2006 年内蒙古高考文科数学真题及答案
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3
至4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(选择题)
一.选择题
(1)已知向量 a
=(4,2),向量b
=( x ,3),且 a
//b
,则 x =
(A)9
(C)5
(B)6
{ |
M x x
(2)已知集合
(D)3
3},
N
x
| log
2
x
1
,则 M N
(B)
(D)
x
| 0
x
x
| 2
x
3
3
(A)
(C)
y
x
|1
x
3
(3)函数 sin 2 cos 2
x
x
的最小正周期是
(A) 2
(B) 4
(4)如果函数
y
( )
f x
的图像与函数
y
表达式为
(C) 4
(D) 2
的图像关于坐标原点对称,则
3 2
x
y
( )
f x
的
(A) 2
x
y
3
(B) 2
x
y
3
(C)
y
2
x
3
(D)
y
2
x
3
(5)已知 ABC
的顶点B、C在椭圆
2
x
3
2
y
1
外一个焦点在BC边上,则 ABC
的周长是
上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另
(A) 2 3
(B)6
(6)已知等差数列 na 中, 2
a
(C)380
(A)100
(B)210
(C) 4 3
(D)12
47,
a
15
,则前10项的和 10S =
(D)400
(7)如图,平面 平面,
A
,
B
,
与两平面、所成的角分别为 4
AB
和 6
。过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为 'A 、 ',B 若AB=12,则 '
'A B
A
B'
A'
B
(A)4
(B)6
(C)8
(D)9
(8)已知函数 ( )
f x
ln
x
1(
x
,则 ( )
f x 的反函数为
0)
y
1(
x
e
x R
)
(A)
y
1(
x
e
x R
)
(B)
y
(C)
x
1(
x
e
1)
y
(D)
x
1(
x
e
1)
y
x
4
3
,则双曲线的离心率为
(9)已知双曲线
5
3
(A)
2
2
x
a
2
2
y
b
1
4
3
(B)
(10)若 (sin ) 3 cos 2 ,
x
x
f
的一条渐近线方程为
5
4
(C)
3
2
(D)
则 (cos )
x
f
(A)3 cos2x
(B)3 sin 2x
(C)3 cos2x
(D)3 sin 2x
(11)过点(-1,0)作抛物线
y
2
x
的切线,则其中一条切线为
x
1
(A)2
x
y
2 0
(B)3
x
y (C)
3 0
x
y
1 0
(D)
x
y
1 0
(12)5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有
(A)150种 (B)180种 (C)200种
(D)280种
注意事项:
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
本卷共2页,10小题,用黑碳素笔将答案答在答题卡上。答在试卷上的答案无效。
二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在横线上。
4
(
x
101
)
x
(13)在
的展开式中常数项是_____。(用数字作答)
(14)圆 1o 是以 R 为半径的球 O 的小圆,若圆 1o 的面积 1S 和球 O 的表面积 S 的比为
1 :
S S
2 : 9
,则圆心 1o 到球心O 的距离与球半径的比 1 :OO R _____。
(15)过点 (1, 2) 的直线l 将圆
(
x
2
2)
2
y
4
分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,
直线l 的斜率 ____.
k
(16)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的
频率分布直方图(如下图)。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从
这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[2500,3000)(元)月收入段
应抽出_____人。
频率/组距
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
月收入(元)
三.解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
在
ABC
中,
B
45 ,
AC
10,cos
C
2 5
5
,求
(1)
BC
?
(2)若点 D AB是 的中点,求中线CD的长度。
(18)(本小题满分12分)
设等比数列 na 的前n项和为 nS , 4
S
(19)(本小题满分12分)
81,
S
17,
a
求通项公式
?
n
某批产品成箱包装,每箱5件,一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意出
取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品,其余为一等
品。
(I)求取6件产品中有1件产品是二等品的概率。
(II)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批
产品被用户拒绝的概率。
(20)(本小题12分)
如图,在直三棱柱
ABC A B C
1 1
1
1AC 的中点。
AB BC D
,
中,
(I)证明:ED为异面直线 1BB 与 1AC 的公垂线;
、E 分别为 1BB 、
C
1
E
C
AA
(II)设 1
AC
2
AB
,
求二面角 1
A AD C
1
的大小
B
1
D
B
A
1
A
(21)(本小题满分为14分)
设 a R , 函 数
( )
f x
2
ax
2
x
2 .
a
若 ( )
f x 的 解 集 为 A ,
0
B
x
|1
x
3 ,
A B
,求实数 a 的取值范围。
(22)(本小题满分12分)
已知抛物线
2
x
4
y 的焦点为F,A、B是热线上的两动点,且
AF
两点分别作抛物线的切线,设其交点为M。
(I)证明 FM AB
为定值;
FB
(
0).
