2009年湖南高考理科数学试题及答案.doc-资料库

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2009 年湖南高考理科数学试题及答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 log 1．若 2 0a  ， A． 1a  , C. 0 b  1a  , ) 1( 2 0 b    2．对于非零向量 , ,a b “ 0b   b ”的【 A 】 b  ，则【 D 】 1 0b  1a  , B． 1a  , D. 0  0 ”是“ / /a  0  a b   A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．将函数 sin  y x 的图象向左．．平移 (0 2 )      个单位后，得到函数 sin(  y x  的  ) 6 图象，则等于【 D 】 A．  6 B． 5  6 C. 7  6 D. 11  6 4．如图 1，当参数 ,   2 1 时，连续函数 y  x  1 x ( x  0) 的图像分别对应曲线 1C 和 2C , 则【 B 】 A ． 0   2   1 B ． 0   1   2 C ． 1   2  0 D ． 2   1  0 5．从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【 C 】 y o c 2 c 1 x 图1 A． 85 B． 56 C ．49 D ．28 6．已知 D 是由不等式组 x     x  2 3 y y   0, 0 长为【 B 】所确定的平面区域，则圆 2 x 2 y  在区域 D 内的弧 4 A．  4 7．正方体 B．  2 的棱上到异面直线 AB，C 1C 的距离相等的点的个数为【 C 】 3  2 3  4 D． C． ABCD A B C D 1 1 1  1

A．2 B．3 C． 4 D．5 8．设函数 y  ( ) f x 在 (   内有定义.对于给定的正数 K，定义函 ) , 数 f K ( ) x     ( ), f x , K ( ) f x ( ) f x   K K , . 取函数 ( ) f x  2   。若对任意的 x e x x    ，恒有 ( ) x  ( ) f x ，则【 D 】 ( ) , Kf D 1 D A 1 A C 1 C B 1 B A．K 的最大值为 2 C．K 的最大值为 1 B．K 的最小值为 2 D．K 的最小值为 1 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上 9．某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱兵乓球运动，8 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ 12_ _. 10．在 (1  3 x ) (1   3 x ) (1   3 x 11．若 (0,  x  ) 2 ，则 2 tan x  tan( 3 )  2 的展开式中， x 的系数为__7__(用数字作答).  的最小值为 x ) 2 2 . 12．已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为 60 ，则双曲线 C 的离心率为 6 2 13．一个总体分为 A，B 两层，其个体数之比为 4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本.已知 B 层中甲、乙都被抽到的概率为 1 28 ，则总体中的个体数为 40 。 14．在半径为 13 的球面上有 A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面 ABC 的距离为 12 ；（2）过Ａ，B 两点的大圆面与平面 ABC 所成二面角（锐角）的正切值为 3 . 15．将正 ABC 分割成 2 ( n n  2, n N  * ) 个全等的小正三角形（图 2，图 3 分别给出了 n=2,3 的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于 3 时）都分别依次成等差数列.若顶点 A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为 ( ) 10 3 ，… ， ( ) f n  f f n ，则有 (2) 1 ( 6 1)( 2)   n n  ， (3) 2 f  .

A A 图2 B C B 图3 C 三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分 12 分）在 ABC 中，已知   AB AC  2    AB AC   BC 2  3 3 ，求角 A，B，C 的大小解：设 BC a AC b AB c    , ,   AB AC   由 2   AB AC  3 得 2 bc cos A  3 bc ，所以 cos A  3 2 . 又 A ),  (0, 因此 A   AB AC  3  3 由   6  BC 2 得 bc  23 a ，于是 sin C  sin B  3 sin 2 A  3 4 . 所以 sin C  sin( 5  6  C )  3 4 ， sin C  1 ( cos 2 C  3 2 sin ) C  3 4 ，  ，既sin(2 0 C   3 ) 0  . 因此 2sin C  2 C  3,sin 2 C 0  C cos 2 3 sin 5  6  或 2 C C   ，所以   3  2 C  知由 A  6 从而 2 C  故 A   6 ,  3 B  0, 2  3    ， 3 cos 2 C 4   3 3 2 ,   , C 6 3 2    。 3 6 C  , ,   ，既 C  或  3  , 6 , C  或 A   6 , B  17．（本小题满分 12 分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的从中任选一个项目参与建设。（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； 1 2 ， 1 3 ， 1 6 .现在 3 名工人独立地

