偏微分方程数值解法（PDF格式）.pdf-资料库

第 11 章偏微分方程和数值方法 7 基础微积分 7 线性代数 8 概率论 9 随机微积分 10 鞅 11 偏微分方程 11 数值方法本章的学习目标了解布莱克-休尔斯方程所属的二阶偏微分方程的类型；了解热传导方程的推导过程和它代表的物理意义；理解偏微分方程所附带的边界条件和初始条件的具体形式和现实意义；熟悉傅里叶变换方法及其主要性质；熟悉用傅里叶积分变换来求热传导方程；掌握通过变量代换来求解布莱克-休尔斯方程；了解求解偏微分方程的主要几种有限差分格式以及各自的优缺点；掌握柯尔莫格罗夫方程的推导过程，并理解扩散过程和数学期望之间的联系；掌握费曼-卡茨定理并了解它同风险中性定价之间的关系；了解产生随机数、随机分布和随机过程的技术方法；掌握使用蒙特卡罗模拟技术计算期权的实际操作方法和两种算法优化技术。完整学习有着数百年知识积淀的偏微分方程理论本身是一项艰巨而耗费时日的工作。幸运的是：在我们所关注的微观金融领域，几乎所有被用到的偏微分方程都只属于其中一个很小的类别——二阶线性偏微分方程。因此这一章的设计思想（用软件行业的术语来说）是完全面向任务的，目标很明确：求解布莱克-休尔斯方程。我们这样安排本章的结构：首先了解一下偏微分方程的数学表达形式，并在直观的热物理背景下，讨论偏微分方程的定解问题。然后使用经典的傅里叶变换（Fourier transform）技术来求出一般热传导方程的解析解，这就使我们可以遵循布莱克-休尔斯（1973）的方法求解布莱克-休尔斯偏微分方程获得期权价格。但是由于获得解析解的机会并不多，因此我

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微观金融学及其数学基础 2 （3）如果对于布莱克-休尔斯方程，因为有： − AC B < 0 4 ，则称之为椭圆型（elliptic）偏微分方程。 A 22/1 σ= S 2 GCB = = 0= 而且 D = rS E = ,1 F −= r 2 B − AC 4 = 0 所以现在可以知道，我们面对的是一个二阶齐次线性抛物型偏微分方程。听上去相当复杂，我们接下来的任务就是一步一步揭开这种方程所蕴涵的实际物理意义，并得到求解它的一般方法。 11.1.2 物理意义一个二阶齐次线性抛物型偏微分方程究竟描述了怎样的一种现象呢？鉴于它最初的来源和最广泛的应用都发生在热物理领域，我们不妨来看一下它的实验背景，这对于我们理解这个方程将提供足够的洞察力。根据日常生活的经验，我们知道当物体内部各处的温度不一致时，热量就会从高温处向低温处传递，这被称为“热传导”现象。现在假定存在一导热物体，它在 3 维空间占据的区域为 G ，边界面为 G∂ ，我们怎样才能知道它其中的某一部分的温度变化情况呢？用温度函数位置的温度，我们来建立该温度函数需要满表示该物体在 t 时刻和 zyx ), ,( tzyxu ,( ), 足的关系式①。 , 设想从物体 G 内任意割取一个由光滑曲面 L 所围成的区域 D （见图 11-1）。根据热量守恒定律， D 内各点的温度由任一时刻 1t 的所吸收（或释放）的热量 Q ，应当等于从 1t 到 2t 时间内通过 L 进入（或流出） D 内的热量 1Q 和 D 内热源提供的热量 2Q 的总和。改变为 2t 时刻的 2tzyxu ,( , 1tzyxu ,( , ) ) , , n G D L 图 11-1 热量在物体内部的传导 ① 以下分析均假定 u 对 x，y，x 具有二阶连续偏导数，对 t 具有一阶连续偏导数。 ·534·

