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实用河网水流计算.pdf

发布时间：2022-06-13 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.96M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    实用河网水流计算 王船海 李光炽 河海大学水资源水文系 2003 年 9 月
    目 录 第一章 绪论.............................................................................................................................. 4 第一节 洪水波的分类及其特性 ......................................................................................... 4 第二节 常用简化方法简介 ................................................................................................. 8 第二章 基本方程.................................................................................................................... 12 第一节 方程推导的基本条件 ........................................................................................... 12 第二节 基本方程的推导 ................................................................................................... 13 第三节 方程的其它形式及问题讨论 ............................................................................... 18 第四节 定解条件及定解问题 ........................................................................................... 22 第三章 有限差分的基本理论................................................................................................ 27 第一节 基本概念 ............................................................................................................... 27 第二节 偏导数的差商近似 ............................................................................................... 28 第三节 差分方程 ............................................................................................................... 34 第四节 截断误差和相容性 ............................................................................................... 38 第五节 收敛性 ................................................................................................................... 40 第六节 稳定性 ................................................................................................................... 44 第七节 LAX 等价定理 ...................................................................................................... 56 第八节 差分方程数值效应 ............................................................................................... 57 第四章 河道水流计算............................................................................................................ 68 第一节 蛙跳格式 ............................................................................................................... 68 第二节 LAX-WENDROFF 格式.......................................................................................... 71 第三节 ABBOTT 隐式格式................................................................................................ 78 第四节 PREISSMANN 隐式格式......................................................................................... 81 第五节 内边界的处理 ....................................................................................................... 87 第五章 河网水流计算............................................................................................................ 96 第一节 河网的基本概念 ................................................................................................... 96 第二节 树状河网水流计算 ............................................................................................... 97
    第三节 环状河网水流计算 ............................................................................................. 104 第四节 最优编码解法 ..................................................................................................... 112 第五节 矩阵标识法 ......................................................................................................... 117
