1995年考研数学三真题及答案.doc-资料库

1995 年考研数学三真题及答案一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) x   nf 1 1 ( (1) 设 ( ) f x ,则 ( )( ) x  x  )y , ( ) x (3) 设 (ln ) 1   ,则 ( ) (2) 设 xyf  x x z f  f x   xz f u 可导,则 x .  yz  y  . . (4) 设 A       1 0 0 2 2 0 3 4 5      , A 是 A 的伴随矩阵,则 ( 1 )A   . (5) 设 1 X X , , 2 X 是来自正态总体 , n N  的简单随机样本,其中参数 和 2 未知, ( ) , 2 记 X  1 n  n  1 i 2 , X Q i  n  i 1  ( X i  X 2 ) , 则假设 0 : H  的t 检验使用统计量t  _____. 0 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1 f  2 x f x 为可导函数,且满足条件 (1) 设 ( )   ,则曲线 lim 0 x  ( ) f x 在点 (1) 1   x y ) f (1, (1)) f 处的切线斜率为 (A) 2 (B) 1 (2) 下列广义积分发散的是 (C) 1 2 (D) 2 ( ) ( ) (A) 1  1 1 sin x dx (B) 1   1 (C) 2   xe 0  dx (D)  2 x 1 x 1  1 2 ln dx 2 dx x (3) 设矩阵 m nA  的秩为 ( r A m n  , mE 为 m 阶单位矩阵,下述结论中正确的是 (  ) ) (A) A 的任意 m 个行向量必线性无关 (B) A 的任意一个 m 阶子式不等于零 0B  (C) 若矩阵 B 满足 (D) A 通过初等行变换,必可以化为 ( BA  ,则 0 mE ,0) 的形式 (4) 设随机变量 X 和Y 独立同分布,记 , U X Y V    X Y  ,则随机变量U 与V 必然

(A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零 ( ) (5) 设随即变量 X 服从正态分布 N  ,则随的增大,概率  (  P X    ) , 2 ( ) (A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定三、(本题满分 6 分) 设 ( ) f x         2 (1 cos ), x x  2 1, x  0 x  0 ,试讨论 ( ) f x 在 0 x  处的连续性和可导性. 1 x x  0 cos 2 t dt , x  0 四、(本题满分 6 分) 已知连续函数 ( ) f x 满足条件 ( ) f x  3 x  0 f    t 3  dt   2 x  e ,求 ( ) f x . 五、(本题满分 6 分) 将函数 y  ln(1   x 2 2 ) x 展成 x 的幂级数,并指出其收敛区间. 六、(本题满分 5 分) 计算       min{ , } x y e  ( x 2 2  y ) dxdy . 七、(本题满分 6 分) 设某产品的需求函数为 ( Q Q p  ) ,收益函数为 R pQ ,其中 p 为产品价格, Q 为需求量(产品的产量), ( )Q p 为单调减函数.如果当价格为 0p ,对应产量为 0Q 时,边际收益 dR dQ  Q Q 0   ,收益对价格的边际效应 a 0 dR dp  p p 0   ,需求对价格的弹性 c 0 pE 1 b  . 求 0p 和 0Q . 八、(本题满分 6 分) 设 ( ) f x 、 ( )g x 在区间[ , ]a a ( ( ) f x  f (  x )  A ( A 为常数). a  )上连续, ( )g x 为偶函数,且 ( ) f x 满足条件 0

(1) 证明 a  a  ( ) ( ) f x g x dx A g x dx ( )  a 0  ；九、(本题满分 9 分) 已知向量组(Ⅰ) 1 ,   ；(Ⅱ) 1     ；(Ⅲ) 1 , , , , 2 3 2 3 4 ,     ,如果各向量组的秩 , 2 , 3 5 分别为 (I) r r (II) 3  , (III) r 4  . 证明:向量组 1      的秩为 4. , , 2 , 3 5 4 十、(本题满分 10 分) 已知二次型 ( , f x x x 3 , 1 2 )  4 x 2 2  3 2 x 3  4 x x 1 2  4 x x 1 3  8 x x 2 3 . (1) 写出二次型 f 的矩阵表达式； (2) 用正交变换把二次型 f 化为标准形,并写出相应的正交矩阵. 十一、(本题满分 8 分) 假设一厂家生产的每台仪器,以概率 0.70 可以直接出厂；以概率 0.30 需进一步调试, 经调试后以概率 0.80 可以出厂；以概率 0.20 定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了 ( n n  台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求： 2) (1) 全部能出厂的概率； (2) 其中恰好有两台不能出厂的概率； (3) 其中至少有两台不能出厂的概率. 十二、(本题满分 8 分) 已知随机变量 X 和Y 的联合概率密度为 ( , f x y )     4 , 0 xy 0, 求 X 和Y 联合分布函数 ( , ) F x y . 答案   x   y 1, 1,0 其他,

