2008陕西考研数学二真题及答案.doc-资料库

2008 陕西考研数学二真题及答案一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设 ( ) f x  2 ( x x  1)( x  ，则 '( ) f x 的零点个数为（） 2)  A 0  B 1.  C 2  D 3 （2）曲线方程为 y  ( ) f x 函数在区间[0, ]a 上有连续导数，则定积分 a  0 taf ( ) x dx （）  A 曲边梯形 ABCD 面积.  B 梯形 ABCD 面积.  C 曲边三角形 ACD 面积.  D 三角形 ACD 面积. （3）在下列微分方程中，以 y C e C   x 1 cos 2 x C  3 2 sin 2 x C C C 为任意常数）为 , , （ 1 2 3 通解的是（） A    y y ''' '' '4 y  4 y  0  B ''' y  '' y  '4 y  4 y  0  C ''' y  '' y  '4 y  4 y  0  D ''' y  '' y  '4 y  4 y  0 （5）设函数 ( ) f x 在 (   内单调有界， nx 为数列，下列命题正确的是（） ) ,  A 若 nx 收敛，则 ( f x 收敛.  )n  B 若 nx 单调，则 ( f x 收敛.  )n  C 若 f x 收敛，则 nx 收敛. (  )n  D 若 f x 单调，则 nx 收敛. (  )n （6）设函数 f 连续，若 ( , ) F u v  2 ( f x 2 x   2 2 y y  uvD ) dxdy ，其中区域 uvD 为图中阴影部分，则 F  u  A   2( vf u )  C ( ) vf u  B  D ) v f u 2( u v f u ( ) u （7）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵. 若 3 A  ，则（） 0

 A E A 不可逆， E A 不可逆.  B E A 不可逆， E A 可逆.  C E A 可逆， E A 可逆.  D E A 可逆， E A 不可逆. （8）设 A     1 2 2 1     A 2   1  1   2  .  C    2 1 1 2    . ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为（）  B 2   1   D 1  2    . 1   2  2  1    . 二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）已知函数 ( ) f x 连续，且 lim 0 x  1 cos[ ( )] xf x  ( 1) ( ) e f x  x 2  1 ，则 (0) f  ____ . （10）微分方程 ( y  2 x e  x ) dx  xdy  的通解是 0 y  ____ . （11）曲线  sin xy   ln  y  x   在点 x 0,1 处的切线方程为  . （12）曲线 y  ( x  5) x 2 3 的拐点坐标为______. （13）设 z     x yy   x  ，则 (1,2) z  x   ____ . （14）设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2,3,.若行列式 2 A   ，则 48 ___ . 三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分 9 分） sin x    求极限 lim 0 x  sin sin  x 4 x    sin x . (16)（本题满分 10 分）设函数 y  ( ) y x 由参数方程    y  dx dt       2 te  x  0 x t  0  0 的解.求 y 2 2  x  .  ( ) x t ln(1  ) u du 确定，其中 ( )x t 是初值问题 x t  0 2

(17)（本题满分 9 分）求积分 1 x  0 xdx . arcsin 2 1 x (18)（本题满分 11 分）求二重积分 max(  D xy dxdy ,1) , 其中 D  {( , x y ) 0   x 2,0   y 2} (19)（本题满分 11 分）设 ( ) f x 是区间  0,  上具有连续导数的单调增加函数，且 (0) 1  .对任意的 f  t   ，直线 0, 0,  x x  ，曲线 t y  ( ) f x 以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周   生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 ( ) f x 的表达式. (20)（本题满分 11 分） (1) 证明积分中值定理：若函数 ( ) f x 在闭区间 [ , ]a b 上连续，则至少存在一点 [ , ]a b ，使得 b  a ( ) f x dx b a  ( )( f ) (2)若函数 ( )x 具有二阶导数，且满足一点 (1,3),   使得   ( ) 0  （21）（本题满分 11 分）    (1), (2)  (2) 3  ( )x dx   2 ，证明至少存在求函数 u  2 x  2 y 2  在约束条件 z z  2 x 2  和 y x    下的最大值与最小值. y z 4 （22）（本题满分 12 分）设矩阵 A  2 a 2 a       1 2 a    2 a     1  2 a   n n ，现矩阵 A 满足方程 AX B ，其中 X    1, x , x n T  ， B   1,0, （1）求证 A   n  1 n a ；  ， ,0  （2） a 为何值，方程组有唯一解，并求 1x ；（3） a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分 10 分）设 A 为 3 阶矩阵， 1 ,  为 A 的分别属于特征值 1,1 特征向量，向量 3 满足 2 A   3  ， 3 2

