《现代科学计算》清华大学出版社-课后答案.pdf-资料库

1．对于一个给定的矩阵只存储下三角及对角线元素即可，并将计算结果覆盖存储矩阵相应习题参考答案及提示的元素。 2．因为 A 为一对称正定矩阵，所以可以分解成 TLL A = 的形式。那么 y = xAx 1 ) ,( − = xAx T 1 − = T x ( LL T 1) − x = ( xL 1 − T () xL 1 − ) （1）分解 A = TLL ，（2）对 Lz = ，解 z （4）求 x y = zz ),( 3．对 A 做 LDL 分解，有 T A = a 11 a 21 M a n 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a 21 a 22 L L a a n 1 n 2 M O M a a nn n L 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = l 11 l 21 M l n 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ d 2 d 1 ⎞⎛ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎠⎝ l nn l 11 ⎞⎛ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎠⎝ O d n l 22 M O L 2 n l l l 21 22 l n 1 l 2 n L L O M l nn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 令 1=iil ，则有 d j = a jj a ij − l ij = j 1 − −∑ k 1 = l d 2 jk k j 1 − ∑ 1 = d k l d l ik k jk j 4 对 A − 按上题算法进行 aI T LDL 分解，判断 jjD 大于 0 的个数设为 1x ，对 bI A − 按上题算法进行 T LDL 分解，判断 jjD 大于等于 0 的个数设为 2x 。所以 ),( ba 区间中 A 特征值的个数是 x − 1 x 2 . 对 LDL 分解，要求顺序主子式不为 0，所以对于 T A − 和 bI A − 分解不一定能一直进行 aI 下去，所以对这道题，我还没考虑清楚，希望和大家一起讨论。 5．利用上题结论采用二分法来构造算法。 6．先证明 1.2.2 A 为 n 阶方阵：课后答案网 www.khdaw.com

A＝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a 11 K a 1 n M O M a a nn L n 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Hv 对于 n-1 阶向量，存在 householder 变换： 1 = eα − 1n ，因此： ⎞ ⎟ ⎠ 0 H T 1 0 H T 1 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 ⎛ = ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎝ 1 ⎞⎛ ⎟⎜ ⎠⎝ v x 0 2 1 A v H 1 1 x v H T 1 2 1 H v H A H T 1 1 1 v H x 1 2 e 1 O K 1 1 1 ⎞⎛ ⎟⎜ 0 ⎠⎝ 1 ⎞⎛ ⎟⎜ 0 ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ T 1 H A H 1 1 T 1 0 H 1 ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎛ A ⎜⎜ ⎝ 1 0 0 H 1 T ⎞ ⎟⎟ ⎠ I 2 0 ⎛ ⎜⎜ ⎝ L 0 H 2 T 1 0 ⎛ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎠ ⎝ 0 H n T ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎜⎜ ⎝ I n 0 * ⎛ ⎜ α ⎜ 1 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 对于 1.2.1， = 0 0 H n ⎞ ⎟⎟ ⎠ I 2 0 ⎛ ⎜⎜ ⎝ L * α 2 O O 0 H * 2 1 ⎛ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ 0 ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ * ⎠ T= * α n AQQU A = QUQ T ，，因为 A 对称，所以U 也对称，所以其为三对角阵. x 7. 根据镜面反射的性质，α为 2 y 2 ,构造如下的ω，使得 ω = x y α − y x α − 2 8．1）： P I ωω T = − 2 满足 Px yα= T Q Q I [(( = I ( + = I [( = S ) − S ) 1 − + 1 − 1 − S S I ] ( ) )( T − S I I ) ( ) ( T T + + S I I S I )( )( + − 1 − ) S I I S )( + − S I S ) )( 1 − − S ) 1 − − ( 由于 I ( − I = − S I )( S 2 ) I S + = + − − S S = − + − S S S I ( 2 = S I 2 + S I )( − S ) 所以： TQ Q I ( = + S ) 1 − ( I + S I )( − S I )( − S ) 1 − I = 2）： S 0 ⎛ = ⎜ c −⎝ c 0 ⎞ ⎟ ⎠ 课后答案网 www.khdaw.com