    第一章 绪论 河道水流运动严格地讲，其水力要素是时空均变化的水流运动，即三维非恒定的问 题。由于三维非恒定的问题在数学求解及其基本方程的理论假设上还有诸多问题，在实 际计算中常常将问题简化为二维、一维非恒定问题进行求解。对河道水流运动通常主要 研究各断面流量(或流速)，断面平均水位(不考虑横比降)随时间、断面位置的变化规律， 而描述河道一维非恒定水流运动的基本方程最早是法国科学家 B. Saint Venant 于 1871 年提出的，即人们熟知的圣维南方程组。它是属于一阶双曲线型拟线性偏微分方程组， 在数学上目前无法求得其解析解。在计算机还没有问世之前，人们不得不将圣维南方程 组简化后再求解。如瞬态法、马斯京干法，特征河长法以及现在运用较广的扩散波法等 简化方法。由于这些简化方法是忽略圣维南方程组中的某些项，因而其适用范围也就受 到限制，不是一种普遍适用的方法。随着高速度、大容量计算机的问世及计算技术的发 展，使得直接用数值方法求解圣维南方程组成为可能，并得到飞速发展和广泛的应用， 研究的问题也由一维问题发展到二维甚至三维。 第一节 洪水波的分类及其特性 对于洪水波的分类，从不同的角度出发，有不同的分类方法。下面我们主要从动量 方程的量级大小进行分类。 描述河道一维水流运动的圣维南方程组如下： ⎧⎪ ∂ Z ⎪ B ⎪⎪ ∂ t ⎪⎨⎪∂ Q ⎪⎪ ⎪ ∂ ⎪⎩ t + + ∂ Q ∂ x = 0 ∂ ∂ x Qu ( ) + gA ∂ h ∂ x (1-1)(1-2) − gAS + gAS f 0 = 0 这是不考虑具有旁侧入流及动量校正系数 α = 情况下的一般圣维南方程组，式 1.0 中：Q－流量，Z-水位，A－断面面积，h－水深，S0－河底比降，Sf－摩阻比降，u－断 面平均流速。 一、运动波
    对于河底比降较大的河道， ∂ Q ∂ t 、 ∂ ∂ x ( )Qu 和 ∂ h gA ∂ x 这三项与比 0 gAS 较起来可以忽 略不计，则动量方程(1-2)可简化为： S 0 或者可以写成： S− = (1-3) 0 f u = c RS (谢才公式) 0 u = 2/3 R n S 0 (曼宁公式) Q K S (流量模公式) = 0 联立式(1-1)、(1-3)消去 h 可得如下方程： 类似地消去 Q 可得： ∂ Q ∂ t + ω ∂ Q ∂ x ∂ h ∂ t + ω ∂ h ∂ x = 0 (1-4) = 0 (1-5) 式中： = ω δ Q δ A = δ uA ( ) δ A = η u ，ω 称为波速， = +1 η δ A u δ u A 称为波速系数，由于一 般情况下流速随水深增加而增加，所以 δ u δ A ≥ ，因此 1 η ≥ ，这就是说，在一般情况下， 0 波速总是大于断面平均流速 u。由方程(1-4)的分析可以知道，如果 ω 为常数，那么方程 (1-4)、(1-5)为线性的，每一流量 Q 或水深 h 以相同的速度 ω 向下游传播，因此在传播 过程中不会变形。如果 ω 是流量(或水深)的函数，那么在洪水波向下游传播的过程中会 变形，波前变得越来越陡，波后变得越趋平坦。当波前变成垂直时，形成了运动激波。 在没有形成激波前，波形虽发生变形，但波峰仍保持不变，没有耗散现象。由于水位流 量之间呈单一关系，所以当断面最大流量时，同时也是最高水位时刻，表示该断面的最 大流量也是该时刻沿程的最大流量。所以对运动波而言，断面最大流量、断面最高水位、
    沿程最大流量和沿程最大水深重合在同一个断面上，同时出现。综上所述，运动波有以 下三个重要特征： (1)它只有一族向下游的特征线，所以下游的任何扰动不可能上溯影响到上游断面的 水流情况。 (2)不论波形传播过程中是否变形，但其波峰保特不变，没有耗散现象。 (3)当波形发生变化时，不可避免地会发生激波。 二、惯性波 与上面情况截然相反，如果动量方程(1-2)中摩阻项与惯性项比较起来可以忽略不 计，例如水电站突然卸负引起动力渠道中水位的波动；船闸启闭引起下游引航道内水位 的波动；深水水库中的水流波动等，由于摩阻损失相对较小，故可近似地当作惯性波。 忽略摩阻项后，并假定底坡是水平的、棱柱形河道，则动量方程式变成 ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + g ∂ h ∂ x = 0 (1-6) 方程(1-6)与连续方程(1-1)联立，仍属拟线性双曲线型偏微分方程，有二根实特征线： 顺特征线 逆特征线 dx dt dx dt = + u c 顺特征方程 = − u c 逆特征方程 ) ) d u E ( + dt d u E ( − dt = 0 (1-7)(1-8) = 0 (1-9)(1-10) 式中 = c gA B h ， = ∫0 E gb a d ξ ，b、a 为河底以上高度ξ处的断面宽和面积。 这就是说，观测者若按 u＋c 的速度沿着波动方向运动，那么他所观测到的现象是 u E + = const 。由于惯性波是不计摩阻损失，所以波动在传播过程中只有能量的转换， 而没有能量损失。由式(1-8)可见，为了保持 u、E 二者之和不变，故当 u 变小时，E(它 反映水深)变大；当 u 变大时，E 变小，因此流速和水深之间是互相转化，形成周期性 的振荡波，湖泊中的谐振波属于此种情况。
    三、扩散波 动量方程(1-2)中忽略惯性项后变成： ∂ h ∂ x − + = S 0 S f 0 (1-11) 或 Q K S = 1 − 0 1 S 0 ∂ h ∂ x = Q 0 1 − 1 S 0 ∂ h ∂ x (1-12) 式中：Q0 为恒定状态下的流量。由于涨洪时 落洪时 ∂ h ∂ x ∂ h ∂ x < 0 故 Q Q> 0 > 0 故 Q Q< 0 这就是说式(1-12)所表示的水位流量关系不是单值线，而是一条逆时钟的绳套曲线， 如图 1-1 所示，绳套大小显然取决于附加比降 ∂ h ∂ x 与河底比降 S0 之比值。 应用曼宁公式(或其它阻力公式)代入(1-12)式，并与连续方程式(1-1)联立消去变量 h 得关于流量 Q 的方程： ∂ Q ∂ t + ω ∂ Q ∂ x = μ ∂ ∂ 2 Q 2 x (1-13)
    类似地消去变量 Q，得到关于变量 h 的一元偏微分方程： ∂ h ∂ t + ω ∂ h ∂ x = μ ∂ 2 h ∂ 2 x (1-14) 式(1-13)及(1-14)称为对流扩散方程，它与对流方程(1-4)不同之点在于右边多了扩 散项 μ ∂ ∂ 2 Q 2 x 。由于扩散项的存在所以洪水波的波峰会逐渐坦化，故从图 1-1 的绳套形水 位流量关系曲线可以清楚地看到，同一断面流量先达到最大值，而后水位才达到最大值。 四、动力波 当水位或流量在短期内的大幅度变化时，例如感潮河道中的水流运动或天然河道及 人工渠道中，因人为控制闸门的启闭而引起的水流波动。在这种情况下，动量方程式(1-2) 中的各项均不能忽略，这样一种波动称为动力波，动力波是所有波动中最复杂的，它只 能用完全的圣维南方程组来描述，因此动力波可以作为一种普遍适用的波动现象，而运 动波、惯性波和扩散波只不过是动力波的特殊情况。 第二节 常用简化方法简介 简化方法的要点是连续方程式严格满足，并写成差分形式： V 2 + Δ t 2 Q 2 = Δ t 2 I ( 2 + − ) I 1 Δ t 2 Q V (1-15) + 1 1 式中：I、Q 和 V 分别表示入流、出流和河槽蓄量，脚标 1 表示时段初，脚标 2 表 示时段末， tΔ 表示计算时段。动力方程则用河槽蓄量 V 与出流量 Q 及入流量之间的某 种近似关系来代替，由于采用不同的近似关系，形成了各种各样的简化计算方法，现轭 要介绍如下： 一、水库调洪演算 假定水库蓄水量与出流量之间存在一定的函数关系，即 V f Q= ( ) ，代入(1-15)式， 得：
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