2011年上海高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2011 年上海高考理科数学真题及答案一、填空题（共 14 小题，每小题 4 分，满分 56 分） 1．（4 分）函数的反函数为 f﹣1（x）= ，（x≠0）．【解答】解：设，可得 xy﹣2y=1， ∴xy=1+2y，可得，将 x、y 互换得． ∵原函数的值域为 y∈{y|y≠0}， ∴ ，（x≠0）故答案为：，（x≠0） 2．（4 分）若全集 U=R，集合 A={x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁UA= （0，1）．【解答】解：∵集合 A={x|x≥1}∪{x|x≤0}={x|x≥1，或 x≤0} ∴CUA={x|0＜x＜1}=（0，1）故答案为：（0，1） 3．（4 分）设 m 是常数，若点 F（0，5）是双曲线的一个焦点，则 m= 16 ．【解答】解：由于点 F（0，5）是双曲线的一个焦点，故该双曲线的焦点在 y 轴上，从而 m＞0．从而得出 m+9=25，解得 m=16．故答案为：16． 4．（4 分）不等式的解为．【解答】解：原不等式同解于同解于

同解于即解得故答案为： 5．（4 分）在极坐标系中，直线ρ（2cosθ+sinθ）=2 与直线ρcosθ=1 的夹角大小为 arctan ．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：∵ρ（2cosθ+sinθ）=2，ρcosθ=1 ∴2x+y﹣2=0 与 x=1 ∴2x+y﹣2=0 与 x=1 夹角的正切值为直线ρ（2cosθ+sinθ）=2 与直线ρcosθ=1 的夹角大小为 arctan 故答案为：arctan 6．（4 分）在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则 A、 C 两点之间的距离为千米．【解答】解：由 A 点向 BC 作垂线，垂足为 D，设 AC=x， ∵∠CAB=75°，∠CBA=60°， ∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45° ∴AD= x ∴在 Rt△ABD 中，AB•sin60°= x x= （千米）答：A、C 两点之间的距离为千米．故答案为：下由正弦定理求解：

∵∠CAB=75°，∠CBA=60°， ∴∠ACB=180°﹣75°﹣60°=45° 又相距 2 千米的 A、B 两点 ∴ ，解得 AC= 答：A、C 两点之间的距离为千米．故答案为： 7．（4 分）若圆锥的侧面积为 2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是 1，底面周长为 2π，又， ∴圆锥的母线为 2，则圆锥的高，所以圆锥的体积 × ×π= ．故答案为． 8．（4 分）函数【解答】解： + ≤ 故答案为：的最大值为． =cosxcos（ ﹣x）= sin（ +2x） 9．（4 分）马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表：

x 1 P（ξ=x）？ 2 ！ 3 ？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案 Eξ= 2 ．【解答】解：设 P（ξ=1）=P（ξ=3）=a，P（ξ=2）=b，则 2a+b=1， Eξ=a+2b+3a=2（2a+b）=2，故答案为 2． 10．（4 分）行列式（a，b，c，d∈{﹣1，1，2}）所有可能的值中，最大的是 6 ．【解答】解：， ∵a，b，c，d∈{﹣1，1，2} ∴ad 的最大值是：2×2=4，bc 的最小值是：﹣1×2=﹣2， ∴ad﹣bc 的最大值是：6．故答案为：6． 11．（4 分）在正三角形 ABC 中，D 是 BC 上的点．若 AB=3，BD=1，则 = ．【解答】解：∵AB=3，BD=1， ∴D 是 BC 上的三等分点，， =9﹣ = ， ∴ ∴ = = 故答案为．

