2003 年山东高考理科数学真题及答案
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干
净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.
3. 考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式:
三角函数的积化和差公式:
正棱台、圆台的侧面积公式
[sin(
)
[sin(
)
sin(
)]
sin(
)]
sin
cos
cos
sin
cos
cos
1
2
1
2
1
2
1
2
[cos(
)
cos(
)]
cos(
)]
sin
sin
[cos(
)
S
台侧
1
2
(
c
)
lc
其中 c 、 c 分别表示
上、下底面周长,l 表示斜高或母线长.
球体的体积公式:
V
4 R
球
3
3
,其中 R
表示球的半径.
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
新疆
王新敞
奎屯
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合要求的
1.已知
x
(
2
,0),
cos x ,则 2tg x
4
5
(A)
7
24
(B)
7
24
(C)
24
7
(D)
24
7
( )
2.圆锥曲线
的准线方程是
( )
(A)
3.设函数
cos
sin8
2
cos
2
x
1
2
)(
xf
(B)
cos
x ,若
x
0
0
1
2
x
(A)( 1 ,1)
(C)( , 2 ) (0, )
2
(C)
sin
2
(D)
sin
2
1)
( 0 xf
,则 0x 的取值范围是
( )
(B)( 1 , )
(D)( , 1 ) (1, )
4.函数
y
sin2
x
(sin
x
cos
x
)
的最大值为
( )
(A)
1
2
(B)
12
(C) 2
(D)2
5.已知圆 C:
(
ax
)
2
(
y
2
)2
4
( 0a
)及直线 l :
x
3 y
0
,当直线 l 被 C 截得
的弦长为 32 时,则 a
( )
(A) 2
(B)
2
2
(C)
12
(D)
12
6.已知圆锥的底面半径为 R,高为 3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是( )
2
(B)
9 R
4
)(
xmx
2
(C)
2
(D)
8 R
3
0
的四个根组成一个首项为
3 R
2
2
2
nx
)
(A)
2
2 R
7.已知方程
2
(
x
2
|
|
nm
1 的的等差数列,则
4
( )
(A)1
(B)
3
4
(C)
1
2
(D)
3
8
8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( 7 ,0),直线
y
1 x
与其相交于 M、N 两点,
MN 中点的横坐标为
2 ,则此双曲线的方程是
3
1
(D)
2
y
2
( )
2
x
2
2
y
5
1
( )
2
x
5
)(1 x
1
(C)
的反函数
f
(A)
1
2
x
3
)(
xf
2
y
4
sin
x
,
9.函数
(B)
2
2
x
y
4
3
3,
[
]
2
2
1[x
,1]
x
(A)
arcsin
x
(B)
arcsin
x
1[x
,1]
(C)
arcsin
x
1[x
,1]
(D)
arcsin
x
1[x
,1]
10.已知长方形的四个顶点 A(0,0),B(2,0),C(2,1)和 D(0,1),一质点从 AB 的
中点 0P 沿与 AB 的夹角的方向射到 BC 上的点 1P 后,依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 2P 、
3P 和 4P (入射角等于反射角),设 4P 的坐标为( 4x ,0),若
1
x
4
2
,则 tg的取值
范围是
(A)(
11.
lim
n
1 ,1) (B)(
3
2
C
2
(
Cn
1 ,
3
2
C
n
1
C
n
2
C
3
1
C
2
2
C
4
1
C
4
1
3
( )
2 ) (C)(
3
2 ,
5
1 ) (D)(
2
2 ,
5
2 )
3
)
( )
(A)3
(B)
1
3
(C)
1
6
(D)6
12.一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上,则些球的表面积为( )
(A) 3
(B) 4
(C) 33
(D) 6
第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分
新疆把答案填在题中横线上
奎屯
王新敞
新疆
王新敞
奎屯
13.
