2018年重庆理工大学高等代数考研真题A卷.doc

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2018 年重庆理工大学高等代数考研真题 A 卷一、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 方程 4 4 1 2 2 1 2 1 2 3 4 3 2 3 3 3 x 2 3 4 4 x x x  的所有根为________________. 0 2. 设 A     2 1 0   1  , B A  2 2  A I  , I 为 2 阶单位矩阵,则 1 B ________________. 3. 方程组 x   1   x  2   x  3 x 2 x 3 x 1    2 a a 3 有解的充要条件是 a ________________. 4. 已知 ,A B 为 3 阶方阵, A 与 B 相似, 且 A 的特征值为 1,2,3.设 B 为 B 的伴随矩阵，则 B    ________________. I 5. 已知实二次型 ( , f x x x 3 , 1 2 )  2 ( a x 1  2 x 2  2 x 3 ) 2  x x 1 2  2 x x 1 3  2 x x 2 3 经正交变换 x Py 可化为标准形 f 2 13 y ,则 a ________________. 二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 设 ( ), f x g x h x 为数域 F 上的多项式,则下列说法正确的是( ( ), ( ) ).

(A) 若 ( ) ( ) f x g x  ( ) ( ) f x h x ,则 ( ) g x  ( ) h x (B) 若 ( ( ), f x g x  ,则 ( ( )) 1 ( ), ( ) f x g x  ( )) 1 f x  (C) 若 ( ), f x g x h x 互素,则 ( ), ( ), ( ) f x g x h x 两两互素 ( ), ( ) (D) 若 ( ) | f x g x h x ,则 ( ) | ( ) ( ) f x g x 或 ( ) | ( ) f x h x ( ) 2. 设 3 阶方阵 A 的秩 ( R A  ,则 ( ) 2 R A  ( ) ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 A    可由向量组 : , , , 1 2 r 3. 设向量组 ( ). B    线性表示,则下列说法正确的是 : , , , 1 2 s (A) 当 r s 时, 向量组 B 必线性相关 (B) 当 r s 时, 向量组 B 必线性相关 (C) 当 r s 时, 向量组 A 必线性相关 (D) 当 r s 时, 向量组 A 必线性相关 4. 若 n 阶矩阵 A 的任意一行的 n 个元素之和都是 a ,则 A 必有一个特征值为( ). (A) a (B) a (C) 0 (D) 1 a 5. 设是欧氏空间V 的一个正交变换,则下列说法不正确的是( ). (A) 保持向量的内积不变

(B) 保持向量的长度不变 (C) 不一定是可逆变换 (D) 在任一规范正交基下的矩阵是正交矩阵三、( 14 分)证明：设 )(xf 是数域 F 上的次数大于 0 的多项式, 则 )(xf 是一个不可约多 ( xgxf )) ), ( 1 , 或者对项式的方幂的充分必要条件是,对 F 上的任意多项式 )(xg , 必有 ( 某一正整数 m ,有 |)( gxf m )( x . 四、(18 分)计算 n 阶行列式 nD 0023 0231 2310      0000 0000   00 00 00  23 31 . 五、(16 分)设 B 是 r 阶方阵,C 是 r n 阶矩阵,且 ( )R C r ,证明： (1) (10 分)如果 BC O ,那么 B O ； (2) (6 分)如果 BC C ,那么 B I .

六、(18 分)已知向量组 1= 2,1,4 ,3   3= 1, 2 2, 9 ，      ，  4= 1,1, 2, 7        , 2= 1,1, 6, 6   ， 5=  2, , , ,设 1 , 4 4 9 ,   生 , 2 3   成的子空间为 1 W L    3  ( , , 1 2 ) ,  生成的子空间为 2 , 1 W L   2  ( , 2 1 ) . (1) (10 分)求子空间 1 W W 的维数； 2 (2) (8 分)求子空间 1 W W 的一个极大无关组. 2 七、(20 分)设 3F 是数域 F 上所有 3 维行向量构成的向量空间，是 3F 的一个线性变换, 给定 3F 的一个基： 1=( 1, 1, 1)   ， 2=(1, 0,   ， 3=(0, 1, 1) 1)  ，且在基 1 ， 2 ， 3 下的矩阵是      1 1 0 1 1 0 0 2 3      . (1)(8 分)求出在基 1=(1, 0, 0)  ， 2=(0, 1, 0)  ， 3=(0, 0, 1)  下的矩阵； (2) (6 分)求出的特征值和特征向量； (3) (6 分)判定能否相似对角化. 八、(14 分)设 A 是 n 阶正定矩阵， nI 是 n 阶单位矩阵. (1) (8 分)证明： A 的伴随矩阵 A 是正定的； (2) (6 分)证明：   A 2 n I 大于 2n .

九、(20 分)已知实二次型 ( f x 1 , x 2 , x 3 )  2 2 ax 1  2 3 x 2  2 3 x 3  2 x x 2 3 可( a  )通过变量 0 的正交变换化为标准形 ( f y 1 , y 2 , y 3 )  2 4 y 1 2  ay 2 2  by 3 . (1) (8 分)求 ,a b 的值； ( f x (2) (12 分)求出将 1 , x 2 , x 化为标准形时所用的正交变换的矩阵. 3 )

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