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2001考研数学三真题及答案.doc
2001考研数三真题及答案
一、填空题
(1) 设生产函数为Q AL K
, 其中Q是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而
A, α, β均为大于零的参数,则当Q =1时K关于L的弹性为
(2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万.若以 tW 表示第t 年
的
工资总额(单位：百万元)，则 tW 满足的差分方程是___
(3) 设矩阵
A
1 1 1
k
1 1
1
k
1
1 1
k
1 1 1
k
,
且秩(A)=3,则k =
(4) 设随机变量X,Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫
不
等式
P X Y
-
6
.
(5) 设总体X服从正态分布
N
2
(0,0.2 ),
X X
而 1
,
,
2
X 是来自总体X的简单随机样本，则随
15
2
X
1
X
2
11
2
X
10
2
X
15
服从___分布，参数为_______
机变量
Y
2
二、选择题
(1) 设函数f (x)的导数在x=a处连续,又
lim
a
x
'( )
f
x
x a
1,
则(
)
(A) x = a 是f (x)的极小值点.
(B) x = a 是f (x)的极大值点.
(C) (a, f(a))是曲线y= f(x)的拐点.
(D) x =a不是f (x)的极值点, (a, f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点.
(2) 设函数
( )
g x
x
0
( )
f u du
,
其中
( )
f x
21 (
x
2
1(
3
x
1),0
x
1
,
则g(x)在区间(0,2) 内
1),1
x
2
(
)
(A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续
a
11
a
21
a
31
a
a
12
a
22
a
32
a
(3) 设
A
41
42
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
P
2
a
13
a
23
a
33
a
43
a
14
a
24
a
34
a
44
,
B
a
14
a
24
a
34
a
44
a
13
a
23
a
33
a
43
a
12
a
22
a
32
a
42
a
11
a
21
a
31
a
41
,
P
1
0 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
,
,
其中A 可逆,则 1B 等于(
)
(A)
1
A PP
1 2
(B)
1
P A P
1
2
(C)
1 2PP A
1
(D)
1
P A P
2
1
.
(4) 设A 是n 阶矩阵，α是n维列向量.若秩
A
T
0
秩 (A) ，则线性方程组(
)
(A) AX =α必有无穷多解
(
)B AX =α 必有惟一解.
(
)C
A
T
0
X
y
0
仅有零解 (
)D
A
T
0
X
y
0
必有非零解.
(5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系
数等于(
)
(A) -1
(B) 0
(C)
1
2
(D) 1
三 、(本题满分5 分)
设u= f(x,y,z)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定:
xye
xy
和
2
e
x
x z
0
t
sin
t
dt
,
求
du
dx
四 、(本题满分6 分)
已知f (x)在(−∞,+∞)内可导,且lim '( )
f x
x
,
lim(
e
x
x c
x c
x
)
lim[ ( )
f x
x
(
f x
1)],
求c的
值.
五 、(本题满分6 分)
求二重积分
D
[1
y
xe
1(
2
2
x
y
2
)
]
dxdy
域
六、(本题满分7 分)
的值,其中D 是由直线y=x, y= −1及x=1围成的平面区
已知抛物线
y
2
px
qx
(其中p<0,q>0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x
轴所围成的平面图形的面积为S.
(1) 问p和q为何值时，S达到最大?
(2)求出此最大值.
七、(本题满分6 分)
设f (x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足
f
(1)
k
1
3
0
1
x
xe
( )
,(
f x dx k
1).
证明：存在ξ∈(0,1), 使得
f
'( )
2(1
1
( ).
)
f
八、(本题满分7 分)
已知 ( )
nf x 满足 '
( )
f x
n
( )
f x
n
x
n
1
e
x
(n为正整数)且 (1)
f
n
i
1
f
n
( )
x
之和.
求函数项级数
,
e
n
九、(本题满分9 分)
1 1
1
a
1 1
a
a
1 ,
1
1 .
2
设矩阵
A
(1) a的值;
已知线性方程组AX =β有解但不唯一,试求:
(2) 正交矩阵Q,使 TQ AQ 为对角矩阵.
十、(本题满分8 分)
设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n， ijA 是
A
a
ij n n
中元素 ija 的代数余子式(i,j
=1,2,…,n)，二次型 1
(
,
f x x
,
x
n
)
2
n
n
i
1
j
1
A
ij
A
x x
i
.
j
(1) 记
A
(
,
x x
1
2
,
把 1
(
,
f x x
),n
x
,
x
n
)
2
n
n
i
1
j
1
A
ij
A
x x
i
.
j
写成矩阵形式，并证明二
次型 (
f X 的矩阵为 1A ;
)
(2) 二次型 (
g X
)
T
X AX
十一、(本题满分8 分)
与 (
f X 的规范形是否相同？说明理由.
