相同，所以(p↔q)p↔q。 ⑷p→(q→r)(p∧q)→r 证明：证明 p→(q→r)和(p∧q)→r 的真值表如表 1.32 所示。 p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 表 1.32 p→(q→r) p∧q (p∧q)→r q→r 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 由上表可见：p→(q→r)和(p∧q)→r 的真值表完全相同，所以 p→(q→r)(p∧q)→r。 ⑸p→(q→p)p→(p→q) 证明：证明 p→(q→p)和p→(p→q)的真值表如表 1.33 所示。 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 表 1.33 q→p p→(q→p) p q p→q p→(p→q) 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 8

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