第10章 多 项 式 ................................................................................................................................. 2
10.1 根 ............................................................................................................................................ 2
10.2 乘法......................................................................................................................................... 3
10.3 加法......................................................................................................................................... 3
10.4 除法......................................................................................................................................... 4
10.5 导数......................................................................................................................................... 4
10.6 估值......................................................................................................................................... 4
10.7 有理多项式 ............................................................................................................................. 5
10.8 M文件举例.............................................................................................................................. 6
10.9 小结......................................................................................................................................... 9
第11章 曲线拟合与插值 ..................................................................................................................... 9
11.1 曲线拟合 ................................................................................................................................. 9
11.2 一维插值 ............................................................................................................................... 12
11.3 二维插值 ............................................................................................................................... 15
11.4 M文件举例............................................................................................................................ 18
11.5 小结....................................................................................................................................... 22
第12章 三次样条 ............................................................................................................................... 22
12.1 基本特征 ............................................................................................................................... 22
12.2 分段多项式 ........................................................................................................................... 23
12.3 积分....................................................................................................................................... 26
12.4 微分....................................................................................................................................... 28
12.5 小结....................................................................................................................................... 30
第13章 数值分析 ............................................................................................................................... 31
13.1 绘图....................................................................................................................................... 31
13.2 极小化 ................................................................................................................................... 33
第22章 符号数学工具 ..................................................................................................................... 202
22.1 引言..................................................................................................................................... 202
22.2 符号表达式 ......................................................................................................................... 202
22.3 符号表达式运算 ................................................................................................................. 205
22.4 微分和积分 ......................................................................................................................... 212
22.5 符号表达式画图 ................................................................................................................. 214
22.6 符号表达式简化和格式化 .................................................................................................. 216
22.7 可变精度算术运算 .............................................................................................................. 219
22.8 方程求解 ............................................................................................................................. 220
22.9 线性代数和矩阵 ................................................................................................................. 225
1
第10章 多 项 式
10.1 根
» p=[1 -12 0 25 116]
p =
1 -12 0 25 116
» r=roots(p)
r =
11.7473
2.7028
-1.2251 + 1.4672i
-1.2251 - 1.4672i
找出多项式的根,即多项式为零的值,可能是许多学科共同的问题,。MATLAB求解这
个问题,并提供其它的多项式操作工具。在MATLAB里,多项式由一个行向量表示,它的
系数是按降序排列。例如,输入多项式x4-12x3+0x2+25x+116
注意,必须包括具有零系数的项。除非特别地辨认,MATLAB无法知道哪一项为零。给
出这种形式,用函数roots找出一个多项式的根。
因为在MATLAB中,无论是一个多项式,还是它的根,都是向量,MATLAB按惯例规
定,多项式是行向量,根是列向量。给出一个多项式的根,也可以构造相应的多项式。在
MATLAB中,命令poly执行这个任务。
因为MATLAB无隙地处理复数,当用根重组多项式时,如果一些根有虚部,由于截断误
差,则poly的结果有一些小的虚部,这是很普通的。消除虚假的虚部,如上所示,只要使用函
数real抽取实部。
» pp=poly(r)
pp =
1.0e+002 *
Columns 1 through 4
0.0100 -0.1200 0.0000 0.2500
Column 5
1.1600 + 0.0000i
» pp=real(pp) %throw away spurious imaginary part
pp =
1.0000 -12.0000 0.0000 25.0000 116.0000
2
10.2 乘法
函数conv支持多项式乘法(执行两个数组的卷积)。考虑两个多项式a(x)=x3+2x2+3x+4和
b(x)= x3+4x2+9x+16的乘积:
结果是c(x)=x6+6x5+20x4+50x3+75x2+84x+64。两个以上的多项式的乘法需要重复使
用conv。
» a=[1 2 3 4] ; b=[1 4 9 16];
» c=conv(a , b)
c =
1 6 20 50 75 84 64
10.3 加法
» d=a+b
d =
2 6 12 20
» e=c+[0 0 0 d]
e =
1 6 20 52 81 96 84
对多项式加法,MATLAB不提供一个直接的函数。如果两个多项式向量大小相同,标准
的数组加法有效。把多项式a(x)与上面给出的b(x)相加。
结果是d(x)= 2x3+6x2+12x+20。当两个多项式阶次不同,低阶的多项式必须用首零填
补,使其与高阶多项式有同样的阶次。考虑上面多项式c和d相加:
结果是e(x)= x6+6x5+20x4+52x3+81x2+96x+84。要求首零而不是尾零,是因为相关的
系数象x幂次一样,必须整齐。
如果需要,可用一个文件编辑器创建一个函数M文件来执行一般的多项式加法。精通
MATLAB工具箱包含下列实现:
if nargin<2
error(' Not enough input arguments ')
end
a=a(:).' ; % make sure inputs are polynomial row vectors
b=b(:).' ;
na=length(a) ; % find lengths of a and b
% MMPADD Polynomial addition.
