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2007年辽宁高考文科数学真题及答案.doc
2007 年辽宁高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3
至 4 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
参考公式：
如果事件 A B， 互斥，那么
(
P B
(
P A B
(
)
P A
)
)
如果事件 A B， 相互独立，那么
(
P A B
)
(
(
P A P B
)
)
球的表面积公式
S
2
4π
R
其中 R 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么
4 π
R
3
n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径
( )
P k
n
n k
)
p
C p
(1
V
k
n
k
3
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．若集合 {1 3}
A ， ， {2 3 4}
B ，， ，则 A B
（
）
A．{1}
B．{2}
C．{3}
D．{1 2 3 4}，，，
2．若函数
y
( )
f x
的反函数．．．图象过点 (1 5)， ，则函数
y
( )
f x
的图象必过点（
）
A．(51)，
B．(1 5)，
C．(11)，
D．(5 5)，
3．双曲线
2
x
16
2
y
9
的焦点坐标为（
1
）
A．(
， ， ( 7 0)，
7 0)
B．(0
， ， (0 7)，
7)
C．( 5 0)
， ， (5 0)，
D．(0
5)， ， (0 5)，
4．
A．0
B．
π
6
C．
π
3
D．
π
2
9
，且
，则向量
的夹角为（
）
5．设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 3
S ， 6
S ，则 7
a
36
a
8
a
9
（
）
A．63
B．45
C．36
D．27
6．若 m n， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题．．．是
（
）
A．若 m
，
，则 m
B．若 m ， m ∥ ，则
C．若 ， ⊥ ，则
D．若
m
，
n
，m n∥ ，则 ∥
7．若函数
y
( )
f x
的图象按向量 a 平移后，得到函数
y
(
f x
1) 2
的图象，则向量 a =
（
）
A．(1
2)，
B．(1 2)，
C．(1
2)，
D．( 1 2)
，
8．已知变量 x
y， 满足约束条件
2
x
y
1
x
≥ ，
7
x
y
≤ ，
0
则
≤ ，
0
y
x
的取值范围是（
）
A．
9 6
，
5
B．
9
，
5
6
，
C．
3
， ，
6
D．[3 6]，
9．函数
y
log (
1
2
A．
5
2
，
2
x
5
x
的单调增区间为（
6)
）
B．(3
) ，
C．
5
，
2
D．(
2)
，
10．一个坛子里有编号为 1，2，…，12 的 12 个大小相同的球，其中 1 到 6 号球是红球，其
余的是黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号码是偶数的概率
为（
）
A．
1
22
B．
1
11
C．
11．设 p q， 是两个命题：
p x
:|
3
22
| 3 0
，
D．
2
11
2
:
q x
5
6
x
1
6
0
，则 p 是 q 的（
）
A．充分而不必要条件
C．充分必要条件
12．将数字 1，2，3，4，5，6 拼成一列，记第i 个数为 i(i 1 2
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
a
，， ， ，若 1 1
a ， 3
6)
a ，
3
a ， 1
a
5
5
a
3
，则不同的排列方法种数为（
a
5
）
A．18
B．30
C．36
D．48
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．
13．已知函数
y
( )
f x
为奇函数，若 (3)
f
f
(2) 1
，则 ( 2)
f
f
( 3)
．
14．
(
x
1
x
4
) x
展开式中含 x 的整数次幂的项的系数之和为
（用数字作答）．
15．若一个底面边长为
的体积为
．
6
2
，棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球
上一点 P 到左准线的距离为 10， F 是该椭圆的左焦点，若点 M 满
1
16．设椭圆
OM
足
2
2
x
y
25 16
1 (
OP OF
2
)
，则|
|OM
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 12 分）
某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1000 支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：
小时）进行了统计，统计结果如下表所示：
分组
频数
频率
[500 ，
900)
[900 ，
1100)
[1100 ，
1300)
[1300 ，
1500)
[1500 ，
1700)
[1700 ，
1900)
48
121
208
223
193
165
[1900 ，
)
42
（I）将各组的频率填入表中；
（II）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足 1500 小时的频率；
（III）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管 3 支，若将上述频率作为概率，试求至少
有 2 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率．
18．（本小题满分 12 分）
如图，在直三棱柱
ABC A B C
1 1
1
中，
ACB
90
， AC BC a
， D E， 分别为棱
AB BC， 的中点， M 为棱 1AA 上的点，二面角 M DE A
为30 ．
A B
（I）证明： 1 1
（II）求 MA 的长，并求点C 到平面 MDE 的距离．
C D
；
1
1A
M
A
1B
1C
C
19．（本小题满分 12 分）
已知函数
( )
f x
sin
x
π
6
sin
x
π
6
2cos
2
x
2
（I）求函数 ( )
f x 的值域；
R，
x
D
E
B
（其中
0 ）
（II） 若函 数
y
( )
f x
的 图象 与 直线
y 的 两个 相 邻交 点间 的 距离 为
1
π
2
， 求函 数
y
( )
f x
的单调增区间．
20．（本小题满分 12 分）
已知数列{ }na ，{ }nb 满足 1
a ， 1 1
b ，且
2
n
a
b
n
3
4
1
4
a
n
1
a
n
1
1
4
3
4
b
n
1
1
b
n
1
1
（
n ≥ ）
2
c
（I）令 n
a
n
，求数列{ }nc 的通项公式；
b
n
（II）求数列{ }na 的通项公式及前 n 项和公式 nS ．
x 上，其中 O 为坐标原点，设圆 C 是
2
21．（本小题满分 14 分）
的内接圆（点C 为圆心）
已知正三角形 OAB 的三个顶点都在抛物线 2
y
OAB△
（I）求圆C 的方程；
（II）设圆 M 的方程为
7sin )
作圆C 的两条切线 PE PF， ，切点为 E F， ，求CE CF
4 7cos )
y
(
(
x
2
2
1
，过圆 M 上任意一点 P 分别
， 的最大值和最小值．
22．（本小题满分 12 分）
已知函数
( )
f x
3
x
2
9
x
cos
x
48 cos
18sin
2
， ( )
g x
f x
( )
，且对任意的实数t
均有 (1 cos )
t
g
≥ ， (3 sin )
t
0
g
≤ ．
0
（I）求函数 ( )
f x 的解析式；
（II）若对任意的
m ， ，恒有
[ 26 6]
( )
f x
≥
2
x mx
11
，求 x 的取值范围．
试题答案与评分参考
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如
果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细
则。
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变试题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的
一半；如果后继部分的解答较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本在题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。
（1）C（2）A（3）C（4）D（5）B（6）B（7）C（8）A（9）D（10）D（11）A
（12）B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，共 16 分。
（13）1（14）72（15）4 3 n （16）2
三、解答题
（17）本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查
运用统计的有关知识解决实际问题的能力，满分 12 分.