下面我们分别决定这些热量，首先是: （1）D 内温度改变所需要的热量 Q 。假定物体的比热（使单位质量的物体温度改变 1 。那么根据物理中的实验规律，无穷小，密度为摄氏度所需要的热量）为 zyxρ ), zyxc ), ,( ,( 第 11 章偏微分方程和数值方法体积的温度由 1tzyxu ,( , , ) 升高到 V d = zyx ddd 所需要的热量 Qd 为： , ) 2tzyxu , ,( tzyxucQ d , ,([ = ρ , ) 1 − tzyxu , ,( , 2 d)] V （11-2）整个 D 由于温度改变需要的热量是： Q = ∫∫∫ D tzyxuc ,([ , ρ 1 , ) − tzyxu ,( , , 2 d)] V （11-3）根据牛顿-莱布尼兹公式 tzyxu ,( , , ) − tzyxu ,( , 1 , ) 2 = t 2 ∫ t 1 u ∂ t ∂ d t （11-4）前式可以改写为 Q = ∫∫∫ D t 2 ∫ c ρ t 1 u ∂ t ∂ Vt dd = t 2 ∫ t 1     ∫∫∫ D u ∂ c ρ t ∂ tV d d     （11-5）（2）通过 L 进入 D 的热量 1Q 。这里要使用热物理中的傅里叶（Fourier）热传导定律。该定律证明了：在无穷小时间间隔 dt 内通过一个法矢量为 n 的无穷小曲面 dS，流向 n 所指那一侧的热量为： d Q −= zyxk ), ,( u ∂ n ∂ tS dd （11-6） zyx ,( ), zyxk ,( ), 其中是该物体在点处的热传导系数。它恒为正，数值大小取决于组成物体的材料的性质； n 是曲面的外法线，处沿外法线 n 的方向导数。我们规定 n 所指的那一侧为 Sd 的正侧，因此该式表示了在 td 时间内从 Sd 的负侧流向正侧的热量。之所以用负号表示热流的方向与温度梯度方向相反，因为热量总是从温度 u ∂ n ∂ / 是温度函数在 zyx ), ,( 高的一侧流向温度低的一侧。现考虑光滑封闭曲面 L ，设在其上确定了一连续变动的单位外法线 n ，则在两个时刻 1t 和 2t 内，经由该物体内任意封闭曲面 L 进入 D 的热量为： Q 1 −= t 2 ∫ t 1     ∫∫ L uk ∂ n ∂ S d d     t （11-7） ·535·

微观金融学及其数学基础应用奥斯托洛夫斯基-高斯（Ostrowski—Gauss）公式于上式中的曲面积分①，有 Q 1 t 2 = ∫ t 1     ∫∫∫ D ∂ x ∂    uk ∂ x ∂     +  ∂ y ∂ uk ∂ y ∂     +  ∂ z ∂ uk ∂ z ∂        d   V   d   t = 0 （11-8）（3）最后是热源提供的热量 2Q 。物体内部可能存在热源，令物体内的热源密度（即 1 t t 内物体热源所产生 , [ >tzyxF ，则在时间 ,( ), 0 ] , 2 单位时间从单位体积内放出的热量）为的热量为： Q 2 = 根据热量守恒定律应有： t 2 ∫ t 1     ∫∫∫ D VtzyxF d), ,( ,  t d    （11-9） 1 QQQ + = （11-10） 2 把上面 3 种热量代入守恒定律就有： uk ∂ x ∂ u ∂ c ρ t ∂ ∂ x ∂ ∫∫∫ ∫∫∫ V ∫ ∫ = d t 1 t 1 t t 2 t 2     d        D  +  ∂ y ∂ uk ∂ y ∂     +  ∂ z ∂ uk ∂ z ∂        d   V t   d   （11-11）     ∫ D t 2 t 1        VtzyxF d), ,( , t  d    ∫∫∫ D + 即 t 2 ∫ t 1     ∫∫∫ V u ∂ c ρ t ∂    − ∂ x ∂ uk ∂ x ∂     −  ∂ y ∂ uk ∂ y ∂     −  ∂ z ∂ uk ∂ z ∂     −  tzyxF ,( d ), ,    V   d   t = 0 （11-12）由于时间间隔 1 t t 以及区域 D 是任取的，如果上式积分号下的函数是连续的，则在 [ , 任意时刻，该物体内任意点，上式中的三重积分必恒等于 0。所以在我们所考察的空间范围和时间范围内恒有： ] 2 u ∂ c ρ t ∂ = ∂ x ∂ uk ∂ x ∂     +  ∂ y ∂ uk ∂ y ∂     +  ∂ z ∂ uk ∂ z ∂     +  tzyxF ), ,( , （11-13）这就是温度函数应当满足的偏微分方程，物理上称为各向同性介质有热源三维非齐次热传导方程②。如果物体是均质的，则 k ， c 和 ρ均为常数，令则上述方程简化为： a 2 = ρck / ① 该公式又称为散度定理（divergence theorem），见《数学百科辞典》（1984），p689。 ② 分子在介质中的扩散，其浓度 u 就满足该方程，因此有时也称它为扩散方程（diffusion equation），请注意它与我们前面接触到的随机微分方程形式的扩散过程的区别，但是它们之间确实存在密切的联系，后面的分析会揭示这种联系。 ·536·

