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2020-2021年广东省揭阳市普宁市高一数学下学期期中试卷及答案.doc

发布时间：2024-04-16 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.67M 资料格式：doc 举报 版权申诉
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    2020-2021 年广东省揭阳市普宁市高一数学下学期期中试卷 及答案 一、单项选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）. 1．i 是虚数单位，若集合 S＝{﹣1，0，1}，则（ ） A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D． B． 2．如图，平行四边形 ABCD 中，E 分别是 BC 的中点，若 ＝ ， ＝ ，则 ＝（ ） A． D． B． C． D． 3．若一个圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形，则这个圆锥的体积为（ ） A． π B． π C． π D．2π 【分析】根据圆角轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小， 由此结合圆锥的体积公式，则不难得到本题的答案． A． 4．若复数 z 满足 z（1+ i）＝2i，则在复平面内 z 对应的点的坐标是（ ） A．（ ，1） B．（1， ） C．（ ， ） D．（ ， ） C． 5．一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A、B、C 是展开图上的三点，则在正方体盒
    子中，∠ABC＝（ ） A．60° B．30° C．90° D．45° A． 6．设 x，y∈R，向量 ＝（x，1）， ＝（1，y）， ＝（2，﹣4），且 ⊥ ， ∥ ，则 | + |＝（ ） A． B． C． D．10 【分析】由向量平行与垂直的充要条件建立关于 x、y 的等式，解出 x、y 的值求出向量 的坐标，从而得到向量 的坐标，再由向量模的公式加以计算，可得答案． B． 7．已知△ABC 的面积为 10 ，且 AB＝7，∠ACB＝60°，则该三角形的周长为（ ） A．15 C． B．18 C．20 D．21 8．学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 挖去四棱锥 O﹣EFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E、F、G、H 分别为所在 棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，3D 打印所用原料密度为 0.9g/cm3，不考虑打印损耗， 制作该模型所需原料的质量为（ ）g A．118.8g B．108g C．97.2g D．86.4g A．
    二、不定项选择题（4 小题，每小题 5 分，共 20 分；在每小题提供的 4 个选项中，有不少 于一项符合题目要求） 9．下列说法正确的是（ ） A．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 B．以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所 围成的几何体是圆锥 C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面 BCD． 10．在△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，以下能独立说明△ABC 为等腰三角形 的是（ ） A．sinA＝sinB C． AC． B．sin2A＝sin2B D． 11．设 z1，z2 是复数，则下列说法正确的是（ ） A．若|z1﹣z2|＝0，则 z1＝z2 B．若 z1＝ ，则 ＝z2 C．若|z1|＝|z2|，则 z1• ＝z2• D．若|z1|＝|z2|，则 z1 2＝z2 2 ABC． 12．设 A1、A2、A3、A4 是平面直角坐标系中相异的四点，若 ＝ （λ∈R）， ＝ （μ∈R），且 ＝2，则称 A3，A4 调和分割 A1A2.已知平面上的点 C，D 调和分割点 A，B，则下面说法正确的是（ ） A．A、B、C、D 四点共线 B．D 可能是线段 AB 的中点 C．C、D 可能同时在线段 AB 上 D．C、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 AD．
