2008 年全国卷Ⅰ高考文科数学真题及答案
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.第 I 卷 1 至 2 页,第 II
卷 3 至 9 页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考
证号、填写清楚 ,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2.每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效
..........
3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
参考公式:
如果事件 A B, 互斥,那么
(
P B
(
P A B
(
)
P A
)
)
如果事件 A B, 相互独立,那么
(
P A B
)
(
(
P A P B
)
)
球的表面积公式
S
2
4π
R
其中 R 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么
V
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
( )
P k
n
k
C P
k
n
(1
P
)
n k
(
k
0 1,2
n
, , ,
)
一、选择题
1.函数
y
1
的定义域为
x
x
3
4 π
R
3
其中 R 表示球的半径
A.{ |
x x ≤
1}
B.{ |
x x ≥
0}
C.{ |
x x
x≥ 或 ≤
1
0}
D.{ | 0
x
x≤ ≤
1}
2.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶
路程 s 看作时间t 的函数,其图像可能是
s
O
s
s
s
t
O
t
O
t
O
t
A.
B.
C.
D.
3.
5
x
1
2
的展开式中 2x 的系数为
A.10
B.5
C.
5
2
D.1
4.曲线
y
x
3 2
x
在点 (1 3), 处的切线的倾斜角为
4
A.30°
B.45°
C.60°
5.在 ABC△
2 b+
3
A.
中, AB =c, AC =b.若点 D 满足
1 c
2 b-
3
3
5 c-
3
2 b
3
B.
C.
D.120°
DC
2
BD
1 c
3
,则 AD
1 b+
3
D.
=
2 c
3
6.
y
(sin
x
cos )
x
2
1
是
A.最小正周期为 2π 的偶函数
C.最小正周期为 π 的偶函数
a
7.已知等比数列{ }na 满足 1
a
2
B.最小正周期为 2π 的奇函数
D.最小正周期为 π 的奇函数
3
a
,
,则 7a
a
3
6
2
A.64
B.81
C.128
D.243
8.若函数
y
( )
f x
的图象与函数 ln
y
x
1
的图象关于直线 y
x 对称,则 ( )
f x
A.e2x-2
9.为得到函数
y
B.e2x
x
cos
C.e2x+1
D. e2x+2
π
3
的图象,只需将函数 y=sinx的图像
A.向左平移
B.向右平移
个长度单位
C.向左平移
D.向右平移
个长度单位
个长度单位
π
6
5π
6
1
与圆 x2+y2=1 有公共点,则
个长度单位
π
6
5π
6
10.若直线
x
a
y
b
A.a2+b2≤1
B.a2+b2≥1
C.
≤
1
D.
≥1
1
2
a
1
2
b
1
2
a
1
2
b
11.已知三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面 ABC内的射影为 ABC△
中心,则 1AB 与底面 ABC所成角的正弦值等于
的
A.
1
3
B.
2
3
C.
3
3
D.
2
3
12.将 1,2,3 填入3 3 的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,
下面是一种填法,则不同的填写方法共有
C.24 种
B.12 种
D.48 种
A.6 种
1
3
2
2
1
3
3
2
1
第Ⅱ卷
注意事项:
1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填
写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2.第Ⅱ卷共 7 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,
..........
在试题卷上作答无效
3.本卷共 10 小题,共 90 分.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.
(注意:在试题卷上作答无效
.........)
y
x
x
y
0
y, 满足约束条件
≥
3
x
≤ ≤
13.若 x
0
,
则 2
0
≥
,
3
,
z
x
的最大值为
y
.
14.已知抛物线 y=ax2-1 的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三
角形面积为
.
15.在 ABC△
的离心率 e
中,
A
90
,
tan
.
B .若以 A B, 为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆
3
4
16.已知菱形 ABCD 中,
AB ,
2
A
120
,沿对角线 BD 将 ABD△
折起,使二面角
A BD C
为120 ,则点 A 到 BCD△
所在平面的距离等于
.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分)
(注意:在试题卷上作答无效
设 ABC△
(Ⅰ)求边长 a;
(Ⅱ)若 ABC△
.........)
