2019年北京高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2019 年北京高考理科数学真题及答案本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知复数 z=2+i，则 z z  （A） 3 （B） 5 （C）3 （D）5 （2）执行如图所示的程序框图，输出的 s值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （3）已知直线 l的参数方程为 x y    （A） 1 5 （B） 1 3 , t   2 4 t   2 5 （t为参数），则点（1，0）到直线 l的距离是（C） 4 5 （D） 6 5 （4）已知椭圆 2 2 x a  2 y 2 b  （a＞b＞0）的离心率为 1 1 2 ，则（A）a2=2b2 （B）3a2=4b2 （C）a=2b （D）3a=4b （5）若 x，y满足| 1|x   ，且 y≥−1，则 3x+y的最大值为 y

（A）−7 （B）1 （C）5 （D）7 （6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 m2−m1= 1E E ， 2 其中星等为 mk的星的亮度为 Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与 lg 5 2 天狼星的亮度的比值为（A）1010.1 （B）10.1  （7）设点 A，B，C不共线，则“ AB  与 AC （C）lg10.1 （D）10−10.1 的夹角为锐角”是“|   AB AC  | |   BC | ”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C： 2 x  2 y 1 |   | x y 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线 C恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线 C上任意一点到原点的距离都不超过 2 ； ③曲线 C所围成的“心形”区域的面积小于 3．其中，所有正确结论的序号是（A）① （B）② （C）①② （D）①②③ 第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）函数 f（x）=sin22x的最小正周期是__________．（10）设等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a2=−3，S5=−10，则 a5=__________，Sn的最小值为__________．（11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为__________．

（12）已知 l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m； ②m∥； ③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．（13）设函数 f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若 f（x）为奇函数，则 a=________；若 f（x）是 R 上的增函数，则 a的取值范围是___________．（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%． ①当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x的最大值为 __________．三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题 13 分）在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=  ． 1 2 （Ⅰ）求 b，c的值；（Ⅱ）求 sin（B–C）的值．（16）（本小题 14 分）如图，在四棱锥 P–ABCD中，PA⊥平面 ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为 PD的中点，点 F在 PC上，且 PF PC  ． 1 3 （Ⅰ）求证：CD⊥平面 PAD；

（Ⅱ）求二面角 F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）设点 G在 PB上，且 PG PB  ．判断直线 AG是否在平面 AEF内，说明理由． 2 3 （17）（本小题 13 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）（0，1000] （1000，2000] 大于 2000 支付方式仅使用 A 仅使用 B 18 人 10 人 9 人 14 人 3 人 1 人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000 元的人数，求 X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 A 的学生中，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由．（18）（本小题 14 分）已知抛物线 C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线 C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设 O为原点，过抛物线 C的焦点作斜率不为 0 的直线 l交抛物线 C于两点 M，N，直线 y=−1 分别交直线 OM，ON于点 A和点 B．求证：以 AB为直径的圆经过 y轴上的两个定点．（19）（本小题 13 分） 1 4 已知函数 ( ) f x  x 3  2 x  ． x

（Ⅰ）求曲线 y  ( ) f x 的斜率为 1 的切线方程；（Ⅱ）当 [ 2,4] x   时，求证： 6   x ( ) f x  ； x （Ⅲ）设 ( ) F x |  ( ) f x  ( x a  ) | ( a 小时，求 a的值．（20）（本小题 13 分）  R ，记 ( )F x 在区间[ 2,4]  ) 上的最大值为 M（a）．当 M（a）最已知数列{an}，从中选取第 i1 项、第 i2 项、…、第 im项（i1

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）D （2）B （3）D （4）B （5）C （6）A （7）C （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9） π 2 （10）0 10 （11）40 （12）若l m ，l  ，则 m ∥ .（答案不唯一）（13） 1 (  ,0] （14）130 15 三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共 13 分）解：（Ⅰ）由余弦定理 2 b  2 a  2 c  2 ac cos B ，得 2 b  2 3  2 c c  2 3       1 2    . 因为 b c  ， 2 所以 ( c  2 2)  2 3  2 c c  2 3       1 2    . 解得 5 c  . 所以 7b  . （Ⅱ）由 cos B   得 1 2 sin B  3 2 . 由正弦定理得 sin cC  b sin B  5 3 14 . 在 ABC△ 中，∠B是钝角，所以∠C为锐角. 所以 cos C  1 sin  2 C  11 14 . 所以 sin( B C  )  sin cos B C  cos B sin C  4 3 7 . （16）（共14分）

解：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．又因为AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD．（Ⅱ）过A作AD的垂线交BC于点M．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，  1，0），C（2，2，0），D（0，2，0）， P（0，0，2）．因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）．  AE 所以  (0,1,1),  PC  (2,2, 2),   AP  (0,0,2) ．所以  PF   PC  1 3    2 2 , 3 3 ,  2 3    ,    AF AP PF       2 2 4 , 3 3 3 ,    . 设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），则  AE  AF   n   n     0, 0, 即     y 2 3 z   2 3  x 0, y  4 3 z  0. 令z=1，则 y   1, x   ． 1 于是 =( 1, 1,1)   n ．又因为平面PAD的法向量为p=（1，0，0），所以 cos  , n p   n p  n p ‖ | |   3 3 . 由题知，二面角F-AE-P为锐角，所以其余弦值为 3 3 ．（Ⅲ）直线AG在平面AEF内．因为点G在PB上，且 PG PB  2 , 3  PB  (2, 1, 2)   ，

 PG  所以  PB  2 3    4 3 ,  2 3 ,  4 3    ,    AG AP PG       4 3 ,  2 2 , 3 3    . 由（Ⅱ）知，平面AEF的法向量 =( 1, 1,1)   n . n 所以  AG       2 3 所以直线AG在平面AEF内. 4 3 2 3 0 . （17）（共13分）解：（Ⅰ）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人. 故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人. 所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为 40 100  0.4 . （Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2. 记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为 “从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”.  0.4, ( P D )  14 1  25  0.6 . ( P C )  9 3  30 ) 0.24  ，由题设知，事件C，D相互独立，且所以 ( P X  2)  ( P CD P C P D  ) ( ) ( ( P X  1)  ( P CD CD  )  ( P C P D P C P D  ) ( ) ( ) ( ) =0.4×（1−0.6）+（1−0.4）×0.6 =0.52， ( P X  0)  ( P CD P C P D  ) ( ) ( 所以X的分布列为 ) 0.24  . X 0 1 2 P 0.24 0.52 0.24 故X的数学期望E（X）=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1. （Ⅲ）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”. 假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得

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