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《信号与系统》讲义第一章：绪论 §1.1 信号与系统（《信号与系统》第二版（郑君里）1.1）第一章：绪论 图 1-1 典型通信系统消息（Message）：信源的输出+语义学上的理解。信号（Signal）：Information Vector（Signum），它携带或蕴含或本身即为信息。信息（Information）：消息，内容，情报（见牛津英文词典）。语用层次上的信息：效用信息语义层次上的信息：含义语法层次上的信息：形式（狭义信息——Shannon 信息论）系统（System）：由若干个相互作用的物理对象和物理条件（统称为系统元件）组成的具有特定功能的整体。本课程内容与定位： ☻ 信号的表示（分析）：把信号分解成它的各个组成分量或成份的概念、理论和方法，即用简单表示复杂。 ☻ 信号通过线性时不变系统的分析： ♦ 系统分析：在给定系统的条件下，研究系统对于输入激励信号所产生的输出响应。 ♦ 系统综合：按某种需要规定出系统对于给定激励的响应，并根据此要求设计系统。 ☻ 支撑系统分析、信号处理两类课程 ♦ 四个系统分析层次（1）信号与系统：信号的表示，信号通过系统的响应，系统设计；（2）线性系统理论：系统的状态空间描述与运动分析，可控性、可观性、稳定性、鲁棒性、反馈系统时域设计；（3）高等系统分析：不确定性原理与反演问题；（4）复杂系统分析：现代系统论、非线性理论、人工生命方法。 ♦ 四个系统分析层次（1）数字信号处理（DSP） 1

《信号与系统》讲义第一章：绪论（2）现代信号处理（3）时间序列分析 §1.2 信号分类与典型确定性信号（《信号与系统》第二版（郑君里）1.2，1.4）确定性信号：由确定系统产生、具有确定参数、按确定方式变化的信号。随机信号：具有不可预知的不确定性的信号。非确定性信号模糊信号：（例：高矮，胖瘦，冷热，亮暗，……）。周期信号：f(t) = f(t + nT)，n ∈ Z 非周期信号：f(t)≠ f(t + nT)，∀ n ∈ Z 伪随机信号：具有周期性的随机信号。周期无穷大则为随机信号。按时间和取值的连续性，可组合成四种信号：模拟、阶梯、抽样、数字。连续时间信号：在所讨论的时间区域内任意时间点上都有定义（给出确定但可能不唯一的信号取值）的信号。模拟信号：时间和取值都连续的信号。阶梯信号：时间连续、取值离散的信号。离散时间信号：只在某些不连续的时间点或区间上有定义（给出信号取值）的信号。抽样信号：幅值具有无限精度的离散时间信号。数字信号：幅值具有有限精度的离散时间信号。注意与采样信号定义上的差别！图 1-2 抽样信号举例典型确定性信号： ☻ 指数信号：其中，K、α为实数。 ☻ 正弦信号： f ( ) t = t K eα ⋅ （1-1） f ( ) t = A sin ( ) tω θ + （1-2） 2

《信号与系统》讲义第一章：绪论其中，A 为幅度，ω 为角频率，θ 为初相位。 ☻ 单边衰减正弦信号： =   ( ) t f 0 Ke ， t − α ω t sin ( ( ) 0 < t 0 ≥ t ( ) ) ，（1-3）其中，α >0。 ☻ 复指数信号：其中： s , σ ω= + j t f t ( ) Ke= ) ∈ −∞ +∞ ( , st （1-4）可见： ( ) t f = st Ke = t σ Ke cos ( t ω ) + j t σ Ke sin ( t ω ) ☻ 采样函数： f ( ) t = Sa ( ) t = t sin t （1-5）注意与抽样信号定义上的差别！ - 0.2122 图 1-3 采样信号采样函数的性质（三点、三式）： ♦ 采样函数 ( ) Sa t 为偶函数，在t 的正、负两方向振幅都逐渐衰减，当 t = ± ± , 2 , π π ± , n π 时，信号值为零。 ♦ ♦ ♦ ☻ 高斯函数： ∞ ∫ 0 Sa ( ) t d t π = 2 ∞ −∞ ∫ ∞ −∞ ∫ Sa ( ) dt t π = Sa ( ) dt t = ∞ f ( ) t 2 = ⋅ t   −  E e τ   3 （1-6）（1-7）（1-8）（1-9）

《信号与系统》讲义第一章：绪论图 1-4 高斯函数高斯函数的性质： ♦ 高斯函数比任何一个多项式的倒数衰减都快，即 ( ) t f tα=∑ n i 0 i i 是一个高阶无穷小量，当 t → ∞。 ♦ 定义：比任何多项式的倒数衰减都快的函数称为速降函数。 ♦ 高斯函数是速降函数，是正实函数。 ♦ 高斯函数的傅里叶变换仍为高斯的。奇异函数： ☻ 光滑函数：定义域 Ω 上任意阶导数都存在的函数的集合，记为 ( ☻ 奇异函数：非光滑函数统称为奇异函数。 ☻ 单位斜变函数： C ∞ Ω 。 ) ☻ 单位阶跃函数：或 ( ) R t  =   t , 0, t t ≥ < 0 0 ( ) u t 1,  =  0,  t t > < 0 0 ( ) u t 1,  = 0,   1 2,  t t t > < = 0 0 0 （1-10）（1-11）（1-12）图 1-5 斜升函数图 1-6 单位阶跃函数 ☻ 符号函数： 4

