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基于VaR约束和效用最大化的商业银行投资组合优化.pdf

发布时间：2022-05-30 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.23M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    5 10 15 20 25 30 35 40 中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 基于 VaR 约束和效用最大化的商业银行 投资组合优化# 刘艳萍，尹晓婷，付莹，王蕾* （大连理工大学管理与经济学部，辽宁 大连 116024） 摘要：在全球性金融危机影响仍在持续的背景下，研究商业银行的投资组合优化有助于控制 信贷风险、提高决策水平，从而防范金融危机。本文借鉴传统的 Markowitz 投资有效边界， 进一步考虑到目前商业银行对债券的运用和 VaR 风险约束，修正投资有效边界；以商业银行 效用最大化、既定风险水平下收益最大化为双目标得到投资组合优化模型，确定具体的最优 资产负债比例。本文的特色与创新是通过充分考虑商业银行资产负债管理在债券运用上的发 展现况，对投资有效边界进行修正，使得投资组合优化结果更为合理有效。 关键词：银行经营管理学；投资组合优化；无风险投资；风险价值(VaR)；效用最大化 中图分类号：F830 Optimization of Bank Investment Portfolio Utility Maximization Based on the Restraint of VaR Liu Yanping, Yin Xiaoting, Fu Ying, Wang Lei (Faculty of Management and Economics, Dalian University of Technology, LiaoNing DaLian 116024) Abstract: On the background of the impact on global financial crisis still going on, the study of optimization of bank investment portfolio has great significance to control credit risk and promote decision and prevent financial crisis. In this paper, Markowitz H. Portfolio selection is taken as the theoretical background and further revised by considering the risk-free bond assets in banks and constraint of Value at Risk (VaR); in addition, determine the specific investment ratio of the best portfolio by establishing a model of optimization of bank investment portfolio, which takes both utility maximization and profit maximization as a bi-objective. The main future and innovation of this paper is that the revised efficient frontier offers a more rational and effective optimization for commercial banks, taking the development of commercial bank management on bonds into consideration. Keywords: Commercial bank management; Optimization of investment portfolio; Risk-free investment; Value at Risk (VaR); Utility maximization 0 引言 近年来，我国商业银行的资本结构和投资环境发生了巨大的变化：一方面，商业银行可 以通过发行次级债券充足资本，扩展其可操作的资金范围，如 2004 年 6 月 23 日中国人民银 行和银监会发布的《商业银行次级债券发行管理办法》，使得许多商业银行通过发行次级债 券以改善资本状况[1]；另一方面，为防止信贷比例过高、降低风险，商业银行逐渐成为国债 市场的主要需求者[2]。