12．（4 分）随机抽取的 9 位同学中，至少有 2 位同学在同一月份出生的概率为 0.985 （默认每个月的天数相同，结果精确到 0.001）【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数 129，至少有 2 位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有 A12 9 种结果， ∴要求的事件的概率是 1﹣ =1﹣ ≈0.985，故答案为：0.985 13．（4 分）设 g（x）是定义在 R 上，以 1 为周期的函数，若函数 f（x）=x+g（x）在区间[3， 4]上的值域为[﹣2，5]，则 f（x）在区间[﹣10，10]上的值域为 [﹣15，11] ．【解答】解：法一：∵g（x）为 R 上周期为 1 的函数，则 g（x）=g（x+1）又∵函数 f（x）=x+g（x）在[3，4]的值域是[﹣2，5] 令 x+6=t，当 x∈[3，4]时，t=x+6∈[9，10] 此时，f（t）=t+g（t）=（x+6）+g（x+6）=（x+6）+g（x）=[x+g（x）]+6 所以，在 t∈[9，10]时，f（t）∈[4，11]…（1）同理，令 x﹣13=t，在当 x∈[3，4]时，t=x﹣13∈[﹣10，﹣9] 此时，f（t）=t+g（t）=（x﹣13）+g（x﹣13）=（x﹣13）+g（x）=[x+g（x）]﹣13 所以，当 t∈[﹣10，﹣9]时，f（t）∈[﹣15，﹣8]…（2） … 由（1）（2）…得到，f（x）在[﹣10，10]上的值域为[﹣15，11] 故答案为：[﹣15，11] 法二：由题意 f（x）﹣x=g（x）在 R 上成立

故 f（x+1）﹣（x+1）=g（x+1）所以 f（x+1）﹣f（x）=1 由此知自变量增大 1，函数值也增大 1 故 f（x）在[﹣10，10]上的值域为[﹣15，11] 故答案为：[﹣15，11] 14．（4 分）已知点 O（0，0）、Q0（0，1）和点 R0（3，1），记 Q0R0 的中点为 P1，取 Q0P1 和 P1R0 中的一条，记其端点为 Q1、R1，使之满足（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，记 Q1R1 的中点为 P2，取 Q1P2 和 P2R1 中的一条，记其端点为 Q2、R2，使之满足（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，得到 P1，P2，…，Pn，…，则 = ．【解答】解：由题意（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，所以第一次只能取 P1R0 一条，（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，则 Q1、R1；Q2、R2，…中必有一点在（）的左侧，一点在右侧，由于 P1，P2，…，Pn，…，是中点，根据题意推出 P1，P2，…，Pn，…，的极限为：（），所以 =|Q0P1|= ，故答案为：．二、选择题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 15．（5 分）若 a，b∈R，且 ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（） A．a2+b2＞2ab B． C． D．【考点】基本不等式．【专题】综合题．【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式 a2+b2≥2ab 的使用条件是 a，b∈R．

【解答】解：对于 A；a2+b2≥2ab 所以 A 错对于 B，C，虽然 ab＞0，只能说明 a，b 同号，若 a，b 都小于 0 时，所以 B，C 错 ∵ab＞0 ∴ 故选：D 【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：已知、二定、三相等． 16．（5 分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（） A． B．y=x3 C．y=2|x| D．y=cosx 【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意，将 x 用﹣x 代替判断解析式的情况利用偶函数的定义判断出为偶函数；求出导函数判断出导函数的符号，判断出函数的单调性．【解答】解：对于函数的定义域为 x∈R 且 x≠0 将 x 用﹣x 代替函数的解析式不变，所以是偶函数当 x∈（0，+∞）时， ∵ ∴ 故选 A．在区间（0，+∞）上单调递减的函数

【点评】本题考查奇函数、偶函数的定义；考查利用导函数的符号判断函数的单调性． 17．（5 分）设 A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的 5 个不同点，则使 = 成立的点 M 的个数为（） A．0 B．1 C．5 D．10 【考点】向量的加法及其几何意义．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意，设出 M 与 A1，A2，A3，A4，A5 的坐标，结合题意，把 M 的坐标用其他 5 个点的坐标表示出来，进而判断 M 的坐标 x、y 的解的组数，进而转化可得答案．【解答】解：根据题意，设 M 的坐标为（x，y），x，y 解得组数即符合条件的点 M 的个数，再设 A1，A2，A3，A4，A5 的坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）；若 = 成立，得（x1﹣x，y1﹣y）+（x2﹣x，y2﹣y）+（x3﹣x，y3﹣y）+（x4﹣x，y4﹣y）+（x5﹣x，y5﹣y） = ，则有 x= ，y= ；只有一组解，即符合条件的点 M 有且只有一个；故选 B．【点评】本题考查向量加法的运用，注意引入点的坐标，把判断点 M 的个数转化为求其坐标即关于 x、y 的方程组的解的组数，易得答案． 18．（5 分）设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai 是边长为 ai，ai+1 的矩形的面积（i=1，2，…），则{An}为等比数列的充要条件是（）

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