铁道运输与 经济 RAILWAY TRANSPORT AND ECONOMY 学术论坛 学术论坛 文章编号：1003-1421(2010)02-0091-04 中图分类号：U293.1+3 文献标识码：B ARIMA模型与Holt-Winters模型 在铁路旅客周转量预测中的比较 万 洁 （济南铁路局 日照站，山东 日照 276826） 通过铁路旅客周转量预测客运量是铁路旅客运输组织工作的重 要基础和主要依据之一。客运量短期预测主要是以一段时 间内月度甚至日客运量的变化为出发点，研究短期内的客运量变 化情况。短期客运量是一个存在季节和周期变化趋势、并存在一 定增长 (或降低) 趋势的非平稳时间序列，为此分别运用ARIMA和 Holt-Winters这两种典型时间序列预测模型，对我国2004—2008年 铁路旅客周转量的月度数据进行拟合，在此基础上对2009年的月 度数据进行预测，并与2009年各月份的旅客周转量实际值进行比 较，分析两种模型预测的优劣。 1 ARIMA模型 摘 要：运用ARIMA和Holt-Winters 两种典型时间序列预测模型，对 我国2004—2008年铁路旅客周转 量的月度数据进行拟合，在此基 础上预测2009年的月度旅客周转 ARIMA (Autoregressive Moving Average) 模型即自回归移 量，并与2009年旅客周转量的 动平均模型，适用于各种领域的时间序列分析，由博克斯—詹 实际值进行比较，同时对ARIMA 金斯 (Box-Jenkins) 于1976年提出，其建模思想是将预测对象 模型和Holt-Winters模型进行分析 随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列，构成该时序 比较。 关键词：铁路；旅客周转量；预 测；ARIMA模型;Holt-Winters模型 的单个序列虽然具有不确定性，但整个序列的变化却有一定的 规律性。 ARIMA( p,q) 模型包含一个自回归模型和一个移动平均模 型。如果该时间序列 ut 只有通过d 阶差分后才能够达到平稳，则模 型成为ARIMA ( p,d,q) 模型；若同时还具有周期性变化的特点， 第32卷 第2期 91 

学术论坛 学术论坛 铁道运输 与经 济 ARIMA模型与Holt-Winters模型在铁路旅客周转量预测中的比较 万 洁 那么该时间序列就为带有季节性的自回归移动平均 法，而检验序列平稳与否的最常用和有效的方法为 序列。 1.1 自回归模型AR(p) p 阶自回归模型记作AR(p)，满足下面的方 程： ut = c +φ1 ut−1 +φ2 ut−2 +…+φp ut−p+ εt ⑴ 式中：u t 为时间序列，t =1,2,…,T；参数c为常 数；φ1,φ2,…,φp 为自回归模型系数；p为自回归模 型阶数；εt 是均值为0，方差为σ 2 的白噪声序列。 1.2 移动平均模型MA(q) q阶移动平均模型记作MA(q) ，满足下面的方 程： ut = μ + εt + θ1 εt −1 + … + θq εt−q ⑵ 式中：ut 为时间序列，t =1,2,…,T；参数 μ 为常 数；θ1, θ2,…, θq 为 q 阶移动平均模型的系数；εt 是 均值为0，方差为 σ 2 的白噪声序列。 1.3 ARIMA模型的建模步骤 ARIMA (p,q) 模型包括了一个自回归模型 AR( p)和一个移动平均模型MA(q) ，方程为： ut= c +φ1 ut−1 +…+φp ut−p+ εt + θ1 εt−1 + …+ θq εt−q ⑶ 式中的参数同式⑴和式⑵。博克斯—詹金斯提出了 具有广泛影响的建模思想，可分为4个步骤：平稳 化处理；模型的识别；参数估计检验；预测应用。 下 面 利 用 A R I M A 模 型 ， 对 我 国 铁 路 2 0 0 4 — 2008年月度旅客周转量数据进行建模、拟合，并对 2009年的数据进行预测。 1.3.1 平稳化处理 应用ARIMA模型对时间序列建模进行预测， 是建立在原始序列是平稳随机序列的基础上的。平 稳时间序列的直观含义是序列不存在周期性和趋势 性变动，而实际工作中的时间序列往往具有周期性 和趋势性变动，需要将其转变为平稳时间序列，即 序列平稳化处理。差分是序列平稳化最常用的方 ADF (Augmented Dickey-Fuller) 单位根检验。 