商业银行对债券的发行和投资的运用，对其投资决策产生了实质性的 影响，而先前的研究很少考虑这方面变化。 对商业银行投资组合优化的研究，大致可以分为以下几方面： （1）针对商业银行投资的风险约束的研究。迟国泰等[3](2002)引入贷款组合的 VaR 作 为约束，以收益率的最大损失的形式，而不是以收益额的形式反映了风险价值 VaR。陈学 基金项目：教育部人文社会科学研究青年基金项目(09YJC790024)；中央高校基本科研业务费专项资金资助 (DUT10ZD107，DUT10RW107)；大连理工大学大学生创新性实验计划项目(2009344) 作者简介：刘艳萍，（1970-），女，副教授，主要研究方向：银行资产负债组合优化. E-mail: sylyp008@dlut.edu.cn - 1 -
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 华等[4](2003)用 Expected Shortfall 作为风险约束，给出了 MEAN-ES 模型，对投资组合进行 优化,然而该模型的缺欠是需要大量的样本进行更多的实证研究。 （2）针对投资决策的目标函数方面的研究。马志卫等[5](2006)通过蒙特卡洛模拟,实现 了收益和风险的同步优化，建立多目标决策模型。杨中原[6](2010)以银行资产的单位收益最 大为目标函数，同时对贷款集中度进行约束，建立基于单位风险收益最大化的贷款组合优化 模型。该方法同时考虑了风险和收益对组合决策的影响，具有一定的现实意义。 （3）针对商业银行发行次级债券和投资债券的研究。刘川巍[7](2004)指出由于债券市场 的不完善和银行自身的不足，商业银行投资的债券具有利率风险替代信用风险的问题，并对 此提出了改进措施。刘懿、罗希[8](2009)，余隆炯、刘红[1](2008)分别利用实证研究得出结论： 次级债券的发行对于商业银行形成了一定的市场约束。 综上所述，本文在已有研究的基础上对商业银行的投资有效边界进行修正，考虑到商业 银行可以投资于无风险债券和利用债券进行无风险融资的实际情况，并引入风险价值 VaR 对风险加以控制，最终利用效用函数作为商业银行的目标函数，定量分析出商业银行的最优 投资组合。 1 商业银行投资组合优化原理 1.1 问题描述 投资组合是投资主体将资金投放的所有项目的集合。普通的投资组合是由各种股票、债 券、金融衍生产品等构成的[9]，投资主体通常包括个人、企业、金融机构等投资工具的持有 者。然而商业银行作为一个特殊的投资主体，在投资项目上主要局限于不同风险的企业贷款。 商业银行在建立投资组合时遵循组合优化的基本原则是，在期望收益既定的条件下使商业银 行所承担的组合风险最小，或是在组合风险既定的条件下使期望的收益率最大[10]。商业银 行投资组合优化即是将商业银行投资的所有项目作为一个投资组合，对组合整体的收益和风 险按照组合优化基本原则进行权衡。 在现有的投资组合优化模型中，商业银行的投资组合只是包括了对不同企业贷款的风险 投资项目，没有把无风险投资和无风险借债作为投资组合的项目之一。本文考虑到这一实际 进展，建立模型使商业银行的投资组合不仅包括企业贷款，而且包括无风险债券的发行和对 国债（近似无风险）的投资，从而对现有的商业银行投资组合有效边界进行修正。 1.2 投资组合有效边界的确定思路 45 50 55 60 65 70 现有的商业银行投资组合有效边界将商业银行可用于投资的资金限定在一定额度内，而 且投资资产仅限于有风险的企业贷款项目。近年来随着商业银行业对债券运用的新进展，这 种有效边界已经不再适用。本文借鉴了投资组合理论[11]确定证券市场组合的思路，对商业 银行贷款有效边界作出修正。 75 如图 1 所示，曲线 OGB 是商业银行在未考虑债券运用情况下的投资组合有效边界[12]， 它是只考虑商业银行进行有风险贷款时的有效边界。然而现代商业银行既投资于风险贷款资 产，又投资于无风险债券资产，而风险贷款资产应该是符合资金利用效率的，即风险贷款资 产组合应该在曲线 OGB 上，因此本文基于 Markowitz 的投资有效边界基础上对投资组合有 效边界进行修正。修正后的商业银行投资组合有效边界有两个特点：其一，有效边界是在风 险贷款最优组合（位于曲线 OGB 上）的基础上与无风险资产的再组合形成的最优投资组合 集合，增加了商业银行可以对无风险国债进行投资的考虑；其二，商业银行贷款、投资的资 80 - 2 -