)
生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50 千克,标准差为5
千克.若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少
箱,才能保障不超载的概率大于0.977. (Φ(2)=0.977,其中Φ(x) 是标准正态分布函数).
十二、(本题满分8 分)
设随机变量X 和Y 对联和分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布，试
求随机变量U={X−Y} 的概率密度 ( ).
p u
参考答案
一、填空题
(1)【答案】
【使用概念】设
y
f x
在 x 处可导，且
f x ，则函数 y 关于 x 的弹性在 x 处的值为
0
Ey
Ex
x
y
y
x
f x
f
x
【详解】由Q AL K
性为：
，当
1Q 时，即
AL K ，有
1
1
K A L
,
于是 K 关于 L 的弹
1
d A L
dL
L
1
1
A L
1
A L
EK
EL
L K
K
L
1
A L
(2)【答案】
1.2
tW
1
2
【详解】 tW 表示第t年的工资总额，则 1tW 表示第 1t 年的工资总额，再根据每年的工资总
额比上一年增加20％的基础上再追加2百万，所以由差分的定义可得 tW 满足的差分方程是：
W
t
(1 20 )
W
t
1
2 1.2
W
t
2
1
(3)【答案】-3
【详解】
方法1：由初等变换(既可作初等行变换，也可作初等列变换).不改变矩阵的秩，故对 A 进
行初等变换
1 1 1
k
1
1 1
k
1
1 1
k
1 1 1
k
A
1
行
行
分别加到
( 1)
2,3,4
k
1
1
1
k
k
k
k
1
1
0
0
1
0
0
1
k
1
0
0
1
k
3
2,3,4
列分别加到1列
1
0
0
可见只有当k =−3时，r(A)=3.故k =−3.
k
0
0
0
k
1
1
0
0
1
k
1
0
0
1
k
方法2：由题设r(A)=3，故应有四阶矩阵行列式
0A .由
A
1 1 1
k
1
1 1
k
1
1 1
k
1 1 1
k
1
行
( 1)
分别加到
2,3,4
行
k
1
1
1
k
k
k
k
1
1
0
0
1
0
0
1
k
1
0
0
1
k
2,3,4
列分别加到1列
k
3
0
0
0
k
1
1
0
0
1
0
0
1
k
1
0
0
1
k
(
k
3)(
k
3
1)
0,
解得 k =1或k = −3. 当k =1时，
A
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
可知，此时r(A)=1，不符合题意，因此一定有k =−3.
1
行
分别加到 ，，行
( 1)
2 3 4
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(4)【答案】
1
12
【所用概念性质】切比雪夫不等式为：
P X E X
(
)
期望和方差的性质： (
E X Y
)
EX EY
； (
D X Y
)
)
(
D X
2
DX
2cov(
X Y DY
)
,
【详解】 把 X Y 看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差.
故
E X Y
(
)
EX EY
2 2 0
又相关系数的定义：
(
,
X Y
)
cov(
)
,
X Y
DX DY
则
cov(
,
X Y
)
(
X Y DX DY
)
,
( 0.5)
1
4
1
D X Y
(
)
DX
2cov(
所以由切比雪夫不等式：
X Y DY
)
,
1 2 ( 1) 4 3
P X Y E X Y
(
)
6
P X Y
6
(5)【答案】 F ； (10,5)
(
D X Y
2
6
)
3
36
1
12
【所用概念】1. F 分布的定义：
F
X
Y
n
1
n
2
其中
X
~
2
(
n
1
)
Y
~
2
(
n
)
2
2.
2 分 布 的 定 义 ： 若 1,
Z
Z 相 互 独 立 ， 且 都 服 从 标 准 正 态 分 布 (0,1)
N
,
n
， 则
n
i
1
2
Z
i
~
2
( )
n
3. 正态分布标准化的定义：若
Z N u ，则
( ,
~
)
2
【详解】因为
iX
N
2
(0,2 )
i
1,2,
据卡方分布的定义
，将其标准化有
,15
Z u N
~
X
(0,1)
0
2
i
X
i
2
N
(0,1)
，从而根
2
X
1
2
2
X
10
2
2
(10),
2
X
11
2
2
X
15
2
2
(5),
X
1
2
2
2
X
10
2
与
X
11
2
2
2
X
15
2
相互独立.
由样本的独立性可知，
故，根据 F 分布的定义
2
X
1
2
2
X
10
2
Y
X
11
2
2
2
X
15
2
10
5
2
X
1
X
2
11
2
X
10
2
X
15
2
F
(10,5).
故Y 服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的 F 分布.
