2002年上海高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2002 年上海高考理科数学真题及答案一、填空题（本大题满分为 48 分）本大题共有 12 题，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。 1．若 z∈C，且 (3+z)i=1 (i 是虚数单位)，则 z =  的夹角为 120°，且| a |=2，|b  2．已知向量 a 和b 3．方程 log3(1—2·3x)=2x+1 的解 x= 4．若正四棱锥的底面边长为 2 3 cm，体积为 4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 5．在二项式(1+3x)n 和(2x+5)n 的展开式中，各项系数之和分别记为 an、bn，n 是正整数，则  |=5，则（2 a —b ）· a = . . . . lim n  a n 3 a n 2 b  n 4 b  n = . . 6．已知圆 (x+1)2+y2=1 和圆外一点 P (0，2)，过点 P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切是 7．在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件.竞赛委员会决定将裁判由原来的 9 名增至 14 名，但只任取其中 7 名裁判的评分作为有效分.若 14 名裁判中有 2 个受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 .（结果用数值表示） 8．曲线    x y   12 t  2 1 t  （t 为参数）的焦点坐标是 . 9．若 A、B 两点的极坐标为 A（4，  3 ）、B（6，0），则 AB 中点的极坐标是 .（极角用 2（n 是正整数），则数列的通项公式 an= 反三角函数表示） 10．设函数 f (x)=sin2x.若 f (x+t)是偶函数，则 t 的一个可能值是 11．若数列 }{ na 中，a1=3，且 an+1=an 12．已知函数 y=f (x)（定义域为 D，值域为 A）有反函数 y=f -1(x)，则方程 f (x)=0 有解 x=a，且 f (x)＞x（x∈D）的充要条件是 y=f -1(x)满足二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。 13．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（） . . . （A）{z||z|=1,  6 ≤argz≤ 5 6 ,z∈C} ；（B）{z||z|≤1,  6 ≤argz≤ 5 6 ,z∈C} 1 2 1 2 （C）{z||z|=1, Imz≥ ,z∈C} ；（D）{z||z|≤1, Imz≥ ,z∈C} 14．已知直线 l 、m，平面α、β，且 l ⊥α，m  β.给出下列四个命题：（1）若α∥β，则 l ⊥m ；（2）若 l ⊥m，则α∥β；（3）若α⊥β，则 l ⊥m；（4）若 l ∥α，则α⊥β，其中正确命题的个数是（）（A）1 个（D）4 个 15．函数 y=x+sin|x|，x∈[—π，π]的大致图象是（）（B）2 个（C）3 个

16．一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系.如图（1）表示某年 12 个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在 12 个月中每月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（）（A）气温最高时，用电量最多大于某一值时，用电量随气温增高而增加；温降低而增加（C）当气温（D）当气温小于某一值时，用电量随气（B）气温最低时，用电量最少三、解答题（本大题满分 86 分）解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．（本题满分 12 分）如右上图，在直三棱柱 ABO—A/B/O/中，OO/=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°， D 是线段 A/B/的中点，P 是侧棱 BB/上的一点.若 OP⊥BD，求 OP 与底面 AOB 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 18．（本题满分 12 分）已知点 A（— 3 ，0）和 B（ 3 ，0），动点 C 到 A、B 两点的距离之差的绝对值为 2，点 C 的轨迹与直线 y=x—2 交于 D、E 两点.求线段 DE 的长. 19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 8 分。已知函数 f (x)=x2+2x·tanθ—1，x∈[—1， 3 ]，其中θ∈（— （1）当θ= —  6 时，求函数 y=f (x)的最大值与最小值；（2）求θ的取值范围，使 y=f (x)在区间[—1， 3 ]上是单调函数.  2 ，  2 ）.

20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 10 分。某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的 80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围 [200，400） [400，500） [500，700） [700，900） … 获得奖券的金额（元） 30 60 100 130 … 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，购买标价为 400 元的商品，则消费金额为 320 元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110（元）.设购买商品得到的优惠率= 购买商品获得的优惠额商品的标价，试问：（1）购买一件标价为 1000 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在[500，800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于 1 的优惠率？ 3 21．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分。已知函数 f (x)=a·bx 的图象过点 A（4， 1 4 ）和 B（5，1）. （1）求函数 f (x)的解析式；（2）记 an =log2f (n)，n 是正整数，Sn 是数列 }{ na 的前 n 项和，解关于 n 的不等式 anSn≤0；（3）对于（2）中的 an 与 Sn，整数 104 是否为数列{ anSn }中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.

22．（本小题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题满分 6 分。规定 m xC = ，其中 x∈R，m 是正整数，且 0 xC =1，这是组合数 m nC ( xx )1 )1 ( mx    ! m  （n、m 是正整数，且 m≤n）的一种推广. （1）求 5 （2）组合数的两个性质：① m nC = 15C 的值； mn nC  ；② m nC + 1m nC = m nC 1 . 是否都能推广到 m xC （x∈R，m 是正整数）的情况？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；（3）已知组合数 m nC 是正整数，证明：当 x∈Z，m 是正整数时， m xC ∈Z.