（1）证明 1 ,   线性无关； , 2 3 （2）令 P    3  , , 1 2   ，求 1P AP . 参考答案一、选择题 (1)【答案】 D 【详解】因为 (0) f  f (1)  f (2) 0  ，由罗尔定理知至少有 1   (0,1)   ， 2 (1,2) 使 f   ( ( f  1 2 )  ，所以 ( ) ) 0 f x 至少有两个零点. 又 ( ) f x 中含有因子 x ，故 0 x  也是 f x 的零点， D 正确. ( ) 本题的难度值为 0.719. (2)【答案】C a xf x dx  ( )  a  0 ( ) xdf x  ( ) xf x  a 0 a  0 ( ) ( ) f x dx af a   a  0 ( ) f x dx 【详解】  其中 ( ) 0 af a 是矩形 ABOC面积， a f x dx ( )  0 为曲边梯形 ABOD的面积，所以 a xf x dx  ( )  0 为曲边三角形的面积．本题的难度值为 0.829. (3)【答案】 D 【详解】由微分方程的通解中含有 xe 、 cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根 1,  r r   ，所以特征方程为 ( 2 i r  1)( r  2 )( i r  2 ) 0 i  ，即 3 r 2  r  4 r   . 故 4 0 以已知函数为通解的微分方程是  y   y   y   4 0 本题的难度值为 0.832. (4) 【答案】 A 【详解】 0, x 1  x  时 ( ) f x 无定义，故 0,  x x  是函数的间断点 1 因为同理又 lim ( ) f x x  0   lim 0 x   ln x csc x  lim 0 x   1  1| | x  lim 0 x      lim 0 x   2 sin cos x x x   lim 0 x   x cos x  0 1 x x csc cot x lim ( ) 0  0 x f x  lim ( ) f x  1 x   lim  1 x  ln x 1 x   lim sin  1 x  x     lim sin1 sin1  1 x   1 x   

x  是可去间断点， 1x  是跳跃间断点. 0 所以本题的难度值为 0.486. (5)【答案】 B 【详解】因为 ( ) f x 在 (   内单调有界，且{ }nx 单调. 所以{ ( f x 单调且有界. 故 )}n ) , { ( f x 一定存在极限. )}n 本题的难度值为 0.537. (6)【答案】 A 【详解】用极坐标得所以 F vf u   u   2 , F u v    2  f u 2 u   2 v 2 v  D  dudv  v 0  dv u  1 2 ( f r r ) rdr  v u  1 ( f r dr 2 ) 本题的难度值为 0.638. (7) 【答案】C  【详解】 E A E A A   )( ( 2 )   E A 3  ， E ( E A E A A   )(  2 )   E A 3  E 故 E A E A  均可逆．  , 本题的难度值为 0.663. (8) 【答案】 D 【详解】记 D 1    2  2  1    ，      1 4 1 则   ，又 2 1    E A E D 2     2 1   2  所以 A 和 D 有相同的特征多项式，所以 A 和 D 有相同的特征值. 又 A 和 D 为同阶实对称矩阵，所以 A 和 D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故 D 正确. 本题的难度值为 0.759. 二、填空题 (9)【答案】2 2  1      2 1 4    2 x 1 cos[ ( )] xf x  ( ) 1) ( e f x  1 2 lim ( ) f x x   0 f  lim 0 x  2 2sin [ ( ) 2] xf x 2 ( ) x f x  lim 0 x  (0) 1  2 2sin [ [ ( ) 2] xf x  2 ( ) 2] 4 xf x  ( ) f x 【详解】 lim 0 x   f 所以 1 2 (0)  2 本题的难度值为 0.828. (10)【答案】 ( x x C e  )

