2020 年广西民族大学高等代数考研真题 A 卷
考生须知
1.答案须写在答题纸密封线内,写在试题卷、草稿纸等均视为无效。
2.答题时一律使用蓝或黑色钢笔、签字笔书写。
3.交卷时,请本人将答题纸放入试题袋内,密封后在封条与试卷袋骑缝处亲笔签名。
一、(15 分)
已知多项式 f ( x ) x 4 x 3 2 x 2 x 1, g ( x ) x 3 2 x 2 2 x 1,求它
们的最大公因式
( f ( x ), g ( x)) ,并求它们的公共根。
二、(15 分)
设 a1a2 an 0 ,计算下列行列式的值,并给出 D 0 的条件
D
1+a1
2
1
1
1
2 a2
2
2
3
3
3 a3
n
n
n
.
3
n an
三、(15 分)
x1 x2 x3 1
已知线性方程组
2 x1 3 x2 kx3 3 ,试讨论 k 取何值时,方程组无解、有唯
和有无穷多组解。当有解时,写出其解表示式。
一解
x1 kx2 3 x3 2
四、(15 分)
已知 3 维线性空间 V 有两组基:
(I)
{1,2 ,3};
(II)
{3, 22 , 31}
(1)求基 (I) 到基 (II) 的过渡矩阵;
(2)若向量 在基 (I) 下的坐标为 (1, 2, 3)T ,求 在基 (II) 下的坐标。
五、(15 分)
设 A 是一个 3 阶方阵,且满足下列等式
0
A
1
1
2
1 1
1 0
1 0
1
0
0 3
0 3
0 3
六、(15 分)
求矩阵 A ,并求 A 的全部特征值。
设 1 , 2 , 3 是 n 阶矩阵 A 的 3 个互不相同的特征值,1 , 2 , 3 分别是 A
属于 1 , 2 , 3
的特征向量,证明:1 2 3 不是 A 的特征向量.
七、(20 分)
设 A 是一个 n 阶实对称矩阵,且 A 0,证明:必存在 n 维向量 x ( x , x ,
12
, x )T
0
n
使得 f ( x ) xT Ax 0.
八、(20 分)
已知 1 , 2 ,3 是欧氏空间 V 的一组标准正交基,设
1 1 2 3 , 2 1 2 3 , W span{1 , 2},
(1)
证明
1 2 ,
和
1 3
分别是 W 和 W 的标准正交基;
1 2
2
22 2
(2) 求 2 23 在 W 中的内射影 ,即求 W ,使 , W.
九、(20 分)
设 A 是 n 维欧氏空间 V 的线性变换, A2 I (单位变换),令
V1 x x V , Ax x, V2 x x V , Ax x,
证明:V V1 V2