的内角 A、B、C所对的边长分别为 a、b、c,且 a cosB=3,b sinA=4.
S ,求 ABC△
的面积 10
的周长l .
18.(本小题满分 12 分)
(注意:在试题卷上作答无效
.........)
四棱锥 A- BCDE中,底面 BCDE为矩形,侧面 ABC⊥底面 BCDE,BC=2,
CD ,AB AC
2
.
(Ⅰ)证明:AD⊥CE;
(Ⅱ)设侧面 ABC为等边三角形,求二面角 C - AD - E的大小.
A
B
E
C
D
19.(本小题满分 12 分)
(注意:在试题卷上作答无效
.........)
在数列{an}中,a1=1, an+1=2an+2n.
(Ⅰ)设
b
n
a
n
12
n
.证明:数列 nb 是等差数列;
(Ⅱ)求数列 na 的前 n 项和 nS .
20.(本小题满分 12 分)
(注意:在试题卷上作答无效
.........)
已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验
结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案:
方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.
方案乙:先任取 3 只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这
3 只中的 1 只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外 2 只中
任取 1 只化验.
求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率.
21.(本小题满分 12 分)
(注意:在试题卷上作答无效
.........)
已知函数
( )
f x
3
x
2
ax
, a R .
1
x
(Ⅰ)讨论函数 ( )
f x 的单调区间;
(Ⅱ)设函数 ( )
f x 在区间
2
3
, 内是减函数,求 a 的取值范围.
1
3
22.(本小题满分 12 分)
(注意:在试题卷上作答无效
.........)
l
双曲线的中心为原点O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 1
l, ,经过右焦点 F 垂直于 1l
2
l
的直线分别交 1
2
l, 于 A B, 两点.已知 OA AB OB
、 、 成等差数列,且 BF
与 FA
同向.
(Ⅰ)求双曲线的离心率;
(Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.
参考答案
题号
答案
题号
答案
1
D
9
C
17、解:
(I)依题设得
由正弦定理得
所以
即
依题设知
所以
(II)因为 S=
2
A
3
C
4
B
5
A
6
D
7
A
8
A
10
11
12
13
14
15
16
D
B
B
9
2
1
2
3
2
3
4
cos
a
B
sin
A
b
sin
A
sin
B
3
B
4
B
a
b
cos
sin
2
cos
B
2
sin
B
9
16
1(
cos
2
B
)
9
16
9
25
cos 2
B
a2cos2B=9
a2=25,得 a=5
1
2
,2
c
sin
bc
A
所以,由 S=10 得 c=5
应用余弦定理得
b=
2
a
2
c
2
ac
cos
B
52
故△ABC 的周长
l =a+b+c=2(5+ 5 )
18.解法一:
(I)作 AO⊥BC,垂足为 O,连接 OD,由题设知,AO⊥底面 BCDE,且 O 为 BC 中点,
由
OC
CD
CD
DE
1
2
知,Rt△OCD∽Rt△CDE,
从而∠ODC=∠CED,于是 CE⊥OD,
由三垂线定理知,AD⊥CE
(II)作 CG⊥AD,垂足为 G,连接 GE。
由(I)知,CE⊥AD,
又 CE∩CG=C,故 AD⊥平面 CGE,AD⊥GE,
所以∠CGE 是二面角 C-AD-E 的平面角。
DE
2
AD
GE=
AD
1(
2
DE
)
2
2
5
10
3
,
CE
,6
cos∠CGE=
CG
2
GE
2
CG
2
GE
2
CE
4
3
2
6
10
3
2
3
10
10
6
10
3
所以二面角 C-AD-E 为 arccos(
10
10
)
解法二:
(I)作 AO⊥BC,垂足为 O,由题设知 AO⊥底面 BCDE,且 O 为 BC 的中点,以 O 为坐标原点,
射线 OC 为 x 轴正向,建立如图所示的直角坐标系 O-xyz.