% MMPADD(A,B) adds the polynomial A and B
% Copyright (c) 1996 by Prentice Hall,Inc.
function p=mmpadd(a,b)
3
nb=length(b) ;
p=[zeros(1,nb-na) a]+[zeros(1,na-nb) b] ; % add zeros as necessary
» f=mmpadd(c,d)
f =
1 6 20 52 81 96 84
现在,为了阐述mmpadd的使用,再考虑前一页的例子。
它与上面的e相同。当然,mmpadd也用于减法。
结果是g(x)= x6+6x5+20x4+48x3+69x2+72x+44。
»g=mmpadd(c , -d)
g =
1 6 20 48 69 72 44
10.4 除法
在一些特殊情况,一个多项式需要除以另一个多项式。在MATLAB中,这由函数deconv
完成。用上面的多项式b和c
这个结果是b被c除,给出商多项式q和余数r,在现在情况下r是零,因为b和q的乘积恰好
是c。
» [q , r]=deconv(c , b)
q =
1 2 3 4
r =
0 0 0 0 0 0 0
10.5 导数
由于一个多项式的导数表示简单,MATLAB为多项式求导提供了函数polyder。
» g
g =
1 6 20 48 69 72 44
» h=polyder(g)
h =
6 30 80 144 138 72
10.6 估值
4
» x=linspace(-1, 3) ; % choose 100 data points between -1and 3.
» p=[1 4 -7 -10] ; % uses polynomial p(x) = x3+4x2-7x-10
» v=polyval(p , x) ;
根据多项式系数的行向量,可对多项式进行加,减,乘,除和求导,也应该能对它们进
行估值。在MATLAB中,这由函数polyval来完成。
计算x值上的p(x),把结果存在v里。然后用函数plot绘出结果。
» plot(x , v),title(' x^3+4x^2-7x-10 '), xlabel(' x ')
图10.1 多项式估值
10.7 有理多项式
在许多应用中,例如富里哀(Fourier),拉普拉斯(Laplace)和Z变换,出现有理多项式或两
个多项式之比。在MATLAB中,有理多项式由它们的分子多项式和分母多项式表示。对有理
多项式进行运算的两个函数是residue和polyder。函数residue执行部分分式展开。
» num=10*[1 2] ; % numerator polynomial
» den=poly([-1; -3; -4]) ; % denominator polynomial
» [res, poles, k]=residue(num, den)
res =
-6.6667
5.0000
1.6667
poles =
-4.0000
-3.0000
5
-10123-20-10010203040x^3+4x^2-7x-10x
-1.0000
k =
[ ]
结果是余数、极点和部分分式展开的常数项。上面的结果说明了该问题:
» roots(d)
ans =
-4.0000
-3.0000
-1.0000
» [n, d]=residue(res, poles, k)
n =
0.0000 10.0000 20.0000
d =
1.0000 8.0000 19.0000 12.0000
这个函数也执行逆运算。
在截断误差内,这与我们开始时的分子和分母多项式一致。residue也能处理重极点的情
况,尽管这里没有考虑。
正如前面所述,函数polyder,对多项式求导。除此之外,如果给出两个输入,则它对有
理多项式求导。
该结果证实:
» [b , a]=polyder(num , den)
b =
-20 -140 -320 -260
a =
1 16 102 328 553 456 144
10.8 M文件举例
本章说明了在精通MATLAB工具箱 中两个函数。这些函数说明了本章所论述的多项式
概念和如何写M文件函数。关于M文件的更多信息,参阅第8章。
在讨论M文件函数的内部结构之前,我们考虑这些函数做些什么。
» n % earlier data
6
102134666674531666710()()()()..sssssssddssssssssssssss{()()()()}1021342014032260161023285534561443265432
n =
0.0000 10.0000 20.0000
» b % earlier data