表1 2004—2008年我国铁路旅客周转量 亿人.km 2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 542.8 561.5 642.0 536.5 650.9 536.7 642.6 696.3 688.1 741.6 434.4 511.7 506.6 770.4 845.1 414.4 469.8 512.5 525.8 584.1 442.7 440.0 513.1 580.9 548.8 394.2 441.1 440.8 487.9 545.5 486.1 584.2 635.4 702.2 752.0 513.0 606.2 669.8 736.4 757.8 451.5 490.4 573.6 640.3 648.0 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 451.4 464.0 562.8 608.2 640 11月 392.0 412.6 419.5 437.5 508.7 12月 374.2 438.0 449.7 503.0 505.8 从表1可以看出，随时间的变化，我国铁路旅 客周转量的月度数据[1]序列 ( pt) 呈现缓慢上升趋势 和季节周期波动 (周期为12个月，每年1—2月份和 7—9月份旅客周转量达到高峰)。为了消除趋势同 时减少序列的波动，首先对原始序列p t做一阶差 分，生成序列dpt (其中：dpt = pt−pt−1)。 通过作dpt 序列图可以看出，dpt序列的趋势基 本消除，但季节性存在，因此对dpt序列再做一次 周期间隔为12的季节差分，得到序列sdpt (其中： sdpt=dpt-dpt-12) 。sdpt 的序列已经看不出季节性的 痕迹。 对sdpt 作ADF单位根检验，如表2所示。 检验结果说明，sdpt 序列已经平稳，因而可以 表2 对 sdpt 序列进行ADF单位根检验的结果 ADF统计量 检验临界值 t 统计量 概率值 显著性水平1% 显著性水平5% 显著性水平10% -8.568 077 0.000 0 -2.608 490 -1.946 996 -1.612 934 92 第32卷 第2期 

学术论坛 学术论坛 ARIMA模型与Holt-Winters模型在铁路旅客周转量预测中的比较 万 洁 铁道运输与经济 用于建模。 1.3.2 模型的识别 在建模时，需要利用自相关系数和偏自相关系 数去识别ARIMA ( p,q) 模型。MA (q) 模型的自相 关函数是 q 阶截尾的，而AR ( p) 模型的偏自相关系 数是 p 阶截尾的。根据sdpt 序列的相关图可以得出 sdpt 偏自相关系数2阶后截尾，因此取p =2，而自相 关系数1阶后截尾，因此取q =1，由于进行了一次 一阶差分，所以可以建立ARIMA (2,1,1) 模型，另 外还要考虑季节差分的因素。 1.3.3 参数估计及检验 从表3可以看出，模型各参数的估计值都通过了t 检 验，而且整个模型调整的R2统计量为0.723，F统计 量为37.554，D.W.值为2.33，也较为满意，模型残 差的自相关图和偏自相关图也显示残差为平稳序 列，说明模型很好地拟合了2004—2008年我国铁路 旅客周转量的月度数据。 1.3.4 预测 经过模型识别、参数估计、模型检验以后， 得到一个较好的模型，即可进行预测。在利用模型 进行预测时，当然希望预测误差尽可能的小，最 优的预测是具有最小均方预测误差的预测。利用 利用Eviews6.0软件对模型进行拟合，可以得 ARIMA模型预测的2009年1—12月铁路旅客周转量 到表3中各系数的估计值和整个模型的检验结果。 的预测结果及误差见表4。 表3 ARIMA(2,1,1)模型的参数估计结果 变量 c AR(1) AR(2) MA(1) 回归系数 3.820 287 0.478 499 -0.507 813 -0.973 254 SMA(12) 0.828 029 标准差 0.941 801 0.126 605 0.130 267 0.025 034 0.054 661 t 统计量 4.056 36 3.779 48 -3.898 24 -38.877 13 15.148 52 概率值 0.000 2 0.000 4 0.000 3 0.000 0 0.000 0 表4 我国2009年铁路旅客周转量预测值及误差 预测值/（亿人.km） 预测误差/% 月份 实际值 /(亿人.km） 765.3 868.1 604.4 589.4 595.9 481.2 775.2 843.2 670.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ARIMA 模型 695.4 759.7 738.8 658.7 598.2 624.6 723.0 723.8 677.6 689.6 642.6 613.7 Holt-Winter Holt-Winter 乘法 749.2 836.5 761.0 631.3 636.1 580.4 788.5 819.1 698.3 678.3 542.8 565.3 加法 727.5 801.8 754.4 642.1 645.9 602.7 772.8 797.4 701.6 686.1 574.8 594.9 第32卷 第2期 93 ARIMA 模型 Holt-Winter Holt-Winter 乘法 加法 9.1 12.5 22.2 11.7 0.4 29.8 6.7 14.2 1.0 2.1 3.6 25.9 7.1 6.7 20.6 1.7 13.2 3.1 4.9 7.6 24.8 8.9 8.4 25.2 0.3 2.7 0.5 

