2008四川考研数学一真题及答案.doc-资料库

2008 四川考研数学一真题及答案一、选择题：(本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数 ( ) f x  2 x  0 ln(2  ) t dt ，则 ( ) f x 的零点个数为【】 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3．【答案】应选(B). 【详解】  ( ) f x  ln(2  x 2 ) 2  x  2 ln(2 x 2  ． x ) 显然 ( ) f x 在区间 (   上连续，且 ( 1)   ) f ,  f  (1)   ( 2ln 3)  (2ln 3) 0  ，由零点定理，知 ( ) f x 至少有一个零点．又 f  ( ) x  2ln(2  x 2 )  2 4 x 2 x  2  0 ，恒大于零，所以 ( ) f x 在 (   上是单调递增 ) , 的．又因为 (0) f   ，根据其单调性可知， ( ) f x 至多有一个零点． 0 故 ( ) f x 有且只有一个零点．故应选(B). （2）函数 ( , f x y )  arctan x y 在点(0,1)处的梯度等于【】 (A) i (B) i . (C) j . (D) j . 【答案】应选(A). 【详解】因为 f  x   1 y x y  2 2 1  y  2 x 2 y ． f  y    1  x 2 y x y 2 2  x  2 y  2 x ．所以 f  x  (0,1)  1 ， f  y  (0,1)  0 ，于是 gradf x y ( , )  .故应选(A). i (0,1) （3）在下列微分方程中，以为通解的是【】 y C e C   x 1 cos 2 x C  3 2 sin 2 x C C C 为任意的常数） , , （ 1 2 3 (A)  y   y  4  y  4 y 0  . (B)  y   y  4  y  4 y 0  . (C)  y   y  4  y  4 y 0  . (D)  y   y  4  y  4 y 0  . 【答案】应选(D).

【详解】由 y C e C   x 1 cos 2 x C  3 2 sin 2 x ，可知其特征根为 1  ， 2,3 1    ，故对应的特征值方程为 2i (    1)(  2 )( i   2 ) i  2 (   1)(   4)   3 2      4  4 3       2 4 4 所以所求微分方程为  y   y  4  y  4 y  ．应选(D). 0 （4）设函数 ( ) f x 在 (   内单调有界，{ }nx 为数列，下列命题正确的是【】． ) , (A) 若{ }nx 收敛，则{ ( f x 收敛 )}n (B) 若{ }nx 单调，则{ ( f x 收敛 )}n (C) 若{ ( f x 收敛，则{ }nx 收敛. )}n (D) 若{ ( f x 单调，则{ }nx 收敛. )}n 【答案】应选(B). 【详解】若{ }nx 单调，则由函数 ( ) f x 在 ( 因此若{ ( f x 收敛．故应选(B). )}n   内单调有界知，若{ ( f x 单调有界， ) , )}n （5）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵．若 3 A  ，则【】 0 则下列结论正确的是： (A) E A 不可逆，则 E A 不可逆. (C) E A 可逆，则 E A 可逆. (B) E A 不可逆，则 E A 可逆. (D) E A 可逆，则 E A 不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C). 2  )(   ( ( E A E A A 故 E A ， E A 均可逆．故应选(C).  ， E A   E ) 3 E A E A A   )(  2 )   E A 3  ． E （6）设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 x y x  z A y z            1 在正交变换下的标准方程的图形如图，则 A 的正特征值个数为【】 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.