b =
-20 -140 -320 -260
» mmp2str(b , [ ] , 1)
ans =
-20*(s^3 + 7s^2 + 16s^1 + 13)
» mmp2str(b , ' x ')
ans =
-20x^3 - 140x^2 - 320x^1 - 260
» mmp2str(b) % convert polynomial to string
ans =
-20s^3 - 140s^2 - 320s^1 - 260
» mmpsim(n) % strip away negligible leading term
ans =
10.0000 20.0000
这里函数mmpsim删除在多项式n中近似为零的第一个系数。函数mmp2str把数值多项式变
换成等价形式的字符串表达式。该两个函数的主体是:
if nargin<2, tol=norm(x)*1000*eps; end
x=x(:).' ; % make sure input is a row
i=find(abs(x)<.99&abs(x)
function s=mmp2str(p,v,ff)
% MMP2STR Polynomial Vector to String Conversion.
% MMP2STR(P) converts the polynomial vector P into a string.
% For example: P = [2 3 4] becomes the string ' 2s^2 + 3s + 4 '
%
% MMP2STR(P,V) generates the string using the variable V
% instead of s. MMP2STR([2 3 4],' z ') becomes ' 2z^2 + 3z + 4 '
%
% MMP2STR(P,V,1) factors the polynomial into the product of a
% constant and a monic polynomial.
% MMP2STR([2 3 4],[ ],1) becomes ' 2(s^2 + 1.5s + 2) '
% Copyright (c) 1996 by Prentice-Hall,Inc.
if nargin<3, ff=0; end % factored form is False
if nargin <2, v=' s ' ; end % default variable is ' s '
if isempty(v), v=' s ' ; end % default variable is ' s '
v=v(1) ; % variable must be scalar
p=mmpsim(p) ; % strip insignificant terms
n=length(p) ;
if ff % put in factored form
K=p(1) ; Ka=abs(K) ; p=p/K;
if abs(K-1)<1e-4
pp=[ ]; pe=[ ] ;
elseif abs(K+1)<1e-4
pp=' -(' ; pe= ') ' ;
elseif abs(Ka-round(Ka))<=1e-5*Ka
pp=[sprintf(' %.0f ', K) '*( ' ] ; pe= ') ' ;
else
pp=[sprintf(' %.4g ' , K) '*(' ] ; pe= ') ' ;
end
else % not factored form
K=p(1);
pp=sprintf(' %.4g ' , K) ;
pe=[ ];
end
if n==1 % polynomial is just a constant
s=sprintf(' %.4g ',K);
return
end
s=[pp v ' ^ ' sprintf(' %.0f ',n-1)]; % begin string construction
for i=2:n-1 % catenate center terms in polynomial
if p(i)<0, pm= ' - ' ; else, if p(i)<0,pm= ' ; end
if p(i)= =1,pp=[ ] ; else, pp=sprintf(' %.4g ', abs(p(i))) ; end
if p(i)~ =0,s=[s pm pp v ' ^ ' sprintf(' %.0f ',n-i)] ; end
end
if p(n)~ =0,pp=sprintf(' %.4g ',abs(p(n))); else, pp=[ ]; end
8