    三、填空题（4 小题，每小题 5 分，共 20 分；第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分） 13．i 是虚数单位，则 的值为 ． 【分析】利用复数模的运算性质即可求解． 14．长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 14 π ． 15．台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动，离台风中心 30 千米的地区为 危险区，城市 B 在 A 地正东 40 千米处，则城市 B 处在危险区内的时间是 1 小时 ． 16．在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．点 E 和 F 分别在线 段 BC 和 DC 上，且 ， ，则 • ＝ ． 四、解答题（6 道大题，共 70 分） 17．已知 i 为虚数单位，复数 z1＝1+i，z2＝8+5i，z3＝15﹣14i， （1）将 z3+z1z2 化为 a+bi 的形式，这里 a、b∈R； （2）如果复平面内表示复数 z＝z1m2﹣z1m+z3 的点位于第四象限，求实数 m 的取值范围． 18．已知 ＝（cosα，sinα）， ＝（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π． （1）若| ﹣ |＝ ，求证： ⊥ ； （2）设 ＝（0，1），若 + ＝ ，求α，β的值． 解：（1）由 ＝（cosα，sinα）， ＝（cosβ，sinβ）， ＝（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ）， 则 由 ＝2， ＝2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ） 得 cosαcosβ+sinαsinβ＝0． 所以 ．即 ； （2）由 得 ，①2+②2 得： ． 因为 0＜β＜α＜π，所以 0＜α﹣β＜π． 所以 ， ， 代入②得： ．
    因为 所以， ．所以 ． ． 19．如图，在△ABC 中，∠B＝ ，AB＝8，点 D 在边 BC 上，且 CD＝2，cos∠ADC＝ ． （1）求 sin∠BAD； （2）求 BD，AC 的长． 解：（1）在△ADC 中，∵cos∠ADC＝ ， ∴sin∠ADC＝ ＝ ＝ ＝ ， 则 sin∠BAD＝sin（∠ADC﹣∠B）＝sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB＝ × ﹣ ＝ ． （2）在△ABD 中，由正弦定理得 BD＝ ＝ ， 在△ABC 中，由余弦定理得 AC2＝AB2+CB2﹣2AB•BCcosB＝82+52﹣2×8× ＝49， 即 AC＝7． 20．如图是一块圆锥体工件，已知该工件的底面半径 OA＝1，母线 SA＝3． （1）A、B 是圆 O 的一条直径的两个端点，母线 SB 的中点 D，用软尺沿着圆锥面测量 A、 D 两点的距离，求这个距离的最小值； （2）现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一 个面落在原工件的一个面内，求原工件材料的利用率．（材料利用率＝ ）
    解：（1）如图，将圆锥 SO 的侧面自母线 S 处展开，得到扇形 ASA′，SB′为母线 SB 在 侧面展开图中相应的线段， ∵弧 AA′＝2π，∴ ，∴ ， 取 SB′的中点 D′，则 D′为 D 在侧面展开图中的相应点． 连接 AD′，在△ASD′中，由余弦定理得 AD′2＝SA2+SD2﹣2SA×SD′×cos∠ASD′＝ ． 故 AD 的最小距离为 ； （2）设新正方体工件的棱长为 x，沿正方体对角面切圆锥，得到一个轴截面，如图： ∴EF＝ ，FG＝x， ∵△BFG∽△BSO，∴ ，解得 x＝ ， 故 ，又 π， ∴原工件材料的利用率为 ．
    21．在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，向量 ＝（a+b，sinA﹣sinC），向 量 ＝（c，sinA﹣sinB），且 ∥ ． （1）求角 B 的大小； （2）如果△ABC 是钝角三角形，求该三角形中最长边与最短边的比值 m 的取值范围． 解：（1）由 ∥ ，得（a+b）（sinA﹣sinB）﹣c（sinA﹣sinC）＝0， 根据正弦定理，得（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣c）＝0，即 a2+c2﹣b2＝ac， 由余弦定理，得 cosB＝ ＝ ＝ ，又 B∈（0，π），所以 B＝ ； （2）因为△ABC 为钝角三角形，不妨设 A 为钝角，则 0＜C＜ ， 根据三角形的边角关系，必有 a＞b＞c，于是 m＝ ， 根据正弦定理，有 m＝ ＝ ＝ ＝ ＝ + ， 由于 0＜C＜ ，则 0＜tanC＜ ，故 m＝ + ∈（2，+∞）， 因此，该三角形中最长边与最短边的比值 m 的取值范围是（2，+∞）． 22．如图所示，AD 是△ABC 的一条中线，点 O 满足 ＝ ，过点 O 的直线分别与射线 AB、 射线 AC 交于 M、N 两点． （1）求证： ＝ + ； （2）设 ＝m ， ＝n ，m＞0，n＞0，求 的值； （3）如果△ABC 是边长为 2 的等边三角形，求 OM2+ON2 的取值范围． 解：（1）证明：因为 D 是 BC 的中点， 所以 ＝ （2）因为 M．N，O 三点共线，故存在实数λ使得： ； ，
    即 ＝ ，整理可得： ＝ ， 由（1）可知 ， ， 由平面向量基本定理， ，所以 ； （3）因为三角形 ABC 为边长为 2 的等边三角形，故 AM＝2m，AO＝ ， 在△AOM 中，由余弦定理可得：OM2＝AM2+AO2﹣2AM•AO×cos30°＝4（m ）， 在△AON 中，同理可得：ON ， 故 OM2+ON2＝4（m ）＝4[（m+n） ]， 由（2）知 ，则 mn＝ ， 故 OM2+ON2＝4[（m+n） ] ＝4[（m+n﹣ ） ]， 由基本不等式， 可得：m+n ， 当且仅当 m+n＝ ，即 m＝n＝ 时，OM2+ON2 取得最小值为 ， 故 OM2+ON2 的取值范围为[ ）．
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