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 金额度不再限定在其资本金、存款负债等资金来源的一定范围之内，增加了商业银行对无风 险债券运用的考虑。 pER G B M Rf A O pσ 图 1 初步修正后的投资组合有效边界 为简单起见，假设商业银行发行债券的利率与债券投资的利率相等，并且无风险。坐标 轴的纵坐标表示投资组合收益率，横坐标表示投资组合收益率的方差（用来衡量风险）。 ERP 表示商业银行持有的资产组合期望收益率，这个投资组合由无风险资产和有风险资产组 成，其中无风险资产设为 Rf（0，r f ），有风险资产取风险贷款有效边界 OGB 上任意一点 Aσ ）； Pσ 表示对应的投资组合风险。假设商业银行投资于有风险资产 A A，设为（ERA, 的比例为 x（x≥ 0），投资于无风险资产 Rf 的比例为（1-x）。那么，商业银行资产组合期 望收益率 ERP、组合风险 Pσ 可以分别由资产 A、Rf 的期望收益率和风险表示如下： x ×= x 2 ×= ER ⎧ ⎪ P ⎨ 2 σ ⎪⎩ P 其中， ER A 2 σ A ER x r 1( ) ×−+ f x x 1( 2 ) ×−×+ cov( rER , fA ) 1( −+ x 2 ) × σ fr （1） A r , f ) =0， frσ =0。 cov( 整理公式（1）可得： ER P = r f ER − A σ A × σ P + r f （2） 由公式（2）可看出，组合收益率 PER 是组合风险 Pσ 的一次函数，其中 ER r f 和 A σ − A fr 为常数，这说明现代商业银行的最佳投资组合（ Pσ ， PER ）可以通过对无风险资产 Rf 和风险贷款有效组合 A 的投资比例的调整得到，并且这些投资组合随着投资比例的不同在 收益-风险坐标平面上表现为一条以 Rf 为起点的射线 RfA。当投资组合在风险贷款有效组合 A 点以外的 RfA 射线上，即 x>1 时，表明商业银行通过发行无风险的债券获得额外资金投 资于风险贷款资产 A 上，也反映出商业银行具有很高的风险偏好。 通过调整无风险资产 Rf 与不同风险贷款资产的投资比例，可以在坐标面上得到无数条 与射线 RfA 类似的投资组合边界，表现为以 Rf 为起点、交于曲线 OGB 不同点的射线。然而 在所有的射线中，当射线与曲线 OGB 相切时最优。由图 1 可以看出，在相同的风险水平下， RfG 具有更高的收益率水平。 综上所述，初步修正的商业银行投资组合有效边界为射线 RfG。 - 3 - 85 90 95 100 105
    中国科技论文在线 1.3 VaR 约束的控制思路 110 http://www.paper.edu.cn Philippe Jorion[13]（2001）对风险价值 VaR 做出的权威解释是：“在一定概率水平下（置 信度），某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失。” 将 VaR 转化为具体的函数形式，假设置信度为 c，投资组合的实际收益率表示为 pER ， 则有[14]： ob ( ER p ) −< VaR −≤ 1 Pr （3） 迟国泰等[15] (2002)根据中心极限定理，将 VaR 约束转化为： VaR （4） 代表 VaR 约束的曲线 L 在收益-标准差坐标轴中表现为一条直线，如图 2 所示。 p ER − φ 1 = − × σ ( ) c c p pER Rf -VaR G N VaR 约束线 L 有效边界 RfG pσ 115 120 125 图 2 VaR 约束下的投资组合有效边界 在实践中由银行监管部门根据实际情况来确定 VaR 的数值，而一个不合理的 VaR 取值 有可能导致约束过于严格或过松，甚至会出现约束失败的问题[15]。因此，在合理取值 VaR 时，VaR 约束线 L 一定会与投资组合有效边界相交，以便将商业银行的投资风险降至其风 险承受能力以内。由于在 VaR 约束线 L 上方的投资组合是在商业银行可以承受的风险范围 内的，因此，有效的投资组合风险和收益率被限定在 N 点以内，其中点 N 是 VaR 约束线 L 与投资组合有效边界 RfG 的交点。 综上所述，最终修正后的商业银行投资组合有效边界为线段 RfN。 130 1.4 效用函数的控制思路 王春峰等[16]创立了将无差异曲线表示在收益率-方差坐标面的效用函数，函数明确表现 了收益率与方差的替代关系，如图 3 所示。该无差异曲线随着效用值的不同，沿左上或右下 方向移动[17]。 pER 135 pσ 图 3 效用函数 - 4 -