（II）记为 3 人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。解: 记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 A B C i=1，2，3.由题意知 1 i A A A 相互独立， 1 B B B 相互独立， 1 C C C 相 2 3 2 3 2 3 i i , , , , , , , , , 互独立， , A B C （ i ， j ， k=1 ， 2 ， 3 ，且 i ， j ， k 互不相同）相互独立，且 i , k j ( P A i )  1 2 , ( P B i )  1 3 , ( P C ) i  1 6 . （Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P= 1 6 （Ⅱ）解法 1：设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为， 6 ( ( P A P B P C 3 1 1 1 2 3 6      ( P A B C 3! 6  ) ) ( ) ) 1 2 3 1 2 . 由已知，  B（3， 1 3 ），且=3-。所以 P（=0）=P（=3）= 3 C 3 21( ) P（=1）=P（=2）= 2 3C 3 3C 1( ) 3 P（=2）=P（=1）= 1 P（=3）=P（=0）= 0 3C 故的分布列是 = ， 1 27 ) = ， 3 1( ) 3 2( 3 22( ) 3 32( ) 3 = 2 9 ， . = 4 9 8 27  P 的数学期望 E= 0  0 1 27 1 27 + 21  + 9 1 2 9 42  + 9 3  8 27 =2. 2 4 9 3 8 27 解法 2: 记第 i 名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件 iD ，i=1,2,3 . 2 3 A C ）= P（ iA ）+P（ iC ）= 由已知， 1 1 2 1 6 + = 3 i ， 2 , , D D D 相互独立，且 P（ iD ）=（ i 2(3, 3 故的分布列是 1 k ) ( ) 3 所以 (  2 3 ,即 C B P   k k 3 ) ) ( 3  k ， 0,1,2,3. k   0 1 2 3

P 1 27 2 9 4 9 18．（本小题满分 12 分）如图 4，在正三棱柱 ABC A B C 1 1 1  中， AB  2 AA 1 ，点 D 是 1 1A B 的中点，点 E 在 1 1AC 上，且 DE AE 8 27 D E A 1 （I）证明：平面 ADE  平面 ACC A ； 1 1 A （II）求直线 AD 和平面 ABC 所成角的正弦值。解：（I）如图所示，由正三棱柱 ABC A B C 1 1 1  的性质知 1AA  平面 1 1 A B C . 1 B 1 B 又 DE  平面 1 1 A B C ，所以 DE  1 1AA .而 DE  AE， 1AA  AE=A，所以 DE  平面 ACC A .又 DE  平面 ADE，故平面 ADE  平面 1 1 （2）解法 1：如图所示，设 F 是 AB 的中点，连接 DF，DC 1 ， C 1 F， E A 1 由正三棱柱 ABC A B C 1 1 1  的性质及 D 是 1 1A B 的中点知， 1 1A B  C 1 D， 1 1A B  DF 又 C 1 D DF=D，所以 1 1A B  平面 C 1 DF.而 AB∥ 1 1A B ， A 所以 AB  平面 C 1 DF.又 AB  平面 ABC 1 ， ACC A 1 1 D F B 1 H B C 1 C C 1 C 故平面 AB C 1  平面 C 1 DF。过点 D 做 DH 垂直 C 1 F 于点 H，则 DH  平面 AB C 1 。连接 AH，则  HAD 是 AD 和平面 ABC 1 所成的角。由已知 AB= 2 A A 1 ，不妨设 A A 1 = 2 ，则 AB=2，DF= 2 ，D C 1 = 3 ，C 1 F= 5 ， AD= 2 AA 1 A D 1 2 = 3 ，DH= DF · DC 1 FC 1 = 2  5 3 = 30 5 . 所以 sin  HAD= DH AD = 10 5 。即直线 AD 和平面 AB C 1 所成角的正弦值为 10 5 .

