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复杂光学系统的通用光线追迹计算方法.pdf

发布时间：2022-05-30 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.54M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    Ray Tracing Method for the Complex Optical Systems
    Abstract
    复杂光学系统的通用光线追迹计算方法1 http://www.paper.edu.cn 方素平 西安交通大学机械制造系统国家重点实验室，西安 (710049) E-mail：spfang@mail.xjtu.edu.cn 摘 要 ：在对复杂光学系统进行设计和评价时，需要用光学仿真的方法对其进行设计和误差 分析，光学仿真的理论基础是几何光学。本文以复杂光学系统为仿真对象，对光线在由理想 界面构成的均质媒质中传播时的光线追迹算法进行了研究，提出了均质媒质中的 2 个带有安 装误差的任意界面曲面之间的光线追迹的一般方法，和从任意 3 维界面曲面到平面、球面和 圆柱面等若干个典型界面曲面之间的光线追迹方法。再以激光干涉测量机的光学系统为实际 仿真计算模型，对平面测量试验片这个典型的测量对象进行了仿真计算和实验验证，仿真计 算的结果和实验结果非常吻合，验证了所提出的方法的正确性。 关键词：光线追迹 仿真计算 反射 折射 中图分类号：TN247 1．引言 复杂光学系统的设计与评价，一般采用光学仿真的方法来进行。光学仿真的理论基础是 几何光学。当光在两种不同媒质的界面上发生反射和(或)折射时，如果该界面为数学上的理 想曲面，则其反射光和折射光的方向与入射光的方向满足Snell法则，我们称这样的反射光 和折射光为正反射光和正折射光。由于实际光学部件的表面都不是数学上的理想曲面，而是 带有一定的粗糙度的粗糙表面，光在这样的粗糙表面上发生反射和(或)折射时，将会不同程 度地发生散射，而成空间的某种分布（参看图1）。实际反射光和(或)折射光的分布状态因光 学部件表面的微观形状而异，一般需要通过实验的方法来精确确定。 为了对实际的光学系统进行精确的追迹计算，除了正反射光和正折射光外，还需要根据 上述散射光的分布情况，对强度较强的散射光也进行精确的追迹计算，直到将所有强度足够 强的光都算出来为止。对于传播方向已定的任意散射光，其在均质媒质中传播及在界面上发 生反（折）射时，同样遵循Snell法则，因此，正反射光和正折射光的追迹计算方法是实际 复杂光学系统仿真计算的基础。 (a) 粗糙界面上的反射 (a) reflection rays at a rough surface (b) 粗糙界面上的折射 (b) refraction rays at a rough surface 图 1 主要散射光线模型 Fig1 The models of scatting lights 本文中主要对正反射光和正折射光（以下分别简称为反射光和折射光）的追迹计算方法 进行研究，并考虑到实际光学元件在光学系统中一般存在有一定的安装误差这一特点，提出 了其间充满同一种均质媒质的两个带有位置安装误差的任意界面曲面之间的光线追迹的一 1本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金（项目编号：20050698008）的资助。 -1-
    http://www.paper.edu.cn 般方法，从任意一个三维界面曲面到平面、球面和圆柱面等若干个典型界面曲面之间的光线 追迹方法，及由若干段均质媒质构成的光学系统中的光线追迹方法。并以激光干涉测量机的 光学系统为例，导出了测量对象面在某一特定面、如CCD传感器平面上的成像形状的计算 式，编写了相应的计算软件[1-12]。再以平面测量试验片为对象，进行了仿真计算和实测试验， 对所提出的方法的正确性进行了验证。 2．现有光学仿真方法及存在的问题 经典的光线追迹法[1-2]已经解决了光线追迹中的一般性问题，如交点坐标的求解、反射 和折射光的方向的求解、坐标变换等，但其追迹计算的方法并不能说已经完美无缺，如其在 计算交点坐标时采用了逼近计算法，该方法不仅计算速度慢，而且会有一定的计算误差，甚 至会因目标的不同而出现计算不收敛的可能。最近的一些研究主要集中在对经典方法的软件 实现[3]，及针对特定应用对象的计算方法等方面，虽然实现了其目的，但其方法往往不是精 确、快速的计算方法[4]。 另一方面，包括经典追迹方法在内的上述方法都没有涉及到光学元件的安装误差对计算 结果的影响，而对于精密测量用的光学系统来说，这一点是不能忽视的。尽管现有的一些商 用软件可以考虑安装误差对计算结果的影响，也可以进行精确的追迹计算，但至今没有公开 其计算方法，且这些软件不能直接对安装位置复杂、安装误差的计算也很复杂的复杂曲面、 如齿轮齿面等进行仿真计算，也不能直接用直观的干涉条纹仿真图像的形式来描绘仿真计算 的结果，研究与开发适用于复杂光学系统的精确仿真与误差分析方法及光学设计系统仍迫切 需要。 3．任意界面曲面到典型界面曲面的光线追迹方法 3.1 光的反射与折射的空间矢量解析 1n 如图 2 所示，从折射率为 的媒质一侧射向两媒质的界面 Ω 上的一点 P 的光单位方向 矢量为 ，该光在界面上将发生反射和（或）折射，其反射光的单位方向矢量为 b ，折射光 Ω 在 P 点的单位法线矢量为 n 。根据入射和反射定律，矢量 和 的单位方向矢量为 ，界面 c 均在由矢量 和 决定的入射平面 内，且反射角 的大小等于入射角 ，折射角 与 c n b β α' α a a 入射角 的关系满足 α n 1 sin α = n 2 sin 。 Σ β 图 2 光的反射与折射的空间矢量解析 Fig2 The direction of reflected and refracted light 反射光的方向矢量为： -2-