则 Q = 1 c − ⎛ ⎜ ⎝ c 1 ⎞⎛ ⎟⎜ ⎠⎝ 1 c 1 − c − 1 ⎞ ⎟ ⎠ = 1 c − ⎛ ⎜ ⎝ c 1 ⎛ ⎜ ⎞ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ − ⎜ ⎝ 2 1 c + c c + c c + 1 c + 2 2 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 1 1 1 2 c − c 2 + c 2 c + 2 + − + c c c c 2 2 2 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 2 1 − 要使 Qx eα= 成立，有 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 2 c − c 2 + c 2 c + c 2 c + c − c + 2 2 2 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ x 1 x 2 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 − + − 1 2 c c 2 c 2 c + x 1 + 1 x 1 + 2 2 2 + 1 1 c c − + 2 c c x 2 2 2 x 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = α ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ 0 ⎝ ⎠ 1 − 注意正交变换不变向量的长度，所以 =α x + 2 1 x 2 2 c = − ± x 1 x 解得 1 x 2 9. 先证明（4）式： 2 + 2 x 2 VA = O ⎡∑ ⎢ OO ⎣ ⎤ U ⎥ ⎦ T = ( vv , 1 v m ) 2 L σ ⎡ 1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ σ 2 O O σ r ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ u T 1 u T 2 M u T n ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = O O 0 ( σσσ r v 22 v 11 , L v r ⎛ ⎜ ⎜ )0, ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ u T 1 u T 2 M u T n ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = r ∑ i 1 = σ i uv i T i (3) 式： nRx ∈∀ x 可以表示成 x = n ∑ i 1 = iua i ，若 0=Ax 则 Ax = r ∑ i 1 = σ i uv i T i n ∑ i 1 = ua i i = r ∑ i 1 = a σ i i v i , 1 σuA ( 1 / ) r = ∑ i 1 = σ i uv i T i ( σu 1 1 / )= 1v , 所以 (AR ，同理 ) v L2 rv ∈ (AR ，因为 rank ) (A = r ，所以 1v ， ) v L2 rv 构成整个 (AR 的 ) 1v ∈ 基底（ 2 ）式： nRx ∈∀ x 可以表示成 x = n ∑ i 1 = iua i ，若 0=Ax 则 Ax = r ∑ i 1 = σ i uv i T i n ∑ i 1 = ua i i = r ∑ i 1 = a σ i i v i ，因为 iv 线性无关，则 0=ia ， i ,1 L= , r ，所以 x ∈ u Span { , u r r 1 + , L+ 2 u n } ，即 (AN ) ⊆ Span u { , u r r 1 + , L+ 2 u n } n ；若 ∑ = u iub ri 1 += ，则 i 0=Au ， ∈u (AN ，即 ) u Span { , u r r 1 + , L+ 2 u n } ⊆ (AN 故 ) u Span { , u r r 1 + , L+ 2 u n } = (AN ) 课后答案网 www.khdaw.com

10．可以参照第 6 题的证明过程。 11. 0 Σ⎛ A V = ⎜ 0 0 ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ T U 其中 Σ = diag σ σ σ r ( , , L 1 2 )( 并且 σ σ σ r ≥ ≥ L 1 2 ≥ 0) 那么令： 0 Σ⎛ P V = ⎜ 0 0 ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ T V ， Q VU= T 12．设 VA = ⎡∑ ⎢ 0 ⎣ 0 0 ⎤ TU ⎥ ⎦ ，其中V 、U 为正交矩阵，那么 ( ) Ax Ax , xx ),( ( = Ax ) Ax T () xx T = AxAx T T xx T Vx ( T ⎡∑ ⎢ 0 ⎣ 0 0 ⎤ U ⎥ ⎦ ⎡∑ ⎢ 0 ⎣ V () TT xx T 0 0 T ⎤ xU ) ⎥ ⎦ Ux T Ux T ⎡∑ ⎢ 0 ⎣ ⎡∑ ⎢ 0 ⎣ ⎡∑ ⎢ 0 ⎣ 0 0 ⎤ VV T ⎥ ⎦ xx T 0 0 ⎤ xU T ⎥ ⎦ 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ VV ( T ) xx T ⎡∑ ⎢ 0 ⎣ 0 0 ⎤ xU T ⎥ ⎦ Ux T 2 ⎡∑ ⎢ 0 ⎣ xx T 0 0 ⎤ xU T ⎥ ⎦ = = = = 令 U = uu , ( 1 2 , , nu ) ， x = ( xx , 1 2 , , nx ) ， L L L rσσσ=∑ 2 1 ( , , , ,0, ) L ，那么原式＝ 2 1 x 2 2 + σσ 1 2 x x 2 + 1 x 2 2 2 + 2 + 2 + L σ r x 2 + L n x 2 r ≤ 2 1 x 2 2 + σσ 1 1 x x 2 + 1 x 2 2 2 + 2 + 2 + L σ 1 x 2 + L n x 2 n 2 1σ= 当 x = La ,0,0,( )0, ( ≠a )0 时，等号成立。课后答案网 www.khdaw.com

