2006湖南考研数学三真题及答案.doc

发布时间：2022-09-17 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.93M 资料格式：doc 举报版权申诉

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2006 湖南考研数学三真题及答案一、填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. n   1 lim n  1 n   n     （1）  ______. （2）设函数 ( ) f x 在 2 x  的某邻域内可导,且  x f     e f x ，  f 2  1 ，则  f  2  ____. （ 3 ）设函数 ( ) f u 可微 , 且 f    0  1 2 , 则 z  f  2 4 x  2 y  在点 (1,2) 处的全微分 d z  1,2  _____. A （4）设矩阵 1 2    1 2     ，E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足（ 5 ）设随机变量 X Y与相互独立，且均服从区间   max P  X Y   1   , _______. B 2 E BA B   ，则 0,3 上的均匀分布，则 . （6）设总体 X 的概率密度为  f x   1 2  x e      x  , 单随机样本，其样本方差为 2S ，则 2 ES  ____. X X , 1 ,  , X 2 n 为总体 X 的简二、选择题：7－14 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. 具有二阶导数，且 ( ) 0,  ， x 为自变量 x 在点 0x 处的  ( ) 0 x （7）设函数 ( ) f x  f x   y f 增量， dy  与分别为 ( ) y f x 在点 0x 处对应的增量与微分，若 x  ，则 0 0    dy y . d y y    2 f h 2 h  1 lim 0 h  (A) (C) 0 dy  y   . y   d y 0  . (B) (D) （8）设函数  f x 在 0  x  处连续，且   0 存在 f   0  f   且 0 (A) (C) f   0 f   且 0    0 存在 0 . [ ] ，则   0  1 f   且   0 存在 f (B) (D) f   0 1 f   且    0 存在 [ ]

  （9）若级数 1  n a n 收敛，则级数   n 1  a n 收敛 .   ( 1)n （B） 1  n a n 收敛.   n 1  a a n n 1  收敛. (D) n  a a  2 1  n n 1  收敛. [ ] (A) (C) （10）设非齐次线性微分方程   ( ) y P x y Q x ( )  有两个不同的解 1 ( ), y x y x C 为任意常 ( ), 2 数，则该方程的通解是 ( ) y x 2 ( ) C y x  1 （Ａ）  （Ｃ）  ( ) C y x 1  ( ) y x 2   . . ( ) y x C y x 1 ( )  1   ( ) y x 2  . （Ｂ） ( ) y x C y x 1 ( )  1   ( ) y x 2  [ ] （Ｄ） ) ( , x y与 ) y x y 均为可微函数，且 ( , )  0 ，已知 0 ( , x y 是 ( , f x y 在约 ) ) 0 （11）设 ( , f x y 束条件 ( , x y ) 0  下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若  xf ( , x y 0 0 ) 0  ，则  yf ( , x y 0 0 ) 0  (B) 若  xf ( , x y 0 0 ) 0  ，则  yf ( , x y 0 0 )  0 (C) 若  xf ( , x y 0 0 ) 0  ，则  yf ( , x y 0 0 ) 0  . . .  xf ( , x y 0 0 ) (D) 若  yf ( , x y 0 0 )  0 . [ ] （12）设 1 ,    均为 n 维列向量， A 为 m n 矩阵，下列选项正确的是 2 s , 0  ，则 , A    线性相关，则 1   2 A 若 1 2 s , , , , A    线性相关，则 1   2 A 若 1 2 s , , , , , ,  s A ,  s A , 线性相关. 线性无关. (C) 若 1 A    线性无关，则 1   2 A 2 s , , , , ,  s A , 线性相关. (D) 若 1 A    线性无关，则 1   2 A 2 s , , , , ,  s A , 线性无关. [ ] （13）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的 1 倍加到第 2 P       1 1 0 0 1 0 0 0 1      ，则列得C ，记

（Ａ） C P AP 1 . （Ｂ） C PAP   1 . （Ｃ） C P AP  T . （Ｄ） C PAP  T . ［］（14）设随机变量 X 服从正态分布   1 P X  P Y  1  2  1      ( N   ，Y 服从正态分布 2 1 ) , 1 ( N   ，且 2 2 ) , 2 则必有 2  1 2  1 (C) 2  1 (B) 2  1 (D) [ ] 三、解答题：15－23 小题，共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 7 分）  , f x y   1  y sin arctan x  y x y xy  1  , x  0, y  0 ,求设 (Ⅰ) (Ⅱ)  g x   lim y   , f x y  ；  g x  lim  0 x . （16）（本题满分 7 分）计算二重积分 2 y  d d xy x y  D （17）（本题满分 10 分），其中 D 是由直线 y  , x y  1, x 0  所围成的平面区域. 证明：当 0 a b     时， b sin b  2cos b  b   a sin a  2cos a  a  . （18）（本题满分 8 分）在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点  与直线OP 的斜率之差等于 ax （常数 >0a ）. 1,0M (Ⅰ) 求 L 的方程；，其上任意点  , P x y  x  0  处的切线斜率 (Ⅱ) 当 L 与直线 y ax 所围成平面图形的面积为 8 3 时，确定 a 的值. （19）（本题满分 10 分）

  n 1   n  1   2 n 1  n x  2 n 1   1 的收敛域及和函数 ( ) s x . 求幂级数（20）（本题满分 13 分）设 4 维向量组  1  1   a T ,1,1,1 ,   2   2,2  a  T ,2,2 ,  3   3,3,3  a  T ,3 ,   4  4,4,4,4 a  T ，问 a 为何值时 1     线性相关?当 1     线性相关时, 2 3 4 2 3 4 , , , , , , 求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. （21）（本题满分 13 分） T 1,2, 1 ,    2   0, 1,1  T  是线性设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量  1    方程组 Ax  的两个解. 0 (Ⅰ)求 A 的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵  ,使得 TQ AQ   ； 6  A   3 2 E    ，其中 E 为 3 阶单位矩阵. （Ⅲ）求 A 及（22）（本题满分 13 分）设随机变量 X 的概率密度为 f X  x          0 x    1 , 1 2 1 ,0 4 0, 　其他   x 2 ， , Y X F x y 2,    为二维随机变量 ( , )X Y 的分布函数. 令 (Ⅰ)求Y 的概率密度  Yf (Ⅱ) Cov( , )X Y ；  y ； F    1 ,4 2    . (Ⅲ) （23）（本题满分 13 分）设总体 X 的概率密度为

 f x  ;  ,    1     0,  0 1, x   ,1 2, x   其他, 其中是未知参数 0 1   X X , ， 1 ..., 2 X 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本 n , x x 2 值 1 ..., x 中小于 1 的个数. n （Ⅰ）求的矩估计；（Ⅱ）求的最大参考答案

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