    b −= a 2 折射光的方向矢量为： http://www.paper.edu.cn ) (1) nan ( ⋅ c n = 12 a + η n (2) η −⋅= nc n 12 na =⋅ 1 − n 2 12 (1[ − na ⋅ ]) 2 − n 12 na ⋅ (3) 其中， n = 12 /nn 1 2 为媒质 1 相对于媒质 2 的相对折射率。 3.2 存在安装误差的 2 个界面之间光线追迹方法 一般情况下，光学元件在光学系统中的实际安装位置将偏离其理论位置，即存在安装位 0Ω Ω 0Ω 追迹计算时在界面 处所用的局域坐标系，称为界面 的光学坐标系，坐标系 置误差。图 3 为 2 个均质媒质的界面 和 之间的光线追迹的一般原理。坐标系 为 z'y' Ω 的光学坐标系的原点一致，各坐标轴则与坐标系Oxyz 的对应轴 的原点 的位置与界面 平行。由于安装误差的存在，界面 Ω 的实际中心位于原点 处。界面 上的一点 在坐 Ω ，从 点发出的光的单位方向矢量 为已知。界面曲面 x'O' 'O' 标系 0Ω 0Ω O' 0P a x ) ( , Oxyz zy , 0 0 0 P 处的单位法线矢量 因曲面 Ω 而异。交点 P 在坐标系 b 中的 P 点处的反射光的单位方向矢量 或折射光的单位方向矢量 为待求的对 x'O' z'y' c 在与矢量 的交点 Oxyz 中的坐标为 a zyx ,( ), 和 坐标 象。 0P n 0Ω Ω 上的 点的矢量为 ，曲面 0p 设从坐标系Oxyz 的原点O 指向曲面 上的点 的矢量为 ，从坐标系 x'O' ΔΔΔ=q z Ω 的安装误差矢量为 P y , O' 指向 点的矢量为 ，则由矢量表示式 原点 指向 P 'O' p y' , =p' (x' 0P z' x ) ( ) , , z'y' 的 ，从原点 和界面 Ω 的表示式 p ' = p 0 + a l − i d − q (4) f p ( =' ) 0 (5) 图 3 2 个均质媒质界面之间的光线追迹 Fig3 Principle of ray tracing between two surfaces of the optical elements 可以算出 点与0P P 点之间的距离l 和矢量 ，再由 p' -3-
    += q p' (6) http://www.paper.edu.cn p O p 求出矢量 。这里，d 为原点 和O' 间的距离， 由下式算出。 )(f 表示函数。从 点到 点的距离 可 0P P l l = ( x − x 0 + 2 d ) + ( y − y 0 2 ) + ( z − z 0 2 ) (7) P 点的反射光的单位方向矢量 b 和折射光的单位方向矢量 分别由式(1)和式(2)算出。 c 3.3 从任意曲面到平面的光线追迹 图 4 为从一任意形状的曲面到平面的光线追迹的原理。由于光学元件带有安装误差，平 x 坐标 ，则因 Ω 面是平面，式(5)可写成如 面 Ω 与 x 轴的交点Q 并不与其理论位置 ' 重合。设交点 在 为 ，从 点指向 下平面方程式 P 点的矢量为 O x Δ− ( 坐标系中的 zyx , x'O' =p' z'y' xΔ Q Q ) , 0= 再将式(8)与式(4)联立，可得距离 ⋅ p' n (8) dn ( x l = x − 0 na x x + + − y yn y 0 na + z − zn z 0 z (9) Δx ) na y b 再算出 点的反射光的单位方向矢量 和折射光的单位方向矢量 c 。 P 图 4 从任意曲面到平面的光线追迹 Fig4 Ray tracing from a curved surface to a plane 3.4 从任意曲面到球面的光线追迹 从一任意形状的曲面到球面的光线追迹的原理如图 5 所示。从原点O 到 点的矢量为 0p O P 点的矢量为 。由于安装误差的存在，球面与Oyz 坐标平面平行的平 ，从原点 ' 到 面 的 切 点 的 位 置 并 不 在 其 理 论 位 置 处 ， 设 从 原 点 指 向 Q 点 的 矢 量 为 Q ΔΔΔ=q y z , ，球面 可表示： ，从原点 指向球心 的矢量为 ΔΔ+Δ=c z 0 'O y 0C 'O 'O 0P Ω p x x ) r , ( , , ) ( | 0cp − | r= (10) 式中， r 为球面的半径。 -4-