(
2
x
的展开式中 9x 系数是
9
)
1
2
x
log2
(
x
x
)
14.使
1
成立的 x 的取值范围是
15.如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图
着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现有
4 种颜色可供选择,则不同的着色方法共有
种
新疆(以数字作答)
王新敞
奎屯
16.下列 5 个正方体图形中,l 是正方体的一条对
角线,点 M、N、P 分别为其所在棱的中点,能
得出 l 面 MNP 的图形的序号是
3
5
2
1
4
(写出所有符合要求的图形序号)
M
N
P
l
l
P
M
N
M
P
l
P
l
N
l
N
M
M
N
P
①
②
③
④
⑤
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或或演算步骤
17.(本小题满分 12 分)
已知复数 z 的辐角为 60 ,且
| z
|1
是 |
| z 和
| z
|2
的等比中项,求 |
| z
18.(本小题满分 12 分)
如图,在直三棱柱
ABC
1 CBA
1
1
中,底面是等腰直角三角形,
ACB
90
,侧棱
1 AA
2
,D、E 分别是 1CC 与 BA1 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G
(I)求 BA1 与平面 ABD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)
(II)求点 1A 到平面 AED 的距离
C1
D
A1
E
CG
K
A
F
B1
B
19.(本小题满分 12 分)
已知 0c ,设
P:函数
y 在 R 上单调递减
xc
Q:不等式
x
|
x
1|2
c
的解集为 R
如果 P 和 Q 有且仅有一个正确,求 c 的取值范围
20.(本小题满分 12 分)
在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 O(如图)的东偏南
arccos
2
10
)方向 300km 的海面 P 处,
(
并以 20km/h 的速度向西偏北 45 方向移动,
台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为
60km,并以 10km/h 的速度不断增大,问几小
时后该城市开始受到台风的侵袭?
y
O
O
海
岸
线
北
x
东
O
P
r(t)
45
P
21.(本小题满分 14 分)
0a
已知常数
4AB
分别在 BC、CD、DA 上移动,且 BE CF DG
BC CD DA
,在矩形 ABCD 中,
,
BC 4 ,O 为 AB 的中点,点 E、F、G
a
,P 为 GE 与 OF 的交点(如图),问是否存在
两个定点,使 P 到这两点的距离的和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存
在,请说明理由
王新敞
奎屯
新疆
y
D F
G
A
P
C
E
O
B
x
22.(本小题满分 12 分,附加题 4 分)
(I)设 }{ na 是集合
2{
s
t
|2
s 0
t
且
Zts ,
}中所有的数从小到大排列成的数列,
即
1 a
3
,
2 a
5
,
3 a
6
,
4 a
9
,
5 a
10
,
6 a
12
,…
将数列 }{ na 各项按照上小下大,左小右大的原则写成如下的三角形数表:
3
5
6
9
10
12
— — — —
…………
⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数;
⑵求 100a
(II)(本小题为附加题,如果解答正确,加 4 分,但全卷总分不超过 150 分)
设 }{ nb 是集合
r
2{
s
2
t
0|2
列,已知
kb
1160
,求 k .
s
r
t
,且
,
Ztsr
,
中所有的数从小到大排列成的数
}
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分,满分 60 分.
1.D
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分.
10.C
2.C
4.A
6.B
8.D
7.C
9.D
3.D
5.C
11.B
12.A
13.
21
2
14.(-1,0)
15.72
16.①④⑤
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. 解:设
z
r
cos
60
r
sin
)60
,则复数
z的实部为
r
2
.
z
z
,
zzr
2
r
由题设
2
|
|
|1
z
2
r
整理得
|
z
|
2
r
|2
z
即
.01
(:
z
解得
:
)(1
z
r
)1
|
,12
z
r
(
|
z
2
)(2
z
r
(12
|
即舍去
1
.12
,)2
).
r
|
z
rr
2
2
r
,4
18.(Ⅰ)解:连结 BG,则 BG 是 BE 在 ABD 的射影,即∠EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角.
设 F 为 AB 中点,连结 EF、FC,
,
ED
连结
2
EF
,
,
CC
分别是
1
ADB
GDE
是
1
3
FD
FG
,
BA
的中点
又
1
,
G
的重心
DC
DF
平面
ABC
,
.
在直角三角形
CDEF
EFD
中
为矩形
2
FD
,
EF
,1
FD
.3
)4(
分
于是
ED
FC
CD
sin
EBG
,2
EG
3
AB
6
3
,2
EG
EB
1
2
.
6
3
BA
1
2
3
,22
1
3
,32
EB
.3
.
BA
1
与平面
ABD
所成的角是
arcsin
2
3
.
(Ⅱ)解:
ED
AB
,
ED
EF
,
又
EF
AB
F
,
作
ABA
ED
面
1
KA
AE
1
,
,
又
垂足为
在
,
ABA
中
1
1
KA
1
AED
AED
,
AED
ED
面
K
KA
1
BAAA
1
1
.
AB
1
1
平面
.
平面
222
32
平面
AKA
是即
1
1
62
3
A
1
,
ABA
1
到平面
且面
AED
ABA
面
1
.
的距离
AED
AE
.
到平面
AED
的距离为
62
3
.
19.解:函数
y 在 R 上单调递减
xc
c
0
.1