【答案】应选(B). 【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为 2 2 x a  2 z 2 y  2 c  ．故 A 的正 1 特征值个数为 1．故应选(B). （7）设随机变量 ,X Y 独立同分布且 X 的分布函数为 ( )F x ，则 Z  max{ , } X Y 的分布函数为【】 (A) 2( ) F x . (B) F x F y . (C) ( ) ( ) 1 [1   F x ( )] 2 . (D) [1  ( )][1 F x  ( )] F y . 【答案】应选(A)．  P Z 【详解】 ( ) F z     P X z P Y     z  P  max{ , } X Y   z   z  ( ) ( ) F z F z  2 ( ) F z ．故应选(A)．（8）设随机变量 X N(0,1)  , Y N (1,4) , 且相关系数 XY  ，则【】 1 (A) { P Y   2 X  1} 1  (B) { P Y X 2  1} 1  (C) { P Y   2 X  1} 1  (D) { P Y X 2  1} 1  【答案】应选 (D)．【详解】用排除法．设Y  aX b  ．由 XY  ，知 X ，Y 正相关，得 0a  ．排除（A） 1 和（C）．由 X N (0,1) ， Y N (1,4) ，得  EX aEX b    ， 1b  ．从而排除(B).故应选 (D)． ( E aX b 0a EY 0, 1, b  )    ． 1 二、填空题：(9－14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.) （9）微分方程 xy    满足条件 (1) 1  的解是 y  . 0 y y 【答案】应填 y  ．【详解】由 dy dx 1 x y x   ，得 dy y   ．两边积分，得ln | dx x y |   ln | | x C  ．代入条件 (1) 1  ，得 y 0C  ．所以 y  ． 1 x （10）曲线 sin( xy )  ln( y  x )  在点 (0,1) 的切线方程为 . x 【答案】应填 y x  ． 1 【详解】设 ( , F x y )  sin( xy )  ln( y  x )  ，则 x

( , xF x y )  y cos( xy )  1  y x   1 ， ( , xF x y )  x cos( xy )  1  y x ， xF (0,1)   ， (0,1) 1  ．于是斜率 1 yF k     F x F y (0,1) (0,1)  1 ．故所求得切线方程为 y x  ． 1 （ 11 ）已知幂级数   ( a x n n  0 2)n 在 0x  处收敛，在 x   处发散，则幂级数 4   ( a x n n  0 2)n 的收敛域为 . 【答案】 (1,5] ．【详解】由题意，知   ( a x n n  0 2)n 的收敛域为 ( 4,0]  ，则以   ( a x n n  0 2)n 的收敛域为 (1,5] ．  的收敛域为 ( 2,2] a x n  n  n  0 ．所 (12)设曲面  是 z  4  2 x 2  的上侧，则 y xydydz  xdzdx  2 x dxdy  .   【答案】 4．【详解】作辅助面 1 : z  取下侧．则由高斯公式，有 0 xydydz  xdzdx  2 x dxdy   xydydz  xdzdx  2 x dxdy        1 xydydz  xdzdx  2 x dxdy     ydV  2 x   y 2 2 x dxdy ．  4 10   2 x 2  2  y 2 ( x  2 y dxdy )   4 1 2 2    d 0  2 0 2 r  rdr    16 4  4  ． (13) 设 A 为 2 阶矩阵， 1 A 的非零特征值为___________. 【答案】应填 1． 2 ,  为线性无关的 2 维列向量， 1 A  ， 2 A   2  ．则  0 2 1 【详解】根据题设条件，得 ( A   2 , 1 )  ( A   2 A , 1 )  (0,2     2   1 2 1 ) ( , )    0 2 0 1    ．

记 P   2 ( , 1 ) ，因 1 ,  线性无关，故 2 P   2 ( , 1 ) 是可逆矩阵．因此  AP P    0 2 0 1    ，从而 1 P AP     0 2 0 1    ．记 B     0 2 0 1    ，则 A 与 B 相似，从而有相同的特征值．因为 |  E B  |   0 2  1    (   1) ， 0 ， 1 ．故 A 的非零特征值为 1． (14) 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则  P X EX 2  ____________．【答案】应填 1 2e . 【详解】因为 X 服从参数为 1 的泊松分布，所以 EX DX  ．从而由 1 DX  EX 2  ( EX 2 ) 得 2 EX  ．故  2 P X EX  2    P X   2  1 2e ．三、解答题：(15－23 小题，共 94 分. ) (15)(本题满分 10 分)  sin x  求极限 lim 0 x  sin(sin ) sin x  x 4 x  sin x  【详解 1】 lim 0 x  sin(sin ) sin x  4 x  sin x  x  lim 0 x   sin(sin ) x 3 x ＝ lim 0 x   lim 0 x  cos x  cos(sin )cos x x 2 3 x  lim 0 x  1 cos(sin ) x  sin(sin )cos x x 6 x (或  lim 0 x  1 (sin ) x 2 2 3 x 2 3 x 2 ，或  lim 0 x  2 1 sin 2 2 (sin ) x x o  2 3 x )  ． 1 6  sin x  【详解 2】 lim 0 x  sin(sin ) sin x  4 x  sin x  x  lim 0 x   x sin(sin ) sin sin x 4 x ＝ lim 0 t  t  t sin 3 t  lim 0 t  t 1 cos  3 2 t  lim 0 t  2 t 2 2 3 t （或  lim 0 t  t sin 6 t ）