    由(4)和(10)式可得： l −= B m 2 B − C (11) http://www.paper.edu.cn 式中 B ⎧ ⎨ C ⎩ a ⋅= p | = 0 p ( 0 q −− q −− i d | i i d r − r (2 2 − ) qp −− i d ) ⋅ i (12) 当沿着光前进的方向看去时，界面为凸球面，即图5所示的左侧半球面时，式(11)中取 Fig5 Ray tracing from a curved surface to a spherical 图 5 从任意曲面到球面的光线追迹 surface 负号；反之，为凹球面，即右侧半球面时取正号。进一步可得指向交点 P 的矢量 。 p 球面 Ω 上的 P 点的单位法线矢量 n 为 cpn ( −= 0 ) /|p − c 0 | x ( −Δ−= yrx , z |/) Δ−Δ− zy , cp − 0 | (13) 式中 | − cp 0 | = ( x −Δ− x r ) 2 + ( y y Δ− ) 2 + ( z z Δ− ) 2 (14) 3.5 从任意曲面到柱面的光线追迹 从一任意曲面到圆柱面的光线追迹的原理如图6所示。本研究中，圆柱面界面被安装在 其中心轴与 轴平行的位置。 z -5-
    http://www.paper.edu.cn (a) 光线追迹的原理 (b) 圆柱面在 xy 坐标平面中的投影 (a) The principle of ray tracing (b) cylinder surface projected in xy plane 图 6 从任意曲面到圆柱面的光线追迹 Fig6 Ray tracing from a curved surface to a cylinder surface 'O 由于安装误差的存在，圆柱面与Oyz 坐标平面平行的平面的切线的中点Q 并不在其理 'O ，则从原点 指向通过 ，圆柱面 Ω r , ( 论位置 处。设从原点 ' 指向 点的误差矢量为 P 点的圆柱面横截面的圆弧中心 (参看图6b)的矢量为 可用下式表示,其中 r 为圆柱面的半径。 ΔΔΔ=q z x x , ΔΔ+Δ=c z 0 Q 0C y , ( O y ) ) , | 可得从 点到0P | = 0cp x ( − P 点的距离 −Δ− x r ) 2 + ( y y Δ− ) 2 = r (15) l ( −= B m B 2 − AC /) A (16) 其中 2 x aA ⎧ + ⎪ xaB ( ⎨ ⎪ C ⎩ = = = x x a 2 y −−Δ− dx r ) dx 0 −−Δ− ( 0 r 2 ) + ( + ya y ( ) Δ− y 0 y r y ) 2 Δ− − 0 2 (17) 当沿光的前进方向看去时，界面为图6所示的凸形圆柱面时，式(16)中取负号；反之， 为凹形圆柱面时取正号。圆柱面 Ω 在 P 点的单位法线矢量 为 n n ( = (18) 圆柱面 Ω 上的 P 点处的反射光的单位方向矢量 b 和折射光的单位方向矢量 c 可分别由 −Δ− = y )0, Δ− cp − cp − yr , ( x |/) 0 | 0 x /r 式(1)和式(2)算出。 3.6 光学系统中的光线追迹方法 激光干涉测量机的光学系统中所用的光学元件主要有：光楔、反射镜、直角棱镜、半透 反射镜、球面凸(凹)透镜及柱面透镜等，其界面可以分别归类为：发生折射的平面、发生反 射的平面、发生折射的球面及发生折射的圆柱面等。任何一个复杂的光学系统，都可以看成 是由上述发生反射或折射的平面或球面等一系列界面所构成的，且任意2个界面之间的媒质 可以看成为均质媒质，其折射率因媒质的不同而异。因此，上述2个界面间的光线追迹方法 及其计算式，也适用于从复杂光学系统中抽象出来的任意2个界面之间的追迹，由此可以实 现复杂光学系统中光传播路径的追迹。 -6-
    http://www.paper.edu.cn 但实际光学系统的构造一般都非常复杂，并不将各光学元件排列在一条直线（即光轴） 上，因此，即使按上述方法将光学系统按媒质的界面进行分割，也不能立即完成对整个光学 系统的追迹计算，在进行下一个区域的追迹计算之前，需要进行必要的坐标变换，才能将追 迹计算连续进行下去。 4．实验及结果分析 图7为用于仿真计算及验证试验的的平面试验片，该试验片上部 形平面为测量对象面，该面经磨削加工，表面粗糙度约为 R max = mm 30 μ m 2 × mm 8 的长方 。为了实现测量对 象面的成像形状的追迹，先将试验平面沿长和宽方向进行等间隔分割，得到 17 × 17 个网格 点，再将其置于实际测量系统中，按上述方法对各个网格点进行追迹计算，计算得到的试验 平面的成像形状如图8a所示，各网格点的光程差如图8b所示。由于实用光学系统中设置有一 枚成30°倾斜的反射镜，图8a中的成像形状也成30°倾斜。 图 7 试验片的形状 Fig7 The shape of test piece (a) 试验平面在 CCD 面上的成像形状 (a) Image of test piece in CCD plane (b) 试验平面的物体光的光程差 (b) Differences of optical path length of object beam for test piece 图 8 试验平面追迹计算的结果 Fig8 Result of ray tracing for test piece 由该试验平面的实测干涉条纹图像经图像处理得到的位相差的黑白2值图像如图9所示。 将图9与图8a进行比较可知，两图像的外形基本一致，但实测图像中出现了许多分布基本均 匀且形状基本规则的条纹，这是将测量对象面微微倾斜于其理论安装位置造成的。这样做的 理由是，试验时要将试验片完全没有误差地安装在测量机上是非常困难的，另一方面，考虑 到没有条纹的图像在进行处理时反而不方便，实际测量时常将试验片调整到接近于其理论位 置的适当位置，使其图像中出现如图9所示的那样拥有适当密度的条纹。 -7-