2002 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学参考答案（上海卷） 1 2 3 4  4 3 4 4 3 ； 7. 3 13 ；一、1.—3—i; 2.13; 3.—1; 4.30°； 5. ； 6. 8.（0，1）； 9.（ 19 ，arctan ）； 10. 或 … 11. 123 n 12.f -1(0)=a,且 f -1 (x)＜x (x∈A)或 y= f -1 (x)的图象在直线 y=x 的下方，且与 y 轴的交点为(0，a). 二、DBCC 三、17. [解法一] 如图,以O 点为原点建立空间直角坐标系由题意，有 B ),0,0,3( D )4,2, 设 P ),0,3( z ，则 BD 3( 2 3{  2 因为 BD  OP  BD  OP },4,2, OP  },0,3{ z  9 2 4 z  0 9z 8 因为 'BB 平面 AOB POB 是 OP 与底面 AOB 所成的角 tg POB   3 8 [解法二]取 ' BO 中点 E，连结 DE、BE，则 ' OBB 内的射影。 'O ' ' OBB OP  'O DE 平面 BE 是 BD 在平面 BD 又因为由三垂线定理的逆定理，得 OBB 中，易得 Rt 在矩形 9BP 8 ' 'O OB , ' BB BP  ' EB  得 OP  OBP  BE ~  Rt EBB ' （以下同解法一） ∠POB=arctan 3 8 . 18. [解] 设点 C（x,y），则 | CA |  CB | |  2 根据双曲线的定义，可知点 C 的轨迹是双曲线 2 2 x a  2 2 y b  1 由 2 a  2,2 c |  AB ,32|  得 2 a  ,1 b 2  2  POB arctg  3 8 z O’ A’ D B’ P O A y B x O’ A’ E D B’ P O A B

故点 C 的轨迹方程是 2 x 2  y 2  1 ，得 2 x 4  x  6 0  1 2 2 x      2 y 2 y x  0 , ( 1 yxD 1 由设因为，所以直线与双曲线有两个交点。 ) 、 ( , 2 yxE 2 ) ，则 x 1  x 2  ,4 xx 21  6 故 | DE |  ( x 1  x 2 2 )  ( y 1  y 2 2 )  2 ( x 1  2 x 2 )  4 x x 1 2  4 5 19. [解] （1）当   时  6 ( ) f x  2 x  2 3 3 x 1 (   x  3 3 2 )  4 3 , x   [ 1, 3] x  3 3 时， ( ) f x 的值最小为  ； 4 3 当 x = - 1 时， ( ) f x 的值最大为 2 3 3 （2）函数 ( ) f x  ( x  tan )  2 1 tan   2  图像的对称轴为 x   tan  。 ∵ y  ( ) f x 在区间[ 1, 3]  上是单调递增函数， ∴ tan 1   或 tan 3 1 或 tan   3  ，即 tan     ) 2 4 2 %33  3  ) [ , ,  因此，θ的取值范围是 ( 130 1000   2.0  1000 20. [解] （1）（2）设商品的标价为 x 元则 500  x  8.0 x  由已知得（I）或（II） 800     ，消费额： 2.0 60 x  x  400 8.0 x 400 1 3 500   不等式组（I）无解，不等式组（II）的解为 2.0 640     500 625 x  x  100   8.0 x 750  x 1 3 640 1 3 因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时，可得到不小于的优惠率。 21. [解] （1）由 1 4 ba  ba  5 ，得 b  ,4 a  1 1024 故 )( xf  1 1024 x 4 （2）由题意 a n  log 2  n )4  2 n  10 4 1, 1( 1024

1  an ( 2 (2 nn  S n  Sa n n a n )  ( nn  )9  )(5 n  )9 由 nSa 0n 得 ( n  )(5 n  )9  0 ，即 5  n 9 故 9,8,7,6,5n （3） Sa 11 64 ， Sa 2 2 84 ， Sa 3 3 72 ， Sa 4 4 40 当 5  n 时， 9 nSa 0n 当 10n 时， Sa n n  Sa 10 10  100 因此，96 不是数列 22. [解] （1） C 3 15 } { nSa n )(15  ( 中的项。  )17 )(16  !3  680 （2）性质①不能推广。例如取 x= 2； 1 2C 有意义，但 2 1 2C  无意义；性质②能推， x R ，m 是正整数，事实上，当 m = 1 时，有 C 广，它的推广形式是 1 1 C C    x C m x  x 1  1  m x 当 m x  C m x 1 C  m 1 x  C m x  C m x 1   ( x x  1)( x  ( x m   1)  2) m  ! 2m  ( 1)( x x  x 时 2) x m   ( 2)   1)! ( m  ， ( x x  = 1)( x 2) x m   2) (   1)! ( m  x m   m （3）当 x m 时，组合数 m xC ∈Z 。当 0 1)   1 ( ( x x 1)   ( x m   ! m 2)( x  1)  C m 1 x    时， m x m xC = 0∈Z 。当 0 x m    x  时，  1) ( ( x x x m     m x ! m 1) 1 0,   C   m ( 1) ( x m       1) x ( ! m 1)(  x )   m ( 1) C m  1 x m    Z

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