2009 年海南高考文科数学真题及答案
第 I 卷
一、选择题:(本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中 ,中有一项是符
合题目要求的。
(1) 已知集合
A
1,3,5,7,9 ,
B
(A)
(C)
(2) 复数
3,5
3,7
3 2
i
2 3
i
0,3,6,9,12
,则 A B
3,6
3,9
(B)
(D)
(A)1
(B) 1
(C)i
(D) i
(3)对变量 ,x y 有观测数据( 1x , 1y )( 1,2,...,10
i
),得散点图 1;对变量 ,u v 有观测
数据( 1u , 1v )(i=1,2,…,10),得散点图 2. 由这两个散点图可以判断。
(A)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 (B)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关
(C)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 (D)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关
(4)有四个关于三角函数的命题:
2
+
cos
x
x
2
2
1 cos 2
x
2
=
1
2
2p :
,x y R
, sin(
x
y
)
sin
x
sin
y
sin
x
4p : sin
x
cos
y
x
y
2
1p : xR,
2
sin
3p : x
0, ,
其中假命题的是
(A) 1p , 4p
(B) 2p , 4p
(3) 1p , 3p
(4) 2p , 3p
(5)已知圆 1C :
(
x
1)
2
+
(
y
1)
2
=1,圆 2C 与圆 1C 关于直线
x
y 对称,则圆 2C 的
1 0
方程为
(A)
(
x
2)
2
+
(
y
2)
2
=1
(B)
(
x
2)
2
+
(
y
2)
2
=1
(C)
(
x
2)
2
+
(
y
2)
2
=1
(D)
(
x
2)
2
+
(
y
2)
2
=1
(6)设 ,x y 满足
x
2
4,
y
1,
y
x
2
2,
x
y
则 z
x
y
(A)有最小值 2,最大值 3
(B)有最小值 2,无最大值
(C)有最大值 3,无最小值
(D)既无最小值,也无最大值
3,2 ,
b
1,0
,向量 a b 与 2a
b 垂直,则实数的值为
a
(7)已知
1
7
(A)
(B)
1
7
(C)
(8)等比数列 na 的前 n 项和为 nS ,已知
a
m
1
1
6
(D)
1
6
mS
1
a
m
1
a
2
m
, 2
0
38
,则 m
(A)38
(B)20
(C)10
(D)9
(9) 如图,正方体
ABCD A B C D
1
1 1
1
的棱线长为 1,线段
1B D 上有两个动点 E,F,且
1
EF ,则下列结论中错
1
2
误的是
(A) AC BE
(B) //EF
平面
ABCD
(C)三棱锥 A BEF
的体积为定值
(D) AEF
的面积与
BEF
的面积相等
(10)如果执行右边的程序框图,输入
x
2,
h
,那么输出
0.5
的各个数的和等于
(A)3
(B) 3.5
(C) 4
(D)4.5
(11)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位: 2cm )
为
(A) 48 12 2
(B) 48 24 2
(C)36 12 2
(D)36 24 2
(12) 用 min{a,b,c}表 示 a,b,c 三 个 数中 的 最 小值 。 设
x
( ) min 2 ,
f x
x
2,10
x
(x 0), 则
f x 的
最大值为
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13 题)~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须
做答。第(22 题)~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
(13)曲线
y
x
xe
2
x
1
在点(0,1)处的切线方程为
。
(14)已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两
点,若
P
2,2
为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为
。
(15)等比数列{ na }的公比 0
q , 已知 2a =1, 2
n
a
a
1
n
6
a
n
,则{ na }的前 4 项和
4S =
。
(16)已知函数 ( )
f x
2sin(
)
x
的图像如图所示,则
f
7
12
。
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分 12 分)
如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知
AB
m
50
,
BC
,于 A 处测得水深
AD
m
80
,于 B 处测得水深
BE
200
m
,于
C 处 测 得 水 深
CF
m
, 求 ∠ DEF 的 余 弦 值 。
120
m
110
(18)(本小题满分 12 分)
如图,在三棱锥 P ABC
中,⊿ PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90 º
(Ⅰ)证明:AB⊥PC
(Ⅱ)若
PC ,且平面 PAC ⊥平面 PBC ,求三棱锥 P ABC
4
体积。
(19)(本小题满分 12 分)
某工厂有工人 1000 名,其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工人),另外 750
名工人参加过长期培训(称为 B 类工人).现用分层抽样方法(按 A 类,B 类分二层)从该
工厂的工人中共抽查 100 名工人,调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数).
(Ⅰ)A 类工人中和 B 类工人各抽查多少工人?