一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】 n ! 2( 1) n 1 n (1 ) x    (2)【答案】 2 xyf    y x    (3)【答案】 x  x e C  (4)【答案】 (5)【答案】 1 0 0  1 2 2 0   10  3 4 5       X n n ( Q  1) 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(D) (2)【答案】(A) (3)【答案】(C) (4)【答案】(D) (5)【答案】(C) 三、(本题满分 6 分) 这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题.一般要用连续性与可导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数. lim ( ) f x x  0  lim ( ) f x x  0   lim 0 x    lim 0 x   x  0 2(1 cos ) x 2  x cos x 2 x 12  2 2 x 1  ,  lim 0 x   2 t dt  lim 0 x   2 x cos 1  1 , 故 (0 0)  f  f (0 0)   f (0) ,即 ( ) f x 在 0 x  处连续. f   (0)  lim 0 x   (0) ( ) f x x   f 0  lim 0 x   1 x x  0 2 t dt  1 cos x x  0  lim 0 x    x 2 cos t dt 2 x  lim 0 x    1 2 cos x 2 x  lim 0 x    4 1 x 2 2 x  0,

f   (0)  lim 0 x    lim 0 x   (0)    f 0 ( ) f x x  2(1 cos ) x  x  lim 0 x  2  3 x (0) 0 即 (0) f    f   ,故 ( ) f x 在 0 2 (1 cos ) 1  x  x 2 x 2sin x 3 x  x 2  2 2(cos x lim 6 x 0 x  x  处可导,且 (0) 0  . lim 0 x  f     1)  0. 四、(本题满分 6 分) 首先,在变上限定积分中引入新变量 s  ,于是 t 3 t   dt  3  3 x  0 f    x  3 0 ( ) f s ds . 代入题设函数 ( ) f x 所满足的关系式,得 ( ) 3 f x  x  0 ( ) f s ds  e 2 x . 在上式中令 0 x  得 (0) 1  ,将上式两端对 x 求导数得 f  2 ( ) 3 ( ) 2 x f x f x   e . 由此可见 ( ) f x 是一阶线性方程  ( ) 3 ( ) f x f x   2 2 x e 满足初始条件 (0) 1  的特解. f 用 3xe 同乘方程两端,得 ( ) f x e  x 3    x 2 e ,积分即得 ( ) f x  Ce 3 2x e  2 x . 由 (0) 1  可确定常数 f 3C  ,于是,所求的函数是 ( ) 3 f x e  3 2x e  2 x . 五、(本题满分 6 分) 由 1   x 2 x 2   (1 2 )(1 x  知 x ) ln(1   x 2 2 ) x  ln(1 2 ) x   ln(1  x ) . 因为 ln(1  x )   x 2 x 2  3 x 3     ( 1) n 1  n x n   , 其收敛区间为 ( 1,1) ；又 ln(1 2 ) x    ( 2 ) x  2 ( 2 ) x  2  3 ( 2 ) x  3  其收敛区间为    1 1, 2 2    .    ( 1) n 1  n ( 2 ) x  n   ,

  n 1  n 1  ( 1)   n 2 n n x ,   n 1  n 1   ( 1)    n x n   ( 1) n 1  n ( 2 ) x  n     于是有 ln(1   x 2 2 ) x  其收敛区间为    1 1, 2 2    . 六、(本题满分 5 分) 方法一：本题中二重积分的积分区域 D 是全平面,设 0 a  , aD   ( , x y ) | a    x , a a    y a  , 则当 a   时,有 aD D .从而 I        min{ , } x y e  ( x 2 2  y ) dxdy  lim min{ , } x y e a   D a  ( x 2 2  y ) dxdy . 注意当 x y 时, min{ , }x y x ；当 x y 时, min{ , }x y y .于是 min{ , } x y e  ( x 2 2  y ) dxdy  a  a  dy  y  a xe  ( x 2 2  y ) dx  a  a  dx  x  a ye  ( x 2 2  y ) dy ,  D a 且 a  a  dx  x  a  ( x 2 2  y ) ye dy   1 2 1 2 a  a  dx x  a  a 2  a e   a 2  x e dx  1 2 a  a  2  2 x e dx .  ( x 2 2  y e ) ( d x 2  2 y )  1 2 a  a  由于   2xe   dx   ,从而可得 lim a  同理可得 lim a  a  a  a  a  dx dy x   a y   a  ( x 2 2  y ) ye dy   0 1 2 lim a  a  a  2  2 x e dx t  2 x  1 2 2 lim a    2 a 2 a  ( x 2 2  y ) xe dx    2 2 . 2 t  e dt  e  ( x 2 2  a ) 2  2 x  e  dx    2 2 . f   (0)  lim 0 x    lim 0 x   2 (1 cos ) 1  x  x 2 ( ) f x x  2(1 cos ) x (0)    f 0 lim 0 x  2  x  x 2sin x 3 x x x  处可导,且 (0) 0  . lim 0 x   2 f  2  3 x  即 (0) f    f  (0) 0  ,故 ( ) f x 在 0  lim 0 x    1) 2(cos x 6 x  0.