再证 =σ 1 y ,(max x ,0 ≠ 0 ≠ x y 2 Ax y ) 2 Vy ( T ⎡∑ ⎢ 0 ⎣ T T yVyVxUxU ( , , T T ⎤ xU ) ⎥ ⎦ T 0 0 )( ) y ,( x 2 Ax y ) 2 = 令则 xUbyVa T = = , T T a ⎡∑ ⎢ 0 ⎣ b 2 y ,( x 2 Ax y ) 2 = a 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ b 2 = max a ,0 ≠ b 0 ≠ σ ba 111 + a + L b 2 σ r ba r r 2 ≤ σ 1 max a ,0 ≠ b 0 ≠ ba 11 + a + L b 2 ba r r 2 ≤ σ 1 其中用到不等式 ba 11 + L + ba nn ≤ ( a 2 1 + L + a ) 2/12 n b ( 2 1 + L + b ) 2/12 n 当 x == y ,0,( La )0, 时等号成立。 13 VA = ⎛∑ ⎜⎜ 0 ⎝ 0 0 ⎞ TU ⎟⎟ ⎠ , =AAT U 2 ⎛∑ ⎜⎜ 0 ⎝ 0 0 ⎞ TU ⎟⎟ ⎠ , AA T + UI λ = 2 σλ 1 + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ O 0 2 σλ r + λ 0 O ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ U ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ λ ⎠ T UA = ⎛∑ ⎜⎜ 0 ⎝ 0 0 ⎞ TV ⎟⎟ ⎠ , =)(λB U σ 1 + 2 σλ 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 O 0 σ r + 2 σλ r 0 O 0 T ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ V ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ )(λB - +A = )(λB U - ⎛∑ ⎜⎜ 0 ⎝ 0 0 ⎞ TV ⎟⎟ ⎠ = 课后答案网 www.khdaw.com

λ 2 1 ( σσλ 1 + ) U − ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ − O 0 λ 2 r ( σσλ r + ) T ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ V ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ 0 0 O 0 根据 12 题的结论得证。课后答案网 www.khdaw.com

第二章习题参考答案 1.解：由于 Ax b− 2 ≥ ，极小化 0 Ax − 与极小化 2b Ax b− 是等价的。 2 2 令 ϕ = x ( ) Ax b − 2 2 = ( Ax Ax , ) + b b ( , ) 2( − Ax b , ) ，对于任意的 nRyx ∈, 和实数α， * * x 满足若 x ( ϕ * Ax + ay = 则有 x ) ) * b , ( ϕ = + 2 a ( Ay , Ay ) = ( ϕ x * ) + 2 a Ay 2 2 ≥ ( ϕ x * ) 这表示 xϕ )( x 在 * 处达到极小值。反之，若 (ϕ x + ay x ) 在 * 处达到极小，则对任意 nRy ∈ 必有 ay ) d ( ϕ x * + da a = 0 = 0 即 (2 * Ax − b , Ay a (2) + Ay , Ay ) = (2 Ax * − b , Ay ) = 0 故有 Ax =* 成立。 b 以上证明了求解 Ax = 等价于极小化 b Ax − ,2 2b 即 Ax = b 等价于极小化 Ax − 2b 。推导最速下降法过程如下：下降最快的方向是该点的负梯度方向，且 AxA Ax T bA ( T ϕ − = = 2 2 k ) = 2 rA T k k （由 ϕ + aA ) = ,0 得出 − ( r k , rAA T k ) + rAAa ( T k , rAA T k ) = 0 取得极小值。 1 + ϕ x )( 在 − x k grad x = x )( aA + 取 1 + x k d da k x k bA T a , 2 − x k 使求出 , k xx = r T k r k T 最终得到 a = ( r k , rAA T k /() rAA T k , rAA T k ) 给出的算法如下： 1）给定 x 0 n ∈ ，计算 R T rA 0 = T bA ( − Ax 0 ) ； 2）对于 L,2,1,0=k ε > 0 为一事先给定的停机常数。 k , ≤ 若 r , ε 则停止；其中 k k k 1 += 否则 pp a Ap ( /() = k k x x rAa T = + k k k 1 − Ax b r −= k rA p T = k Ap 2 1 − , ) k k k k k ）转到课后答案网 www.khdaw.com