二、选择题
(1)【答案】 [ B]
【详解】
方法1：由
lim
a
x
1,
知
'( )
f
x
x a
lim '( )
f
x
x
a
lim
a
x
'( )
f
x
x a
x a
lim
a
x
'( )
f
x
x a
lim
a
x
x a
1 0
0
又函数 ( )
f x 的导数在 x a 处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右
极限等于函数在这一点的值，所以 ( ) 0
f a
，于是有
f
f
"( )
a
lim
a
x
'( )
f a
lim
a
x
'( )
f
x
x a
1,
'( )
x
x a
1 0
即 ( ) 0
f a
f a
， ( )
，根据判定极值的第二充分条件：设函数 ( )
f x 在 0x 处
具有二阶导数且
f x
0(
) 0
，
f
x
0(
)
，当
0
f
x
0(
时，函数 ( )
) 0
f x 在 0x 处取得极
大值. 知 x a 是 ( )
f x 的极大值点，因此，正确选项为(B).
方法2：由
lim
a
x
'( )
f
x
x a
1,
及极限保号性定理：如果
f x
lim
x
x
0
，且
A
0A (或
0A )，
那么存在常数 0 ，使得当
0
x
f x (或
f x )，知存在
0
0
时，有
x
0
'( )
f
x
x a
0
x a 的去心邻域，在此去心邻域内
.于是推知，在此去心邻域内当 x a 时
f x
( ) 0
；当 x a 时 ( ) 0.
又由条件知 ( )
f x 在 x a 处连续，由判定极值的第一
f x
充分条件：设函数 ( )
f x 在 0x 处连续，且在 0x 的某去心领域内可导，若
x
x
0
时， ( ) 0
,
x
f x
，而
x
0
x x
0
时， ( ) 0
,
f x
，则 ( )
f x 在 0x 处取
0
得极大值，知 ( )
f a 为 ( )
f x 的极大值. 因此，选 (B).
(
当 0
( )
f x
( )g x
x f u du
1x 时，
(2)【答案】(D)
【详解】应先写出g(x)的表达式.
1
2
1
(
3
1
x 时，
2
( )
g x
( )
f x
当1
0
0
0
x
x
1
0
0
3
1
u
u
( )
f u du
1
2
1 ,
x
2
x
0
1
6
1
6
2
3
1
6
x
3
即
( )
g x
0
x
1
1
x
2
2
1 ,
2
1)
x
，有
1 (
u
2
1)
x
，有
1)
2
du
1
6
3
u
x
0
1
2
u
x
0
31
x
6
1 ,
x
2
( )
f u du
1
6
u
2
1
x
x
1
1
u
3
1
0
x
1
2
2
(
u
1)
du
2
1
( )
f u du
2
3
x
1
1
6
x
1
1
3
(
u
1)
du
因为
lim ( )
g x
1
x
lim
1
x
1
6
3
x
1
2
x
2
3
，
lim ( )
g x
1
x
lim
1
x
2
3
1
6
x
1
2
2
3
，
且
g
(1)
2
3
1
6
1 1
2
，
2
3
所以由函数连续的定义，知 ( )g x 在点 1x 处连续，所以 ( )g x 在区间[0,2] 内连续，选(D).
同样，可以验证(A)、(B)不正确， 0
1x 时，
( )
g x
1
6
3
x
x
1
2
1
2
2
x
1
2
0
，单
调增，所以(B)递减错；同理可以验证当1
x 时，
2
( )
g x
2 1
3 6
x
2
1
1
3
x
1
0
，
单调增，所以
0
g
g x
g
2
，即
0
g x
与选项(A)无界矛盾.
5
6
(3)【答案】 (C)
【详解】由所给矩阵 ,A B 观察，将 A 的 2,3 列互换，再将 A 的1,4 列互换，可得 B . 根据
初等矩阵变换的性质，知将 A 的 2,3 列互换相当于在矩阵 A 的右侧乘以 23E ，将 A 的1,4 列
互换相当于在矩阵 A 的右侧乘以 14E ，即
AE E
23
14
B ，其中 23
E
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
E
， 14
0 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
由题设条件知 1
P E P
2
14
,
，因此
E
23
B AP P
2 1
.
，故 1
由于对初等矩阵 ijE 有， 1
P
E
1
ij
E
ij
1
P P
2
1
,
P
2
.
因此，由
B AP P
2 1
，及逆矩阵的运算规律，有
1
B
AP P
2 1
1
(4)【答案】 (
)D
1
P P A
1
2
1
1
PP A
1 2
1
.
【详解】由题设， A 是n 阶矩阵，是n维列向量，即 T 是一维行向量，可知
1n 阶矩阵. 显然有秩
A
T
0
秩 (
)A
即系数矩阵
1,
n
n
A
T
0
A
T
0
是
非列满秩，由
齐次线性方程组有非零解的充要条件：系数矩阵非列或行满秩，可知齐次线性方程组
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