解法 2：如图所示，设 O 是 AC 的中点，以 O 为原点建立空间直角坐标系，不妨设 A A 1 = 2 ，则 AB=2，相关各点的坐标分别是 A(0,-1,0)， B（ 3 ，0，0）， C 1 （0，1， 2 ）， D （ 3 2 ，  ， 2 ）。 1 2 易知 AB =( 3 ，1，0)， 1AC =(0，2， 2 )， AD =( 3 2 ，  ， 2 ）. 1 2 r n , ) x y z  设平面 ABC 1 的法向量为 ( ,   · n AB    · n AC  1 3 y x   2 2 z y  0,      0. 解得 x   3 , y z 3   2 . y 故可取 (1, r n   3, 6 ) 所以，cos r uuur , n AD  . r uuur n AD  r uuur = n AD  ,则有 E A 1 A z D o C 1 C y B 1 B x 32 10  = 3 10 5 。由此即知，直线 AD 和平面 AB C 1 所成角的正弦值为 10 5 。 19．（本小题满分 13 分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2  )x x 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为 y 万元。（Ⅰ）试写出 y 关于 x 的函数关系式；（Ⅱ）当 m =640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？解：（Ⅰ）设需新建 n 个桥墩，则 ( n  1) x m  ，即n= ， 1m  x m x x )x=256( -1)+ m x (2  ) x x 所以 y  ( ) f x 256 x  =256n+(n+1)(2+ m m x  2 m   256.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， f '( ) x   m  256 x 2 1 2  1 2  mx 3 2 ( x m 2 x 2  512). 令 '( ) 0 x  ，得 f 3 x  2 512 ，所以 x =64. 当 0< x <64 时， '( ) x <0， ( ) f x 在区间（0，64）内为减函数； f 当 64 x  640 时， '( ) x >0. f ( ) f x 在区间（64，640）内为增函数. 所以 ( ) f x 在 x =64 处取得最小值，此时故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小。 mn  x 1   640 64 1 9.   20．（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到点 F（3，0）的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d. 当点 P 运动时，d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和（Ⅰ）求点 P 的轨迹 C；（Ⅱ）设过点 F 的直线l 与轨迹 C 相交于 M，N 两点，求线段 MN 长度的最大值。解：（Ⅰ）设点 P 的坐标为（x，y），则 d  4 ( x  3) 2  2 y  3| x  2 |. 由题设， 18  d  ，即 x 4 ( x  3) 2  2 y  3| x 2 | 18    . ……① x 当 x>2 时，由①得 ( x  3) 2  2 y   6 1 2 x , ……② 化简得 2 x 36 2 y 27  1. 当 2 x  时，由①得 (3  2 x )  2 y 化简得 2 y  12 x .   ……③ , x 3 y o A F B x=2 图1 故点 P 的轨迹 C 是椭圆 1 : C 2 x 36  2 y 27 1  在直线 x=2 的右侧部分与抛物线 2 : C y 2  12 x 在直线 x=2 的左侧部分（包括它与直线 x=2 的交点）所组成的曲线，参见图 1. （Ⅱ）如图 2 所示，易知直线 x=2 与 1C ， 2C 的交点都是 A（2， 2 6 ），B（2， 2 6  ），直线 AF，BF 的斜率分别为 AFk = 2 6  ， BFk = 2 6 . y o A M F B x=2 N E 图2 x x

当点 P 在 1C 上时，由②知 PF 当点 P 在 2C 上时，由③知 PF 16   2 x 3   . …… ⑤ x . …… ④ 若直线l 的斜率 k 存在，则直线l 的方程为 y  ( k x  3) . （ⅰ）当 k≤ AFk ，或 k≥ BFk ，即 k≤ 2 6  或 k≥ 2 6 时，直线l 与轨迹 C 的两个交点 M x y N x y 都在 1C 上，此时由④知 1 2 2 ( ( ) , 1 , ), 16   2 MF x 1 , NF 16   2 x 2 ，从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - 1 2 1x ）+（6 - 1 2 2x ）=12 - 1 2 ( 1x + 2x ). y  由 2 x 36     ( k x 2 y 27   3),  1 得 2 (3 4 )  k 2 x  24 2 k x  36 k 2  108 0  . 则 1x ， 1y 是这个方程的两根，所以 1x + 2x = 2 24 k 3 4 k 2 ，∣MN∣=12 - 1 （ 1x + 2 2x ）=12 - 2 12 k 3 4 k . 2 因为当 k   2 6, 6 , 或 2 时  k 2 k  24, 所以 MN  12  12 k 3 4  2 2 k  12   12  12 3  2 k 4  100 11 . 12 3  24 4 当且仅当 k   2 6 时，等号成立。（ⅱ）当 k AF   k k AF , 2 6    k 2 6 时，直线l 与轨迹 C 的两个交点 M x y N x y 分别在 1 ,C C 上，不妨设点 M 在 1C 上，点 N 在 2C 上， ), ( ( ) , , 1 2 2 2 1 则由④⑤知， MF 16   2 x NF 1 , 3   x . 2 设直线 AF 与椭圆 1C 的另一交点为 E ( , x y 0 0 ), x 则 0  , x x 1 2  2. MF   6 x 1   6 所以 MN MF  1 2  1 2 NF x  EF NF , 0 3   x 2    3 2 AF ，  EF  AF  AE 。而点 A，E 都在 1C 上，且 AEk   2 6, 由（ⅰ）知 AE  100 11 , 所以 MN  100 11 若直线l 的斜率不存在，则 1x = 2x =3，此时

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