2.证明 1）正定性由对称正定矩阵的性质，( x Ax ≥ （当且仅当 x＝0 时取等号），所以 , 0 ) ≥ （当且仅当 x＝0 时取等号） 0 ( = )1 2 x Ax , Ax 2）齐次性 ( x A x , α α x α = ( A ) 1 2 ) = 2 ⎡ α ⎣ ( x Ax , ) ⎤ ⎦ 1 2 = α ( x Ax , 1 2 ) = α x A 3） o1 方法（一） A 是对称正定矩阵，得到 ( x + λ y A x , ( + y λ )) 0 ≥ ，把它展开如下 λ 2( , y Ay ) + λ x Ay ( , ) + λ y Ax ( , ) + x Ax ( , ) 0 ≥ 考虑到 ( , x Ay ) = ( Ax y , ) = y Ax ( , ) ，把上式看成关于λ的一元二次方程，则式子等价于 ∆ = 4( , x Ay ) 2 − 4( , x Ax y Ay )( , ) 0 ≤ 因此所以 x Ay ( , ) ≤ x Ax ( , ) 1/ 2 y Ay ( , ) 1/ 2 (( , x Ax ) 1/ 2 + y Ay ( , ) ) 1/ 2 2 = ≥ = = x Ax ( , x Ax ( , x Ax ( , x (( + y Ay x Ax ) 2( , ( , ) + + y Ay x Ay ( , ) ) 2( , + + y Ay x Ay ) ) ( , ( , ) + + y A x y )) ), ( + 两边开平方即可得到 x + y ≤ x + A y A A 因此， x Ax ( , ) 1/ 2 x= 是一种向量范数。 A o2 方法（二） ) 1/ 2 ) + y Ay ( , ) 1/ 2 y Ax ( , ) x + y 2 A = ( Ax x , ) + ( Ay y , ) + ( Ax y , ) + x Ay ( , ) = ( Ax x , ) + ( Ay y , ) 2( + Ax y , ) 对于 n 阶实对称阵，存在正交阵 Q，使得 1 − Q AQ Q AQ = T = Λ 为对角阵。于是 , ( T T 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 = = Q ( Λ Λ Q Qx x ( , ) Λ Qx y ) , = Λ Q Qy y , ( T 1/ 2 Λ Ax y ( ) 上式中的的 ≤ 由 Cauchy-Schwarz 不等式得到。于是 Ax x , ) Qy ) Ax x , ) , Λ ( = Qx ) 1/ 2 Ax x , ) ) 2( + Ay y + ≤ + x y ( ( , 2 A 1/ 2 ( ≤ Λ ( 1/ 2 Qx , Λ Ay y , ) 1/ 2 1/ 2 Qx ) 1/ 2 ( Λ 1/ 2 Qy , Λ 1/ 2 Qy ) 1/ 2 1/ 2 ( Ay y , ) 1/ 2 = ( x + A y 2 ) A 考虑 Ax 的正定性，上式开方即为 Ax 的三角不等式：课后答案网 www.khdaw.com

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