 ． 1 6 （16）(本题满分 9 分) 计算曲线积分 sin 2 xdx  2 2( x  1) ydy  L 的一段．【详解 1】按曲线积分的计算公式直接计算．，其中 L 是曲线 sin  y x 上从 (0,0) 到 ( ,0) sin 2 xdx  2 2( x  1) ydy L    0   2 x x cos 2 2  0    0 x cos 2 xdx   [sin 2 xdx  2 2( x  1)sin cos ] x dx x 2 x sin 2 xdx 0   2    2 0 x cos 2 xdx   0 x dx sin 2 2   2  2  x x sin 2 2  0   ． 2  2 【详解 2】添加辅助线，按照 Green 公式进行计算．设 1L 为 x 轴上从点 ( ,0) 到(0,0) 的直线段． D 是 1L 与 L 围成的区域  sin 2 xdx ydy 2( 1)   x 2 L L  1 D           2 x 2   0 0  0  (2( 2 x  x  1) y   sin 2 y   x dxdy     D 4 xydxdy sin 4x xydydx    0 2 sinx 2 xdx     0 x (1 cos 2 ) x dx     0 x cos 2 xdx   2  2  x x sin 2 2  0   0 x dx sin 2 2   ． 2  2  L 1 因为 sin 2 xdx  2 2( x  1) ydy  0   sin 2 xdx  0 故  L sin 2 xdx  2 2( x  1) ydy   2  2

【详解 3】令 I  sin 2 xdx  2 2( x  1) ydy L    L sin 2 xdx  2 ydy  2 2 x ydy   I 1 I 2   ．因为 2 y 对于 1I ，记 P  sin 2 , x Q I 1   0 sin 2 xdx  0 ．对于 2I ， I 2   L 2 2 x ydy    0 2 2 x sin cos x xdx    0 P  y   P  x   0 ，故 1I 与积分路径无关． 2 x sin 2 xdx   2 x x cos 2 2  0    0 x cos 2 xdx   2    2 0 x cos 2 xdx   0 x dx sin 2 2   2  2  x x sin 2 2  0   ． 2  2 故 sin 2 xdx  2 2( x  1) ydy    L 2  2 17（本题满分 11 分）已知曲线 C :    x x 的点． 2 2 y  y   0, 22 z   5, 3 z  求 C 上距离 xoy 面最远的点和最近【详解 1】点( , x y z 到 xoy 面的距离为| , ) |z ，故求C 上距离 xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数 H z 在条件 2 x 2  2 y  22 z  0, x   y 3 z  下的最大值点和最小值 5 点．构造拉格朗日函数 ( , , L x y z , ) ,   2 z  (  x 2  2 y  2 2 ) z  (  x   y 3 z  ， 5)

y 由   2 2 0, x L      x    2 0, y L        4 2 3 L z z      z  2 2 2 2 0, x z y      . 3 y x z    得 x y ， 5  , 0 从而    2 2 x x 2 2  3 z  2 z   5. 0, 解得 5, x       5, y   5. z   或 x    y  z   1, 1 , . 1 根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为 ( 5, 5,5)   和(1,1,1) ．【详解 2】点( , x y z 到 xoy 面的距离为| , ) |z ，故求C 上距离 xoy 面最远的点和最近的点的 2  在条件 y 2 x  2 y  2 x      y 3 5 2     0 下的最大值点和最小坐标等价于求函数 H x  2 值点．构造拉格朗日函数 ( , , L x y z , )   2 x  2 y     2 x  2 y  2 9 ( x   y 2 5)    ，由            L x 2 x  L   y 2 y  2 x  2 y  2         x    2 2 x  4 9 4 9    y y 3 ( x   y 5) ( x   y 5)  0,  0,       5 2     0. 得 x y ，从而 2 x 2  2 9 (2 x  2 5)  ． 0 解得 5, x       5, y   5. z   或 x    y  z   1, 1 , . 1 根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xoy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为 ( 5, 5,5)   和(1,1,1) ．

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