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基于矩量法的二维金属体散射（内含matlab程序）.doc
基于矩量法的二维金属体散射计算
1 问题的描述
本题是用矩量法计算二维金属圆柱体的散射场，如图所示为一圆柱体和一个椭圆柱的截
面，为了计算简单，选入射波为垂直 z 轴入射的 TM 或 TE 平面波
y
i
zE
i
zE
x
2
2 矩量法求解过程
2.1 电场积分方程
2.1.1 问题的分析
由麦克斯韦方程组
Hj
E
JEjH
可得电场积分方程为
E
z
)
(
KZ
4
J
x
'
(
)
KH
(
2
0
'
'
)
ds
2
(1)
(2)
(3)
表示在圆柱表面的面电流在远处产生的总场。设入射场为 E iz ，散射场为 E sz ， 由金属表
面的边界条件
E
z
E
i
z
E
s
z
=0
得
E
i
z
)
(
KZ
4
C
J
z
'
(
)
'
'
)
dl
(4)
(5)
KH
(
2
0
2.1.2 离散化
E
设入射波为
i
z
e
jk
(
x
cos
y
sin
)
,将散射体截面 C 分为 N 份△C n ，用点匹配法对上述积分式
子进行离散化， 即基函数可取
nf
)
(
1
0
可得下列离散方程：
[P]{J}={b}
上在
C
其它
(6)
(7)
其中：
P
mn
KZ
4
C
(
xKH
(
2
0
x
m
2
)
(
y
y
m
2
))
dt
n
b
m
e
ik
(
x
m
cos
i
y
m
sin
i
)
当 m≠n 时，
P
mn
KZ
4
(
xKHC
(
2
0
n
x
m
2
)
n
y
n
y
m
2
)
当 m=n 时 解析积分为
P
nn
ZK
4
C
1
n
j
lg2
CK
4
e
n
(8)
(9)
(10)
(11)
其中=1.781,e=2.718
2.1.3 方程组的求解
可用 LU 分解求解方程组，即 P=LU ，其中 P 为可逆矩阵，L 为上三角矩阵，U 为下三角矩
阵，则可利用这两个基本的三角矩阵进行求解 J，求出 J 之后，就可求散射场
F
,(
)
eyx
KZF
(12)
)(
dl
cos(
sin(
))
J
jk
)
(
x
y
s
C
z
F
)
(
1
8
K
(
Kje
)4/3
与二维场中的散射截面
)(
2
KZ
4
C
J
z
)
,(
eyx
jK
(
x
cos(
)
y
sin(
))
2
dl
(13)
(14)
2.1.4 输出结果的验证
此散射问题也可用模式展开法进行求解，可用此结果对本问题进行验证。所得 J 为
J
z
02
E
R
n
n
ej
2
H
n
jn
KR
(15)
2.2 磁场积分方程
对 于 TE 波 垂 直 与 z 方 向 入 射 时 的 金 属 体 的 散 射 。 对 于 一 般 的 TE 波 而 言 只 有
EH
,
z
和,
x
E
y
场 分 量 ， 电 流 密 度 方 程 只 有 横 向 分 量 。 则 MFIE 为 ：
H
inc
z
)(
t
J
t
)(
t
z
A
J
t
)(
t
S
A
x
y
x
A
y
S
(16)
其中
(
tA
)
t
(
t
'
)
J t
(
t
'
)
1
4
j
H
)2(
0
(
kR
)
dt
'
(17)
)(
ty
'
)(
ty
2
y
2
'dl
R
)(
tx
'
)(
tx
y
n
)(
tt
x
cos
)(
t
y
x
sin
)(
t
t
(18)
x
其中 t 表示边界上的一点， )(t 是 'dl 和 X 的夹角。
根根据前面的过程，圆柱边界分成 N 分。等效电流密度可以近似为一些脉冲函数的迭加：
J
t
)(
t
N
n
1
pj
n
n
)(
t
n
n
C
tp
)(
1
t
上在如果
0
其它
Hj
inc
zn
n
其中
则得到
Z
mn
矩阵非对角元
Z
mn
k
4
j
C
n
(sin
'
)(
t
x
m
R
2
x
'
)(
tx
在 nC 上认为是常量故
m
y
m
'
)(
tx
R
'
)(
ty
2
m
(19)
(20)
(21)
cos
'
)(
t
y
m
R
'
)(
ty
m
)
H
)2(
1
(
kR
m
'
)
dt
(22)
x
n
cos
n
m
R
m
y
m
R
yn
m
)
H
)2(
1
(
kR
m
)
Z
mn
(sin
n
x
对角元
1Z mn
2
其中
R
mn
x
m
x
n
2
y
y
n
m
2
回波宽度的近似公式为：
)(
TE
k
4
N
n
1