【详解】微分方程 y  2 x e  x  dx  xdy  可变形为 0 所以  1 x dx y  e       1 x dx  x xe e dx C      x      x xe  本题的难度值为 0.617. (11)【答案】 y x  1 dy dx 1 x  y x   x xe dx C   x (  e  x  C )    【详解】设 ( , F x y )  sin( xy )  ln( y  x )  ，则 x dy dx    F x  F y   y cos( xy )  x cos( xy ) 1  y x 1  y   1 ， x 将 (0) 1  代入得 y dy dx  x 0  ，所以切线方程为 1    ，即 0 1 y x y x  1 本题的难度值为 0.759. (12)【答案】 ( 1, 6)   【详解】 y  x 5 3 2 3  5 x  y    y   5 x 3 10 9 2 3   1 3 x 10 x 3 10  9 1 3    4 3 x 2) 10( x  1 3 3 x 10( x  4 3 9 x  1) x   时， 1 y  ； 0 x  时， y 不存在 0 在 x   左右近旁 y 异号，在 0 x  左右近旁 1 y  ，且 ( 1) 6 y    0 故曲线的拐点为 ( 1, 6)   本题的难度值为 0.501. (13)【答案】【详解】设 u  2 (ln 2 1)  2 ,y x x y v  ，则 z v u 所以 z  x   z  u   u  x   z  v   v  x   vu v 1  (  y 2 x )  v u ln u  1 y  v u     vy 2 ux  ln u y        y x    x y  1 y    1 ln   y x    所以 z  x  (1,2)  2 (ln 2 1)  2

本题的难度值为 0.575. (14)【答案】-1 【详解】 |   A | 2 3       6 3 | 2 | 2 | A  A |   32 6 48   1   本题的难度值为 0.839. 三、解答题 (15)【详解】方法一： lim 0 x  [sin x  sin(sin )]sin x x 4 x  lim 0 x  sin x  sin(sin ) x 3 x  lim 0 x  方法二： sin   x   x cos x  cos(sin )cos x x 1 cos(sin ) x  2 x 3 3 x 3 )  ( o x 1 6 sin(sin )]sin  x 4 x  lim 0 x  2 3 x sin(sin ) x  sin x x  lim 0 x  o x  4  sin  6 x  4 [sin x  lim 0 x  2 1 sin 2 3 x x o  2 3 x  (sin 1 6 3 x )     1 6 sin   lim 0 x  1 6 4 (sin 4 x x ) 本题的难度值为 0.823. (16)【详解】 dx dt 方法一：由 2 te   x  得 0 xe dx  2 tdt ，积分并由条件 0tx  得 xe   ，即 1 t 2 所以 dy dx  dy dt dx dt ln(1  ) 2 t  (1   2 t )ln(1  2 t ) 2 t  2 t t  1 2 2 d y 2 dx  d dy dx dx        d dt (1   t 2 )[ln(1  t 2  t 2 )] 2 ln(1 t  1 2 ) 2 t  2 t  2 t t  [(1 2 t  )ln(1 dx dt ) 1]   2 te  x  得 0 xe dx  2 tdt ，积分并由条件 0tx  得 xe   ，即 1 t 2 dy dt dx dt ln(1  ) 2 t  (1   2 t )ln(1  2 t )  x e x 2 t  2 t t  1 2  x ( e x  1) 方法二：由 dx dt 所以所以 dy dx  2 d y 2 dx 本题的难度值为 0.742. x  ln(1  t 2 ) x  ln(1  t 2 )

(17)【详解】方法一：由于 lim  1 x 2 x x arcsin 2 1 x    ，故 1 2 x  0 xdx arcsin 2 1 x 是反常积分. 令 arcsin x t ，有 sin  x t ， [0,  t 2) 1 2 x  0  2 t 4  arcsin 2 1 x  2  0 x dx   2 t  0 t 2 sin cos t cos tdt   2  0 t sin 2 tdt   2  0 ( t 2  t cos 2 t 2 ) dt  2 0  1 4 td sin 2 t  2  16  t sin 2 t 4  2 0   2 0  1 4 sin 2 tdt  2  16  1 8 cos 2 t  2 0  2  16  1 4 方法二： 1 2 x  0 xdx arcsin 2 1 x 1   2 1 0  1 2 2 x (arcsin ) x 2 1 0  1  0 2 x d (arcsin ) x 2 x (arcsin ) x dx 2  2  8  1  0 x (arcsin ) x dx 2 令 arcsin x t ，有 sin  x t ， [0,  t 2) 1  0 x (arcsin ) x dx 2  1 2  sin 2 2 tdt  0   1 4  2 t d 2  0   1 4 2 ( cos 2 ) t t  2 0   2 0  1 2 t cos 2 tdt  2  16  1 4 故，原式  2  16  1 4 本题的难度值为 0.631. (18)【详解】曲线 xy  将区域分成两 1 个区域 1D 和 2 D D ，为了便于计算继续对 3 区域分割，最后为  ,1 max xy  dxdy  D    D 1 1 2 0  xydxdy  dxdy   D 2 dxdy  D 3 dx 2  0 1 dy  dx  2 1 2 1 1x 0  dy   2 1 2 dx  2 1 x xydy cos 2 t D1 D3 D2 O 0.5 2 x

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