七、(本题满分 6 分) 本题的关键在于 p 和Q 之间存在函数关系,因此 R pQ 既可看作 p 的函数,也可看作Q 的函数,由此分别求出 dR dp 及 dR dQ E ,并将它们与弹性 p  p dQ Q dp 联系起来,进而求得问题的解. 由 ( Q Q p  ) 是单调减函数知 dQ dp  ,从而需求对价格的弹性 0 E p  p dQ Q dp  ,这表明 0 题设 pE b  应理解为 1 E p   E p   .又由 b 1 ( Q Q p  ) 是单调减函数知存在反函数 p p Q ( ) 且 dp dQ  1 dQ dp .由收益 R pQ 对Q 求导,有 dR dQ dR dQ   p Q dp dQ   p  p (1  1 E p ) , p p dQ Q dp  p 0 (1  1 b Q Q 0  ) p  ,得 0 a  ab 1 b  . 由收益 R pQ 对 p 求导,有 dR dp  Q p  dQ dp  Q (1  p dQ Q dp )  Q (1  E )p , dR dp  p p 0  0(1 Q  b ) Q  ,于是 0 c  c  1 b . 从而从而八、(本题满分 6 分) (1)由要证的结论可知,应将左端积分化成 0,a 上的积分,即  ( ) ( ) f x g x dx 再将 0  a a  a ( ) ( ) f x g x dx  0  a  ( ) ( ) f x g x dx  a 0  ( ) ( ) f x g x dx , 作适当的变量代换化为在 0,a 上的定积分. 方法一：由于在 0  a ( ) ( ) f x g x dx a  a   中令 x ( ) ( ) f x g x dx  t  ,则由 : x  0 a ( ) ( ) f x g x dx  a 0  ( ) ( ) f x g x dx , a  ,得 : t a  ,且 0 0

( ) ( ) f x g x dx f ( ) ( ) ( t g t d   t   ) a 0 f ( ) ( ) t g t dt    ( ) f x  f (   ) x g x dx A g x dx ( )  f (  ) ( ) x g x dx , a 0  . 中令 x t  ,则由 :x   ,得 :t a a a  ,且 f ( ) ( ) ( t g t d   t   ) f ( ) ( ) t g t dt   a 0  f (  ) ( ) x g x dx .  ( ) a 0  a a   ( f a  0 a    ( ) ( ) f x g x dx  0 a ( ) ( ) f x g x dx a a  ( ) ( ) f x g x dx 0    a a  a 所以方法二：在 a    a a  a 所以 a      a 1     2 1  2   a a ( ) ( ) f x g x dx a  a ( ) ( ) f x g x dx  a  a  ) ( ) x g x dx  ( ) f x  f (  a  ) x g x dx   ( ) 2 (1 cos ) 1  x  A 2 x 2  a f   (0)  lim 0 x    lim 0 x   ( ) f x x  2(1 cos ) x (0)    f 0 lim 0 x  2  x  x 2sin x 3 x x x  处可导,且 (0) 0  . lim 0 x   2 f  2  3 x  即 (0) f    f  (0) 0  ,故 ( ) f x 在 0    ( ) . g x dx A g x dx ( )  a  0  lim 0 x    1) 2(cos x 6 x  0. 九、(本题满分 9 分) 因为 (I) r r (II) 3  ,所以 1 ,   线性无关,而 1 , 2 3 ,     线性相关, , 2 , 3 4 因此 4 可由 1 ,   线性表出,设为 4     3 l 1 1 l 2 l 3    , 2 3 2 . 若即由于 (III) r k    1 1 3   k k 2 2 3  k 4 (   4  5 ) 0  , ( k 1  l k 1 4 )  1  ( k 2  l k 2 4 )  2  ( k 3  l k 3 4 )   5  k 3 4  , 0  ,所以 1 4 ,     线性无关.故必有 , 2 , 3 5    0, 0, 0, 2 k   1   k    k   k   3 4 l k 1 4 l k 2 4 l k 3 4 0. k 解出 4  0, k 3  0, k 2  0, k 1  . 0 2 (1 cos ) 1  x  x 2 f   (0)  lim 0 x    lim 0 x   (0)    f 0 ( ) f x x  2(1 cos ) x  x 3 x  lim 0 x  2  x 2sin x 3 x lim 0 x   2 x  2  lim 0 x    1) 2(cos x 6 x  0.

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