Cj
n
n
sin(
n
)
e
jk
(
x
n
cos
y
n
sin
)
2
3 计算机数值实验及分析
(23)
(24)
(25)
(26)
本论文通过数值计算验证前面理论分析的结果，并对数值计算结果进行分析。分别以金
属圆柱体和金属椭圆体为计算例子，做数值实验和分析。所使用的计算机程序是商业软件
MATLAB6.5，数值实验在本人机子（celeron4 1.8G CPU 128M 内存）,操作系统是 windows xp。
3.1 二维金属圆柱体的散射
基于上面的分析，考虑垂直 z 方向入射的横向磁波（TM）,离散方程为（7）,编程的基
本思路是对(10)式和（11）式编程实现，得出[p]矩阵，再由(9)式得出{b}列，用 MATLAB6.5
软件上的线性方程组直接求解法求解出{J}。散射截面（回波宽度）可以通过（14）式离散
计算出来。
计算例子是一个 z 方向均匀且无限长的金属圆柱，半径为 1.5 米（
），金属圆
柱中心和 z 轴重合，入射波为 z 方向极化，幅值为 1，从负 x 轴方向垂直 z 轴入射的 TM 平
3 米。由于是金属体且 z 方向均匀，可以只考虑对垂
面波，工作频率为 100MHz，波长
直 z 轴截面的圆周进行剖分并计算。下图给出了 720 个剖分下电流密度分布的计算结果与近
似解析解的比较，其中近似解析解是根据《导波理论》书上 3.48 式(本文的（15）式)在 n=-36
到 n=36 下计算出来的。计算时入射角取为 0 度。
5.0R
其中 x 轴为
/( ，y 轴为电流密度，由图可见，电流密度分布和近似解析解无论幅度
)
相位之间都有着非常好的吻合。
计算所得的总等效电流 Iz＝-0.0079 + 0.0083i,而在剖分精度为 180 时，计算所得的总等
效电流 Iz =-0.0084 + 0.0083i。而解析解的总电流 Iz =-0.0077 + 0.0083i，可见随着剖分精度的
增加，计算结果收敛于解析解。
图 1（a）EFIE
3
5.0R
，剖分精度 720
图 1（b）EFIE
3
5.0R
近似解析解
下图给出的是回波宽度的分布
图 1（c）EFIE
3
5.0R
剖分精度 720
其中 x 轴为
/( ，y 轴为
)
2
/
dB/
，据个人粗略分析应该基本符合事实。由于没能
得到回波宽度的解析解，没能作进一步的分析比较。
下面给出入射角为 90 度，半径
2.0R
，而其他条件不变的情况下，所得的计算结果。
（d）EFIE
3
R
,2.0
i
90
剖分精度 720
由此可见，相对前面那种情况，入射角变化 90 度，等效电流密度分布也相应有 90 度
的相移，回波宽度的幅度减小了很多，但大体的形状保持不变。这时候的总电流 Iz =0.0067
+ 0.0028i。
3.2 TM 波入射金属椭圆柱的散射
对于二维金属椭圆柱体的散射这种情况，由于圆柱体是椭圆柱的特殊情况，所以解题
的基本思路基本一样，就是对每个剖分步长用数值积分得到，这样有利于得到精确的计算结
果。实践的过程也证明了这一点，当每个剖分步长用两个剖分点的直线距离来近似的话，带
来很大的误差，而用数值积分得到的结果和解析解很好地吻合。
2 b
计算例子是一个 z 方向均匀且无限长的椭圆柱，长轴
，短轴
2
2 a
2/
，即金
属圆柱中心和 z 轴重合，即椭圆方程为
2
2
x
a
2
2
y
b
1
。入射波为 z 方向极化，幅值为 1，从
3
负 x 轴方向垂直 z 轴入射的 TM 平面波，即入射角为 0 度。工作频率为 100MHz，波长
米。由于是金属体且 z 方向均匀，可以只考虑对垂直 z 轴截面的椭圆周进行剖分并计算。
图 3（a）(b)给出了 1000 个剖分和 2000 个剖分下的电流密度分布的计算结果，图 3(c)
给出解析解以作为比较，而图 4(a)(b)给出了上述剖分精度下的回波宽度的计算结果，作为比
较图 4(c)给出回波宽度的解析解。其中解析解来自参考书《计算电磁场的矩量法》。
为了方便与参考书中的解析解比较，x 和 y 轴的参量都相应做了变化。下图中的 x 轴 S
为角度的归一化，左端为 S=0,右端为 S=1。Y 轴是
J
iH
图 3(a) EFIE
3
2 b
2
2 a
2/
剖分精度 1000
图 3(b) EFIE
3
2 b
2
2 a
2/
剖分精度 2000
图 3(c) EFIE
3
2 b
2
2 a
2/
剖分精度 2700
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