证明：由条件期望的性质 [ E X(t) ] = { E E X(t) N(t) ⎡ ⎣ } ⎤ ⎦ ，而 E X(t) N(t) ⎡ ⎣ = n ⎤ ⎦ = E ⎡ ⎢ ⎣ N(t) ∑ i=1 Y N(t) i = n ⎤ ⎥ ⎦ = E ⎡ ⎢ ⎣ n ∑ i=1 Y N(t) i ⎤= n ⎥ ⎦ = E ⎡ ⎢ ⎣ n ⎤ ∑ = ⎥ ⎦ Y i i=1 nE(Y ) ，所以 [ E X(t) 1 ] { }1 tE Yλ= 。 三．计算题（每题 10 分，共 50 分） 1.抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程： X(t)= π⎧ cos t H ⎨ t T ⎩ , t ∈ ∞ ∞ ，设 ,+ ) (- p(H)=p(T)= 1 2 ， ∈ −∞ +∞ 的样本函数集合；（2）一维分布函数 F(x;0),F(x;1) 。 } ) , ( X(t),t 求（1）{ 解：（1）样本函数集合为{ （2）当 t=0 时， { } cos t,t ,t } P X(0)=0 = ,+ ) (- { P X(0)=1 π ∈ ∞ ∞ ； } 1 = ， 2 ⎧ 0 x<-1 ⎪⎪ − ≤ 1 ⎨ 1 x<1 2 ⎪ ≥ x 1 ⎪⎩ 1 F(x;1)= ；同理 故 F(x;0)= ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ 0 x<0 1 ≤ x<1 0 2 ≥ x 1 1 2.设顾客以每分钟 2 人的速率到达，顾客流为泊松流，求在 2 分钟内到达的顾客不超过 3 人的概率。 解：设{ 0≥ 是顾客到达数的泊松过程， 2λ= ，故 { } P N(2)=k N(t),t ，则 } = e -4 (4) k k! { P N(2) ≤ } 3 = { } P N(2)=0 +P N(2)=1 +P N(2)=2 +P N(2)=3 } { } { } { = -4 e + -4 4e + -4 8e + 32 3 -4 e = 71 3 -4 e 3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概 率为α，而今天无雨明天有雨的概率为 β；规定有雨天气为状态 0，无雨天气为状态 1。设 α β= 0.7, = ，求,今天有雨且第四天仍有雨的概率。 0.4 解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为 P= ⎡ ⎢ ⎣ p 00 p 10 p 01 p 11 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 0.7 0.3 0.4 0.6 ⎤ ⎥ ⎦ ，于是 (2) P = PP= ⎡ ⎢ ⎣ 0.61 0.39 0.52 0.48 ⎤ ⎥ ⎦ ，四步转移概率矩阵为 (4) P = P P (2) (2) ⎡ = ⎢ ⎣ ⎤ 0.5749 0.4251 ⎥ 0.5668 0.4332 ⎦ ，从而得到今 00P 天有雨且第四天仍有雨的概率为 (4) = 0.5749 。 3 

4.一质点在 1,2,3 三个点上作随机游动，1 和 3 是两个反射壁，当质点处于 2 时，下一时刻处于 1,2,3 是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。 解：一步转移概率矩阵 P= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 1 3 0 1 1 3 1 0 1 3 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (2) P = 2 P ， ⎡ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎣ 1 3 1 9 1 3 1 3 7 9 1 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 1 3 1 9 1 3 , (2) ijp由 >0知，此链有遍历性； 设极限分布 = π π π π , 2 , 1 ) ， 3 ( 方程组 1 2 1 3 1 3 π π ⎧ ⎪ π π ⎨ ⎪ + π π π ⎩ = = + 2 3 2 3 1 1 = ⇒ = = π ⎧ ⎪ π ⎨ ⎪ π ⎩ 2 3 1 5 3 5 1 5 = 1 5.设有四个状态 { } I= 0 1 2 3，，， 的马氏链，它的一步转移概率矩阵 P= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 2 2 1 1 1 4 0 2 2 1 1 1 4 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ （１）画出状态转移图； （２）对状态进行分类； （３）对状态空间 I 进行分解。 解：（1）图略； = 而 ， ， 均为零，所以状态 3 构成一个闭集，它是吸收态，记 { } 1, p p p p （2） 33 32 31 30 1C = 3 ；0， 1 两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记 { } 2C = 0 1， ，且它们都是正常返 非周期状态；由于状态 2 可达 1 常返态，记 { } D= 2 。 C C， 中的状态，而 1 2 C C， 中的状态不可能达到它，故状态 2 为非 2 （3）状态空间 I 可分解为： E=D C 1 ∪ ∪ C 2 四.简答题（6 分）简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系。 答：（略） 4