    140 145 150 中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 当无差异曲线与投资组合有效边界的切点 T 在 VaR 约束的商业银行风险承受能力范围 内时，切点 T 处的组合为商业银行最优的贷款投资组合。如图 4 所示。 pER Rf -VaR VaR 约束线 L N T pσ 图 4 效用函数切点位于有效边界内 当无差异曲线与投资组合有效边界的切点 T 在线段 RfN 的 N 点右侧以外时，VaR 约束 线与贷款组合有效边界交点 N 代表的组合为最优的贷款投资组合。如图 5 所示。 pER Rf -VaR VaR 约束线 L N pσ 图 5 效用函数切点位于有效边界外 1.5 投资组合优化原理 在未考虑商业银行对债券运用时的投资组合有效边界曲线 OGB 的基础上，与无风险资 产进行再组合，形成的最优投资组合集合为初步修正后的商业银行投资有效边界 RfG（如图 1 所示）；考虑到商业银行的风险承受能力和监管要求，在 VaR 约束下进一步缩小有效投 资组合的范围，从而得到最终修正后的有效边界 RfN（如图 2 所示）；在效用函数的作用下， 根据切点的不同情况进一步确定了具体的商业银行投资比例，如图 4~图 5 所示。投资组合 优化原理如图 6 所示。 - 5 -
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 、 无风险资产 组合 Rf 未考虑商业银行对 债券投资时的投资 组合有效边界 OGB (I)考虑进行债券运用行为 的投资组合有效边界 考虑到商业银行可以进行无 风险投资、融资的实际情况 VaR 约束 效用函数 初步修正后的 投资组合有效 边界 RfG 最终修正后的投资 组合有效边界 RfN 切点 T 是否在 VaR 控制范围内 Y N N 点代表的投资 组合相对最优 T 点代表的投资组合为最优 (II) 对 初 步 确 定 的 有 效 边 界 RfG，利用 VaR 进行约束 (III)以效用最大化的目标函数 选择有效边界上的投资组合 (IV)根据切点 T 的位置确定最优投资组合 满足资金利用效率的同时， 考虑银行的风险承受能力 使得投资决策满足不同 投资者的风险偏好 最终确定出综合考虑现有对债券的运用情况、风险 和效用的最优投资组合 155 图 6 资产组合优化原理 1.6 基于 VaR 约束和效用最大化的商业银行投资组合优化特色 （1）考虑现代商业银行对债券发行和投资的运用情况，初步修正了商业银行投资组合 的有效边界，为射线 RfG。 （2）为与商业银行的监管相适应，本文同时引用了风险价值在收益-标准差坐标面内的 160 表达方式对商业银行投资组合的有效边界进一步约束，最终修正为线段 RfN。 2 贷款投资组合优化模型 2.1 投资组合有效边界的确定 2.1.1 期望收益率、协方差矩阵的确定 165 某商业银行拥有的 n 家企业 m 年贷款收益率历史数据和 m 年内各种无风险投资的平均 收益率，如表 1 所示， ijr 表示企业 j 第 i 年的收益率，i≤ m，j≤，,i、j 均为正整数； ifr 表 示第 i 年无风险资产的平均收益率。 可根据历史数据确定每个企业贷款（风险投资）收益率的期望值： r ij m ∑ == 1 i m R j （j ≤ n 且为正整数） （5） 无风险资产的期望收益率： 170 R f r if m ∑ == 1 i m （6） 表 1 商业银行贷款、投资项目的历史数据 年 份 第 1 年 第 2 年 第 3 年 … 第 m 年 企业 1 11r 21r 31r … 1mr 企业 2 12r 22r 32r … 2mr … 商业银行投资项目 … 企业 3 13r 23r 33r … 3mr … … … … - 6 - 企业 n nr1 nr2 nr3 … mnr 无风险投资 fr1 fr2 fr3 … mfr
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 由公式（5）、（6）可得组合收益率矩阵： ]f R 贷款收益率的协方差： [ RR 1 2 n RR , , ⋅⋅⋅ = , , （7） ( r ik − m ∑ i = 1 = )( rR k il m σ kl − R l ) （8） 175 其中，i ≤ m 且为正整数，k、l ≤ n 且为正整数； kR 表示企业 k 的期望收益率（ R k m r ik ∑ lR == 1 ）, m i 表示企业 l 的期望收益率。 由于无风险投资收益率的方差为 0，因此无风险投资与各企业贷款投资收益率的协方差 也为 0。则商业银行贷款投资组合的协方差矩阵表示为： σ = 11 σσ ⎡ 12 ⎢ σσ ⎢ 21 22 ... ... ⎢ ⎢ σσ ⎢ m m 1 ⎢ 0 0 ⎣ 2 ... ... ... ... 0 σ n 1 σ n 1 ... σ mn 0 0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ ... ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎦ 180 2.1.2 投资组合有效边界的确定 记商业银行对各企业的贷款投资和无风险投资比例为 X=[ x1,x2,…xn ≥ 0，xf ≥ 0 时表示购买债券，xf<0 时表示发行债券。 ]T ,..., n xx , xx , 1 2 2 pσ 为贷款组合方差， ，其中 f 2 pσ = X Tσ ；贷款组合期望收益率 pER =∑+ X n 1 j 1 = R j × x j = R ×X，记 I=[ ] ( 1,...,1,1 T 。 ) 11 ×+n 风险贷款的投资收益率的方差： 185 σ = 11 σσ ⎡ 12 ⎢ σσ ⎢ 21 22 ⎢ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⎢ σσ ⎣ m m 1 2 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ n σ 1 σ n 2 ⋅⋅⋅ σ mn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 考虑无风险资金时贷款组合的有效边界的求解函数为[10]： 目标函数：min 1 2 σ p 2 = 1 2 XX T σ ⎧ ts .. ⎨ ⎩ × T XR X I = =× p ER 1 (9) 用贷款期望收益率与无风险资产的期望收益率表示贷款风险溢价，记贷款风险溢价矩阵 190 为 R′ ，则： − f , [ R RRR =′ 1 2 故得： （ = ER R − σ p p f ( R T 1 ′ −σ R ) ′ ） 1 2 − R f ,..., R n − R ]f X [ 1= xx , 2 ,..., nx ]T (10) 风险贷款及无风险资金的投资比例为： - 7 -
    195 200 中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn p r − ( ) ER 1 − σ = f ] [ 1,...,1,11 −= X ⎧ ⎪ ⎨ r ⎪⎩ 由公式（9）可以确定出 G 点坐标。同时由公式（10）可看出， pER 是关于 pσ 的一次 (11) RR / σ ′ − X × R T ′ 1 × ′ n 1 f 函数，在 pσ - pER 的坐标轴上表现为一条直线 RfG。 2.2 VaR 约束线的确定 (12) 为纵轴截距的直线 L。 p × − ( ) c VaR φ 1 = − pER 的坐标轴上表现为一条以 VaR− 由公式（4）得： ER σ p 在 pσ - 将 VaR 约束线作用于投资组合有效边界 RfG，得： ⎧ σ ⎪⎪ p ⎨ ( ⎪ = ⎪ ⎩ 解得： ） 1 R R 1 ) ′ ′ − σ 2 ( ) c 1 − × φ σ p （ = VaR ER ER R − − T p p f (13) 205 1 − φ ER p max = ( ) Rc × 1 − φ ( R ( R − + f ( ) c T 1 ′ − σ R T 1 ′ − σ R 1 ) ×′ 2 1 )2 ′ VaR (14) 公式（14）中求得的 pER 是 VaR 约束线 L 与投资组合有效边界 RfG 的交点 N 对应的期 pER ，这意味着在 VaR 约束下，商业银 pER 对应的风险是 VaR 约束下商业银 望收益率，同时也是投资组合期望收益率的上限 pER ，与 行的投资组合期望收益率不可能高于 max max max 行允许承受的最大值。 2.3 效用最大化下的投资比例的确定 210 = ER p A σ×− p 记 u 为效用值；A 为反映银行回避风险程度的系数,则银行的效用函数为[16] u (15) 其中 A 为常数，是一个反映投资者回避风险程度的指数。 由公式（15）可知，效用函数是一簇弯曲程度相同的曲线。运用效用函数为商业银行在 2/2 215 投资有效边界上确定投资比例，联立公式（10）、（15）得： R ER f p − （ = ） 1 2 2 R ( ER (16) ⎧ σ ⎪⎪ p ⎨ ⎪ u ⎪ ⎩ 由（16）可以求出相应的 pER 和投资比例，即各投资资产占商业银行未发行债券前的 pER 时， pER 只能取 VaR 约束内的最大值 资金的比例；当 pER 值超出 VaR 约束的上限 R ) T 1 ′ ′ − σ A ×− σ p 2/ max = p pER max 1 − φ = ( ) Rc × ′ ( R ( R − + f ( ) c 1 − φ T 1 − σ R ′ T 1 − σ R 1 ) ×′ 2 1 )2 ′ VaR ，投资比例取 pER 对应的投资比例。 max - 8 -
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