学术论坛 学术论坛 铁道运输 与经 济 ARIMA模型与Holt-Winters模型在铁路旅客周转量预测中的比较 万 洁 2 Holt-Winter模型 Holt-Winters模型[2]为指数平滑方法的一种，包 括无季节模型和基于加法的季节模型，以及基于乘 法的季节模型。由于铁路客运的月度数据均具有季 节性，在此利用基于加法的季节模型和基于乘法的 季节模型进行预测。 2.1 基于加法的Holt-Winters季节模型 基于加法的Holt-Winters季节模型适用于具有 线性时间趋势和加法模型的序列。时间序列 yt 平滑 后的序列 y' t 由下式给出： y' t +k = at + bt k + ct + k ⑷ 式中：a表示截距；b表示趋势；c为加法模型的季 节因子；t = 1,2,…,T；k 为向后平滑期数，k > 0。 a，b，c的计算公式如下。 at = α ( yt −ct − s ) + ﴾ 1 −α ﴿ ( αt−1 + bt−1) ⑸ bt = β ( at −at − 1 ) + ﴾ 1 −β ﴿ bt−1 ⑹ ct = γ ( yt −at ) + ﴾ 1 − γ ﴿ ct−s ⑺ 式中：α,β,γ为阻尼因子，在0~1之间；s 表示季节 周期的长度，对于月度数据 s =12。 预测值由下式计算： y' T +k = aT + bT k + cT + k−s ⑻ 2.2 基于乘法的Holt-Winters季节模型 基于乘法的Holt-Winters季节模型适用于具有 线性时间趋势及乘法模型的序列。时间序列 yt 平滑 后的序列 y' t 由下式给出： y' t +k = ﴾ at + bt k ﴿ ct + k ⑼ 式中：a表示截距；b表示趋势；c为乘法模型的季 节因子；t =1,2,…,T；k 为向后平滑期数，k >0。 a，b，c的计算公式如下。 at = α ( yt ⁄ ct − s ) + ﴾ 1 −α ﴿ ( αt−1 + bt−1) ⑽ bt = β ( at −at − 1 ) + ﴾ 1 −β ﴿ bt−1 ⑾ ct = γ ( yt ⁄ at ) + ﴾ 1 − γ ﴿ ct−k ⑿ 式中：α,β,γ 为阻尼因子，在0~1之间；s 表示季节 周期的长度，对于月度数据 s =12。 预测值由下式计算： y' T +k = ﴾ aT + bT k ﴿ cT + k−s ⒀ 2.3 预测 利用Eviews6软件，分别选择基于乘法和加法 的Holt-Winters季节模型，利用2004—2008年的铁 路月度旅客周转量数据对2009年1—12月的数据进 行预测。在预测时，Holt-Winters季节模型的 3 个 平滑系数 a，β 和 γ 采用系统自定方式产生。利用基 于加法和基于乘法的Holt-Winters季节模型预测的 2009年1—12月铁路旅客周转量的预测结果及误差 见表4，其中：预测误差=︱预测值-实际值︱/实 际值×100%。 3 预测结果分析 ARIMA模型和Holt-Winters模型都属于短期预 测模型，随着时间的推移，它们的预测效果也会逐 渐变差。针对以上案例的铁路旅客周转量的短期预 测，Holt-Winters 模型较ARIMA模型具有一定的 优势，其原因可能在于Holt-Winters 模型所给出平 滑参数可以采用系统自定的方法，系统通过多次比 较给出的参数值往往是最优的。从实际操作过程发 现，Holt-Winters 模型简便，而ARIMA模型的建模 过程较为繁琐，而且在 p 和 q 的选择上存在着多种评 判标准。 由于以上所采用的数据是全国范围的旅客周转 量数据，而且受经济危机的影响，近期旅客运输量 出现了较大的波动，而这两种预测方法都只是从序 列本身出发，不考虑其他经济社会因素的影响，因 此预测的误差较大。所以，各级旅客运输组织在对 客运量做短期预测时，应适当地考虑影响客运量波 动的因素，以提高预测的准确性。 参考文献： [1] 铁道部统计中心. 全国铁路主要指标完成情况[EB/OL]. [2009-11-02]http://www.china-mor.gov.cn/zwgk/zwgk_ tjxx.html. [2] 高铁梅. 计量经济分析方法与建模[M]. 北京：清华大学 出版社，2006. 收稿日期：2009-09-01 修订日期：2009-11-03 责任编辑：金 颖 94 第32卷 第2期