（Ⅰ）解：
分组
频数
频率
［ 500 ，
900］
［ 900 ，
1100］
［ 1100 ，
1300］
［ 1300 ，
1500］
［ 1500 ，
1700］
［ 1700 ，
1900］
［ 1900 ， +
∞］
48
0.048
121
0.121
208
0.208
223
0.223
193
0.193
165
0.165
42
0.042
……4 分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得 0.048+0.121+0.208+0.223＝0.6，所以灯管使用寿命不是 1500
小时的频率为 0.6.……8 分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：1 只灯管使用寿命不足 1500 小时的概率 P=0.6.根据在 n次独
立重复试验中事件恰好发生 k次的概率公式可得
P
1
)2(
P
3
)3(
C
1
1
6.0
2
4.0
6.0
2
.0
648
。
所以至少有 2 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率是 0.648.……12 分
（18）本小题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识，考查空间想象能力与
思维能力。满分 12 分。
（Ⅰ）证明：连结 CD，
∵三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱。
∴CC1⊥平面 ABC，
∴CD为 C1D在平面 ABC内的射影，
∵△ABC中，AC=BC，D为 AB中点。
∴AB⊥CD，
∴AB⊥C1D，
∵A1B1∥AB，
∴A1B1⊥C1D。
（Ⅱ）解法一：过点 A作 CE的平行线，交 ED的延长线于 F，连结 MF.
∵D、E分别为 AB、BC的中点。
∴DE∥AC。
又∵AF∥CE，CE⊥AC，
∴AF⊥DE。
∵MA⊥平面 ABC，
∴AF为 MF在平面 ABC内的射影。
∴MF⊥DE，
∴∠MFA为二面角 M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。
,
a
2
MFA
30
,
在 Rt△MAF中，AF＝
1
2
BC
∴AM=
3
6
a
.
作 AC⊥MF，垂足为 G。
∵MF⊥DE,AF⊥DE,
∴DE⊥平面 AMF,
∴平面 MDE⊥平面 AMF.
∴AG⊥平面 MDE
在 Rt△GAF中，∠GFA＝30°，AF=
∴AG=
a ,即 A到平面 MDE的距离为
4
∵CA∥DE,∴CA∥平面 MDE,
a ,
2
a 。
4
∴C到平面 MDE的距离与 A到平面 MDE的距离相等，为
a 。
4
解法二：过点 A作 CE的平行线，交 ED的延长线于 F，连结 MF，
∵D、E分别为 AB、CB的中点，
DE∥AC,
又∵AF∥CE,CE⊥AC,
∴AF⊥DE,
∵MA⊥平面 ABC,
∴AF为 MF在平面 ABC内的射影，
∴MF⊥DE,
∴∠MFA为二面角 M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。
在 Rt△MAF中，AF=
1 BC=
2
a
2
,
MFA
30
,
∴AM=
3
6
a
.……8 分
设 C到平面 MDE的距离为 h。
∵
V
M
CDE
V
C
MOC
,
∴
1
3
S
CDE
MA
1
3
S
MDE
h
,
2
a
8
1
2
3
12
S CDE
S MDE
1
2
1
2
CE
DE
,
MA
CE
MF
DE
3
6
AF
30
cos
a
,
3
12
2
a
,
1
3
∴h=
a
2
a
1
3
3
6
2
a
8
a ，即 C到平面 MDE的距离为
4
，
h
a 。……12 分
4
19.本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三
角函数有关知识的能力。满分 12 分。
3
2
sin
x
1
2
cos
x
3
2
sin
x
1
2
cos
x
(cos
x
)1
sin
x
x
1)
……5 分
)(
xf
3(2
2
（Ⅰ）解：
cos
1
2
.1)
6
2
sin(cos
由-1≤
sin(cos
)
6
x
≤1，得-3≤
2
sin(cos
x
6
1)
≤1。
可知函数 )(xf 的值域为［-3,1］.……7 分
（Ⅱ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，
2 ，即得 w=2。
w
得
y
)(xf
的周其为 w，又由 w＞0，
于是有
)(
xf
2
sin(
2
x
6
1)
，再由
2
k
2
2
6
2
k
2
(
k
Z)
，解得
k
6
x
k
3
(
k
Z)
。
所以
y
)(xf
的单调增区间为［
k
6
,
k
3
(
k
Z)
］
（20）本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查基本运算能力，满分 12
分。
（Ⅰ）解：由题设得
a
n
b
n
(
a
n
1
b
n
1
)
(2
n
)2
，即
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