2021 年浙江高考数学真题及答案
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页;非选择题部分 3
至 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。
考生注意:
1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷
和答题纸规定的位置上。
2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本
试题卷上的作答一律无效。
参考公式:
如果事件 A,B 互斥,那么 (
P A B
)
(
)
P A
(
P B
)
柱体的体积公式V Sh
如果事件 A,B 相互独立,那么 (
P AB
)
(
(
P A P B
)
)
其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么
高
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
锥体的体积公式
V
1
3
Sh
P k
n
( ) C
k
n
k
p
(1
p
)
n k
0,1,2,
, )
n
其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的
台体的体积公式
V
S
1
S S
1 2
)
S h
2
高
(
k
1 (
3
其中 1
,S S 分别表示台体的上、下底面积,h 表示
2
台体的高
球的表面积公式
S
4
R
2
球的体积公式
V
R
4
3
3
其中 R 表示球的半径
选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。
A
x x
1.设集合
A.
x x
1
,
1
B.
B
x
1
x
x x
1
2
C.
,则 A B
1
1
x
x
(
)
D.
x
1
x
2
2.已知 a R ,
1
a
i i 3 i
(i 为虚数单位),则 a (
)
A. 1
B.1
C. 3
D.3
3.已知非零向量 ,
,a b c ,则“
a c b c ”是“ a b ”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也
不必要条件
4.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是(
)
3
2
A.
B.3
C.
3 2
2
D. 3 2
1 0
x
0
x
y
2
3
1 0
y
x
z
x
1
2
y
,则
的最小值是(
)
5.若实数 x,y 满足约束条件
A. 2
3
2
B.
1
2
C.
1
10
D.
6.如图,已知正方体
ABCD A B C D
1
1 1
,M,N 分别是 1A D , 1D B 的中点,则(
)
1
A.直线 1A D 与直线 1D B 垂直,直线 MN∥平面 ABCD
B.直线 1A D 与直线 1D B 平行,直线 MN 平面
BDD B
1 1
C.直线 1A D 与直线 1D B 相交,直线 MN∥平面 ABCD
D.直线 1A D 与直线 1D B 异面,直线 MN 平面
BDD B
1 1
( )
f x
2
x
1
4
,
( )
g x
sin
x
7.已知函数
,则图象为如图的函数可能是(
)
y
( )
f x
( )
g x
A.
1
4
y
( )
f x
( )
g x
B.
1
4
y
( ) ( )
f x g x
C.
y
( )
g x
( )
f x
D.
8.已知 ,
,是互不相同的锐角,则在 sin cos
三个值中,大
,sin cos ,sin cos
1
2 的个数的最大值是(
于
)
A.0
B.1
C.2
D.3
0
R
,函数
f x
9.已知 ,
,
ab
a b
,s t 的轨迹是(
数列,则平面上点
2
ax
(
b x
R .若 (
f s
)
t
),
( ),
f s
(
f s
t
成等比
)
)
A.直线和圆
B.直线和椭圆
C.直线和双曲线
D.直线和抛物线
10.已知数列 na 满足
a
1
1,
a
n
1
a
n
1
a
n
n
N
*
.记数列 na 的前 n 项和为 nS ,则
(
)
1
2
A.
S
100
3
3
S
100
4
B.
4
S
100
C.
9
2
9
2
D.
S
100
5
非选择题部分(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。
11.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明,弦图是由四个全等的直角三角形和
中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是 3,
4,记大正方形的面积为 1S ,小正方形的面积为 2S ,则
S
1
S
2
_________.
12.已知 a R ,函数
( )
f x
2
x
x
2
4,
x
,
3
a x
2,
若
13 . 已 知 多 项 式
(
x
3
1)
(
x
4
1)
4
x
3
a x
1
f
a x
2
f
2
a
2
a
3
a
4
_______.
3
6
, 则 1a _______ ,
a x a
3
,则 a ________.
4
14.在 ABC△
中,
B
60 ,
AB
,M 是 BC 的中点,
2
AM
2 3
,则 AC _______,
cos MAC
_________.
15.袋中有 4 个红球,m 个黄球,n 个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为,若
1
6 , 一 红 一 黄 的 概 率 为
1
3 , 则 m n _________ ,
取 出 的 两 个 球 都 是 红 球 的 概 率 为
E
__________.
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
b
0)
,焦点 1(
F c
,0)
, 2( ,0)
F c
(
c ,若过 1F 的直线和
0)
2
y
2
c
相切,与椭圆在第一象限交于点 P,且 2PF
x 轴,则该直线的斜
16.已知椭圆
x
2
1
2
c
圆
率是_______,椭圆的离心率是_________.
17.已知平面向量
,
(
a b c c
,
0)
满足
a
1,
b
2,
a b
0,
a b c .记向量 d 在 ,a b
0
方向上的投影分别为 x,y, d a 在 c 方向上的投影为 z,则
2
x
2
y
________.
2
的最小值是
z
三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(本题满分 14 分)
设函数
f x
sin
x
cos (
x x
R .
)
y
f x
π
2
2
的最小正周期;
(Ⅰ)求函数
y
( )
f x f
x
π
4
在
π0,
2
上的最大值.
(Ⅱ)求函数
19.(本题满分 15 分)
如 图 , 在 四 棱 锥 P ABCD
中 , 底 面 ABCD 是 平 行 四 边 形 ,
ABC
120 ,
AB
1,
BC
4,
PA
15
, M , N 分 别 为
,BC PC 的 中 点 ,
PD DC PM MD
,
.
(Ⅰ)证明: AB
PM
;
(Ⅱ)求直线 AN 与平面 PDM 所成角的正弦值.
20.(本题满分 15 分)
已知数列 na 的前 n 项和为 nS ,
(Ⅰ)求数列 na 的通项公式;
(Ⅱ)设数列 nb 满足 3
n
b
n
(
a
1
9
4
4
S
1
n
3
S
n
9(
n
,且
*
N .
)
4)
a
n
0
(
n N ,记 nb 的前 n 项和为 nT ,若 n
T
)
*
b
n
对任意
n N 恒成立,求实数的取值范围.
*
21.(本题满分 15 分)
如图,已知 F 是抛物线
2
y
2
px p
0
的焦点,M 是抛物线的准线与 x 轴的交点,且
MF
2
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)设过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,若斜率为 2 的直线 l 与直线 ,
MA MB AB ,
,
x 轴依次交于点 P,Q,R,N,且满足
2RN
PN QN
,求直线 l 在 x 轴上截距的取值范
围.
22.(本题满分 15 分)
x
a
bx
e
2(
x
R .
)
f x 有两个不同的零点,求 a 的取值范围;
4eb , 函 数
f x 有 两 个 不 同 的 零 点 1
,x x , 满 足
2
设 a,b 为实数,且 1a ,函数
f x
(Ⅰ)求函数
f x 的单调区间;
b ,函数
22e
(Ⅱ)若对任意
( Ⅲ ) 当
ea 时 , 证 明 : 对 意
x
2
ln
b
b
2
2e
x
1
2
e
b
.
(注: e 2.71828
是自然对数的底数)
参考答案