设 A(0,0,t),由已知条件有
C(1,0,0), D(1, 2 ,0), E(-1,
2 ,0),
CE
),0,2,2(
AD
,2,1(
t
)
所以
CE
AD
0
,得 AD⊥CE
(II)△ABC 为等边三角形,因此 A(0,0, 3 )
作 CG⊥AD,垂足为 G,连接 GE,在 Rt△ACD 中,求得|AG|=
2
3
|AD|
故 G(
2
3
22,
3
3,
3
)
GC
1
3
22,
3
,
3
3
,
GE
5
3
2,
3
,
3
3
AD
,2,1(
又
)3
GC
AD
,0
GE
AD
0
所以
GC与 的夹角等于二面角 C-AD-E 的平面角。
GE
由 cos(
GC,
GE
)=
GC
|
GC
GE
|
GE
|
|
10
10
知二面角 C-AD-E 为 arccos(
10
10
)
(19)
解:
(I)由已知 an+1=2an+2n 得
bn+1=
a
1
n
n
2
2
a
n
n
2
n
2
n
1
a
n
2
1
b
n
1
又 b1=a1=1,因此{bn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列
(II)由(I)知
a n
1
n
2
,
n
a
即
n
n
2
n
1
Sn=1+2×21+3×22+…+n×2n-1
两边乘以 2 得 2Sn=2+2×22+…+n×2n
两式相减得 Sn=-1-21-22-…-2n-1+n×2n
=-(2n-1)+n×2n
=(n-1)2n+1
(20)解:
记 A1、A2 分别表示依方案甲需化验 1 次、2 次,
B 表示依方案乙需化验 3 次,
A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知 A2 与 B 独立,
且
AA
1
BA
2
)A(P
1
1
1
C
5
1
5
,
P( A )=P(A1+A2·B)
A)A(P
A
2
1
4
2
5
1
5
,
(
BP
)
CC
CC
2
4
3
5
1
2
1
3
2
5
。
=
=P(A1)+P(A2·B)
=P(A1)+P(A2)·P(B)
1
5
7
25
1
5
2
5
=
所以 P(A)=1-P( A )=
18
25
=0.72
(21)解:
(I)f '(x)=3x2+2ax+1 判别式△=4(a2-3)
2
(i)若 a> 3 或 a<- 3 ,则在(
a
,
a
3
3
)上 f '(x)>0,f(x)是增函数;
a
在(
a
在(
2
,
3
a
a
3
32
,a
3
2
3
a
3
)内 f '(x)<0, f (x)是减函数;
)上 f '(x)>0, f(x)是增函数
(ii)若
3
a
3
,则对所有 x R 都有 f '(x)>0,故此时 f(x)在 R 上是增函数
(iii)若 a=± 3 ,则 f '(
a )=0,且对所有的 x≠
3
a 都有 f '(x)>0,故当
3
a=± 3 时,f(x)在 R 上是增函数
(II)由(I)知,只有当 a> 3 或 a<
3 时,
2
3
a
,
2
3
a
3
)内是减函数
≤
2
3
f(x)在(
a
因此
a
a
3
32
a
3
32
a
且
a
3
≥
1
3
①
②
(a>0,b>0),右焦点为 F(c,0)(c>0),则 c2=a2+b2
当|a|> 3 时,由①、②解得 a≥2
因此 a 的取值范围是[2,+ )
22、解:
(Ⅰ)设双曲线方程为
2
2
x
a
2
2
y
b
1
不妨设 l1:bx-ay=0,l2:bx+ay=0
则
|FA|
cb|
|0a
2
2
b
a
b
,
|OA|
2
OF
AF
2
a
因 为
| AB 2+
|
| OA 2=
|
| OB 2 , 且
|
| OB =2
|
| AB -
|
| OA ,
|