第 11 章偏微分方程和数值方法 u ∂ t ∂ = 2 a u 2 2 ∂ x ∂    + u 2 2 ∂ y ∂ + u 2 2 ∂ z ∂  +  tzyxf ,( ), , （11-14）其中 f = ρcF / 。在没有热源的情况下，就是说 =tzyxF ,( ), , 0 ，上述方程可以进一步简化为齐次方程： u ∂ t ∂ = 2 a u 2 2 ∂ x ∂    + u 2 2 ∂ y ∂ + u 2 2 ∂ z ∂    （11-15）如果该物体是一长度为 l 的均匀细长杆，则热传导方程最简形式为： u ∂ t ∂ = 2 a u , 2 2 ∂ x ∂ x ∈ l （11-16）在物理上，这个方程定义了热量在一维空间中传导的一种模式：代表了在一根两端绝缘的匀质细长棒中各个点的温度，它随着细棒长度 x 和时间 t 变化而变化。对于这种形式的热传导方程的研究已经有两个世纪了，这是数学成功应用于实际问题的经典范例 txu ),( 之一。大家是不是觉得方程（11-16）式很像布莱克-休尔斯方程，但又似是而非呢？不用怀疑它对于我们的金融问题的重要性，下一节的分析将显示布莱克-休尔斯方程可以通过恒等变换简化为方程（11-16）这种形式，而求解这个最简形式热传导方程就是求解布莱克-休尔斯方程的前提，在接下来的两节中我们就顺序考察这种形式的热传导偏微分方程的定解条件、解的性质和解法。 11.1.3 定解条件在推导方程（11-14）的过程中，我们选取的是物体内部不包含边界的任意局部区域 D 1 t t ，因此该方程反映的是导热物体内部在邻近地点和邻近时刻所取值之 ,[ 和任意时间间隔 ] 2 间的联系，也就是说该方程本身只是热传导过程的一般规律，仅仅依靠它还不能确定某一特定物理过程的具体状况。容易知道形状、大小和导热性质完全相同，且内部具有同样热源的两个物体，如果在 t > 的 t ≥ 时边界 G∂ 某一时刻 0t 的温度分布不相同（即导热物体的历史状况不同），那么它们在以后时刻 0t 温度分布也不相同。而且即使是同一物体，如果所处的环境不同，致使它在 0t 上的热状态不同，那么它内部的温度分布和变化情况也会不同。由此可见，为了可以确定具体的物理状况，就不能只依靠传导方程，还必须另外附加条件。这在物理意义上很明显，只要知道物体在某一时刻 0t 的温度分布和它在 0t t ≥ 时边界 G∂ 上热状态，就可以完全确定该物体在 0t 以后时刻的温度变化情况。描述这些状况的数学条件分别称为初始条件（initial condition）和边界条件（boundary condition），通称为定解条件。 ·537·

微观金融学及其数学基础初始条件给出了 0t 时刻的温度分布，即： ), zyx , ,( 0 ϕ == u t | Gzyx ,( ), ∈ zyxϕ ), ,( 为已知函数。其中边界条件给出边界面 G∂ 上的热状态。至于它的具体形式，物理上有以下三种情况。第一边界条件：直接给出物体在边界 G∂ 上的温度。 tG , tzyx , ,( zyx ), ,( ), ∂∈ ≥ t , u G | =∂ ϕ 0 tzyxϕ ), ,( , 其中第二边界条件：如果已知单位时间内通过 G∂ 上单位面积从物体向外流出的热量，即已为已知函数。知热流强度 tzyxq ,( ), , ，则依据前面的傅里叶定理，有 tzyxq ,( ), , −= zyxk ), ,( u ∂ Gn ∂∂ 这时的边界条件就是 u ∂ n ∂ = G ∂ ϕ tzyx ,( , , t ), ≥ t 0 其中 kq /−=ϕ 为 G∂ 上的已知函数。如果 G∂ 是绝热边界，则 0=q ，上式也就简化为： u ∂ n ∂ G ∂ = ,0 t ≥ t 0 第三边界条件：如果已知物体周围介质温度，则根据另一实验定理-牛顿（Newton）热交换定理，在单位时间内通过物体表面单位面积流向介质的热量 q ，同物体与介质在表面的温差成正比，即 tzyxs ,( ), , 其中 h 是热交换系数，仍然根据傅里叶定律，有： q = uh ( − s ) 即 − uk ∂ n ∂ = q uk ∂ n ∂ −= uh ( − s ) 因此这时的边界条件为： uk ∂ n ∂    + hu    G ∂ = 其中ϕ为 G∂ 上的已知函数。 ·538· ϕ tzyx , ,( , t ), ≥ t 0

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