《信号与系统》讲义第一章：绪论或 ☻ 门函数： sgn ( ) t 1,  = − 1,  t 0 > t 0 < sgn ( ) t 1,  = − 1,   0,  t t 0 > t 0 < 0 = （1-13）（1-14） ( ) G t = ( ) u t − ( u t − t )0 , t 0 0 > （1-15）图 1-7 符号函数图 1-8 门函数 §1.3 冲激函数与广义函数（《信号与系统》第二版（郑君里）1.4，2.9）冲激函数的三种常规定义： 1）冲激函数的直观定义，狄拉克（Dirac）定义： +∞  ( ) ∫ t δ   −∞ ( ) t 0, = δ  d t t = ≠ 1 0 （1-16）这不是高等数学所讲的常规意义下的积分，不是黎曼（Riemann）积分，也不是勒贝格（Lebesgue）积分。而是一种自洽定义的特殊积分。图 1-9 冲激函数 2）冲激函数的广义极限定义：冲激函数是面积（强度）为 1，等效宽度趋于 0 的函数的极限。这样的函数可以有多种，以下列出八种： a) 矩形函数逼近 δ ( ) t  1 lim τ→ 0 τ     u t   + τ 2    −  u t   − τ 2       （1-17） 5

《信号与系统》讲义第一章：绪论 b) 金字塔函图 1-10 矩形逼近数逼近 1 ( 1 | lim − τ→ 0 τ    δ ( ) t  t | ) τ   ( u t + ) τ − ( u t ) − τ      （1-18） o τ− τ t 图 1-11 金字塔逼近 c) 负指数函数逼近 δ ( ) t  lim 0 → τ t | | − e τ    1 2 τ    , τ > 0 （1-19）图 1-12 负指数逼近 d) 采样函数逼近 δ ( ) t  lim Sa k →∞ k   π  ( kt )  =   lim k →∞  k  π  ) ( kt sin kt    图 1-13 采样函数逼近 6 （1-20）

《信号与系统》讲义第一章：绪论  δ ( ) t lim k →∞ e) 复指数函数积 1 2 π 1 ( t j 1 2 π f) 高斯函数逼近 lim k →∞    = e 分逼近（与采样函数逼近相同） k ∫ d ξ e e t j ξ t j ξ − k  d ξ    =  ∞ −∞ 1 ∫ 2 π kt sin t π j kt − j kt − e = )    lim k →∞ ，即采样逼近 δ ( ) t  lim 0 τ → 2  π −   t   τ   1  τ   e     g) 采样函数平方 δ ( ) t  h) ？函数逼近逼近  k  π   lim k →∞ ) 2 ( kt sin ) ( 2 kt     = lim k →∞ ) 2 ( sin kt π kt 2       δ ( ) t  lim ( 1 π→∞ n n 2 2 n t + ) （1-21）（1-22）（1-23）（1-24） 3）冲激函数的检验函数（test function）定义： ♦ 检验函数的描述性定义：区间 Ω(a, b)上的光滑函数 ( )tφ 称为检验函数， a b −∞ < < < ∞ 。检验函数的全体记为 ( )ΩD ( )ΩD ♦ 用检验函数定义冲激函数：对于 ( )tφ∀ ∈ ( ) 0 = φ ( ) t φ ( ) t φ ( ) t ( ) t t d ， f f 。，若有 Ω ∫ ( ) tδ 则：称为冲激函数。  f ( ) t （1-25）（1-26）冲激函数的性质： ☻ 取样性质：若 ( ) f t 有界，且在 t = 0 连续，则有： f ☻ 尺度变换性质： ( ) t δ ( ) t = f ( ) 0 δ ( ) t t δ α ( ) = 1 α δ ( ) t ☻ 偶函数性质： ☻ 积分阶跃性质：定义（积分算子）： ( δ ( ) u t t δ− = ) ( ) t t = ∫ −∞ ( )d t tδ （1-27）（1-28）（1-29）（1-30） 7

《信号与系统》讲义第一章：绪论为积分算子，则有 ☻ 阶跃微分性质：定义（微分算子）：为微分算子，则有： 1 p t τ d −∞∫ ( ) u t ( ) tδ= 1 p ( ) t δ = d ( ) u t t d p  d dt ( ) t δ = p ( ) u t ☻ 筛性性质（原点）： δ ( ) t ， ( ) t φ = ∫ Ω δ φ ( ) t ( ) t 其中 ( )tφ 有界，且在 t = 0 处连续。（1-31）（1-32）（1-33）（1-34）（1-35）（1-36） t d = ( ) 0 φ ☻ 筛选性质（任意点）： ( ) t φ ( δ ， − ) t t 0 ☻ 复合冲激函数： = ( δ t ∫ Ω − t 0 ) ( ) t φ t d = ( φ t 0 ) （1-37）若 ( ) f t 是t的单调函数（在t0 ′= f ( ) t ) 的邻域内单调）， ( 1 δ− ( ) t t t 0 证明： ( )tφ∀ ∈ ，考虑 ( ) f x ， ( ) x φ f ( δ )ΩD ( 0 ) ( δ − ) f ( t 0 ) = f 0 ， ( t′ 0 ) ≠ 0 ，则（1-38） ) ( )d x x φ = ∫ Ω ( δ ( ) f x 令： y = ( ) f x y = ，则， ( f x 0 ) = y 0 d = f ′ ( ) x x d 令： Ω a b 取包含，的区间 ∈ 0x ( ) 则：原式= ( ) f a ( ) f b ∫ δ φ y ( ) ( ) x 1 ( ) ′ x f d y ∫ ( ) f a ( ) f b δ Ψ y ( ) ( ) y y d ，：其中 Ψ ( y ) = ( ) x φ 1 ( ) ′ x f = Ψ ( ) 0 = ( x φ 0 ( ′ f x 0 ) ) ( δ= x − x 0 ) ， ( ) x φ ( ′ f x 0 ) 8

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