    http://www.paper.edu.cn 图 9 由试验平面的实测图像算出的位相差的 2 值图像 Fig9 Binary image of phase difference by experiment for test 5．总结 本文针对复杂光学系统中的光学元件常带有安装位置误差的特点，提出了在任意 2 个带 有安装位置误差的界面间的光线追迹方法，和从任意空间曲面到平面、球面和圆柱面等典型 piece 曲面之间的光线追迹方法，及复杂光学系统中的连续追迹计算方法，并给出了适用于复杂光 学系统追迹计算的一整套严密计算式。再以实际的激光干涉测量机的光学系统为例，对平面 试验片进行追迹计算，得到了其仿真图像，并将其与实测图像进行了比较，验证了所提出的 追迹计算方法及按此方法研发的软件系统的正确性。 参考文献 [1] FEDER D P, Optical calculations with automatic computing machinery[J]. Journal of the Optical Society of [2] SPENCER G H, MURTY M V R K. General ray-tracing procedure[J]. JOSA, 1962, 52, 6：672-678. [3] KLEIN James E, Demystifying the sequential ray tracing algorithm[J]. Proceeding of SPIE, 2002, 4 769： [4] LIN P D, SUNG C K. Matrix-based paraxial skew ray-tracing in 3D systems with non-coplanar optical axis[J]. America. 1951,41：630-635. 67-74. Optik, 2006, 117：329-340. [5] MATSUI Yoshiya. Design method for lens[M]. Kyouritsu Print Company,1972. [6] NAKAGAWA Jihei. Lens design engineering[M]. Toukai University Publishing Company, 1986. [7] SHIJIUCHI Junpei. Optics Introduction I，II[M]. Asakura Syoten, 1979. [8] FANG Suping, KUBO Aizoh, FUJIO Hiroshige, et al. Phase processing method of interferometry measurement for form deviation of the surface of machine parts[J]. Journal of the Japan Society of Mechanical Engineers, Series C, 1995,61(581)：106-114 [9] FUJIO Hiroshige, KUBO Aizoh, FANG Suping, et al. Measurement of gear tooth form deviation by laser interferometry using CCD image sensor[J]. Journal of the Japan Society of Mechanical Engineers, Series C, 1996,62(598)：336-344. [10] FANG Suping, NAKAI Takuji, KUBO Aizoh, et al. Fringe density reduction of relative phase difference in laser interferometry measurement of gear tooth flank[J]. Journal of the Japan Society of Mechanical Engineers, Series C, 1998,64(620)：305-311. [11] FANG Suping, FUJIO Hiroshige, KUBO Aizoh, et al. New optical system for reduction of interference fringe density in laser interferometric measurement of tooth flank form of gear[J]. Journal of the Japan Society of Mechanical Engineers, Series C, 1999,65(631)：269-275 . [12] FANG Suping. Noncontact measurement of form deviation of the surface of machine parts by laser interferometry[D] . Kyoto：Kyoto University . 1996. -8-
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