(Ⅱ)从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2
表 1:
生 产 能 力 分
100,110
110,120
120,130
130,140
140,150
组
人数
表 2:
4
8
x
5
3
生产能力分组
110,120
120,130
130,140
140,150
人数
6
y
36
18
(1) 先确定 ,x y ,再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言,A 类工人
中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通
过观察直方图直接回答结论)
(ii)分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人和生产能力的平
均数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)。
(20)(本小题满分 12 分)
已知椭圆C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个项点到两个焦
点的距离分别是 7 和 1
(Ⅰ)求椭圆C 的方程
(Ⅱ)若 P 为椭圆C 的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,
OP
OM
e
(e 为椭圆 C 的离心率),求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。
(21)(本小题满分 12 分)
已知函数
( )
f x
3
x
3
ax
2
9
2
a x a
3
.
(1) 设 1a ,求函数
f x 的极值;
(2) 若
a ,且当
x
1,4
1
4
a
时,
f
)(' x
12a 恒成立,试确定 a 的取值范围.
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题
计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
(22)(本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲
如图,已知 ABC 中的两条角平分线 AD 和CE 相交于
H , B=60 , F 在 AC 上,且 AE AF
。
(1)证明: ,
B D H E 四点共圆;
,
,
(2)证明:CE 平分 DEF。
(23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。
已知曲线 C 1 :
x
y
4 cos ,
t
3 sin ,
t
(t 为参数), C 2 :
x
y
8cos ,
3sin ,
(为参数)。
(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为
t
,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线
2
C
3
:
3 2 ,
x
t
2
y
t
(t 为参数)距离的最小值。
(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
如图,O 为数轴的原点, ,
,A B M 为数轴上三点,C 为线段OM 上的动点,设 x 表示C 与
原点的距离, y 表示C 到 A 距离 4 倍与C 到 B 距离的 6 倍的和.
(1)将 y 表示为 x 的函数;
(2)要使 y 的值不超过 70, x 应该在什么范围内取值?
一、选择题
参考答案
(1)D
(2)C
(3)C
(4)A
(5)B
(6)B
(7)A
(8)C
(9)D
(10)B
(11)A
(12)C
二、填空题
(13)
y
3
x
1
(14) 2
y
4
x
(15)
15
2
(16)0
三、解答题
(17) 解:
作
//DM AC 交 BE于 N,交 CF于 M.
DF
2
MF
DM
2
2
30
2
170
10 198
,
DE
2
DN
EN
2
2
50
2
120
130
,
EF
(
BE FC
)
2
BC
2
2
90
120
2
150
. ......6 分
在 DEF
中,由余弦定理,
cos
DEF
DE
(18)解:
2
2
EF DF
2
DE EF
2
130
2
2
2
10
150
2 130 150
298
16
65
. ......12 分
( Ⅰ ) 因 为 PAB
PAC
,
PBC
90
是 等 边 三 角 形 ,
,可得 AC BC
所以 Rt PBC Rt PAC
如图,取 AB 中点 D ,连结 PD ,CD ,
,CD AB
则 PD AB
所以 AB 平面 PDC ,
所以 AB PC 。
(Ⅱ)作 BE PC
,
,垂足为 E ,连结 AE .
。
......6 分
,
因为 Rt PBC Rt PAC
所以 AE PC
由已知,平面 PAC 平面 PBC ,故
, AE BE .
AEB
90
.
......8 分
因为 Rt AEB Rt PEB
,所以
AEB PEB CEB
,
,
都是等腰直角三角形。
由已知
PC ,得
4
AE BE
, AEB
2
的面积
S .
2
因为 PC 平面 AEB ,
所以三角锥 P ABC
8
3
S PC
1
3
V
的体积
(19)解:
(Ⅰ) A 类工人中和 B 类工人中分别抽查 25 名和 75 名。
(Ⅱ)(ⅰ)由 4 8
,得 5
5 3 25
x ,
x
6
y
频率分布直方图如下
36 18 75
,得 15
y 。
.......12 分
......4 分
从直方图可以判断: B 类工人中个体间的差异程度更小。
(ii)
105
115
125
......8 分
......9 分
145 123
,
4
25
Ax
6
75
25
100
Bx
x
8
25
15
75
75
100
5
25
36
75
115
125
135
123
133.8 131.1
5
25
135
3
25
145 133.8
,
18
75
A 类工人生产能力的平均数,B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的
估计值分别为 123,133.8 和 131.1.
(20)解:
(Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得
a c
a c
1
7
解得 a=4,c=3,
所以椭圆 C 的方程为
2
x
16
2
y
7
1.
(Ⅱ)设 M(x,y),P(x, 1y ),其中
x
4,4 .
由已知得
2
2
x
x
2
y
1
2
y
2
e
.
而
e ,故
3
4
16(
x
2
2
y
1
) 9(
x
2
2
y
).
①
由点 P 在椭圆 C 上得
代入①式并化简得 29
y
112,
所以点 M 的轨迹方程为
y
2
y
1
112 7
16
2
x
,
4 7 ( 4
3
轨迹是两条平行于 x 轴的线段
4),
x