过A、B
(II)设 ABM
的面积为S,写出
S
( )
f
的表达式,并求S的最小值。
2006 年内蒙古高考文科数学真题参考答案
一、选择题
题号 1
答案 B
2
D
3
D
4
D
5
C
6
B
7
B
8
B
9
A
10
C
11
D
12
A
二、填空题
(13)45;(14)
一.选择题
1
3
;(15) 2
2
;(16)25
(1)已知向量 a
=(4,2),向量b
=( x ,3),且 a
//b
,则 x =( B )
(A)9
解: a
//b
(B)6
(C)5
(D)3
4×3-2x=0,解得 x=6,选 B
(2)已知集合
{ |
M x x
3},
N
x
| log
2
x
1
,则 M N
( D )
(A)
(B)
x
| 0
x
3
(C)
x
|1
x
3
(D)
x
| 2
x
3
解:
N
x
log
2
x
1
x x
2
,用数轴表示可得答案 D
(3)函数 sin 2 cos 2
y
x
x
的最小正周期是(D
)
(A) 2
解析:
y
(B) 4
1
2
x
sin 2 cos 2
x
(C)
4
sin 4
x
所以最小正周期为
(D)
2
T
2
2
4
,故选 D
(4)如果函数
y
( )
f x
的图像与函数
y
的图像关于坐标原点对称,则
3 2
x
y
( )
f x
的
表达式为( D )
(A) 2
x
y
3
(B) 2
x
y
3
(C)
y
2
x
(D)
3
y
2
x
3
解:以-y,-x代替函数
y
,选 D
中的 x, y ,得
3 2
x
y
( )
f x
的表达式为
y
2
x
3
(5)已知 ABC
的顶点 B、C 在椭圆
2
x
3
2
y
上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的
1
另外一个焦点在 BC 边上,则 ABC
的周长是( C )
(A) 2 3
解:(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a,可得 ABC
(C) 4 3
(D)12
(B)6
周长为 4a= 4 3 ,所以选 C
的
(6)已知等差数列 na 中, 2
a
(A)100
(C)380
a
a
解:d= 4
4 2
15 7
2
(B)210
4
2
47,
a
15
,则前 10 项的和 10S =(B
)
(D)400
, 1a =3,所以 10S =210,选 B
(7)如图,平面 平面,
A
,
B
,
AB
与两平面、所
成的角分别为
4
和
6
。过 A、B 分别作两平面交线的垂线,垂足为 'A 、
',B 若 AB=12,则 '
'A B ( A )
(A)4
(B)6
(C)8
(D)9
A
B'
A'
B
解 : 连 接 AB A B
和 , 设 AB=a, 可 得 AB 与 平 面 所 成 的 角 为
BAB
4
, 在
Rt BAB
中有
AB
2
2
a
,同理可得 AB 与平面所成的角为
ABA
6
,所以
A A
1
2
a
,
Rt AA B A B
中
(
2
2
2
a
)
(
1
2
2
a
)
1
2
a
,所以
因此在
A
AB A B
:
'
'
a
:
1
2
a
2 :1
,故选
(8)已知函数 ( )
f x
ln
x
1(
x
,则 ( )
f x 的反函数为(B
0)
)
(A)
y
1(
x
e
x R
)
(B)
y
1(
x
e
x R
)
(C)
y
x
1(
x
e
1)
(D)
y
x
1(
x
e
1)
解:
y
ln
x
1(
x
选 B
0)
ln
1
x
x
y
e
y
1
(
y R
所以反函数为
)
y
1(
x
e
x R
故
)
(9)已知双曲线
2
2
x
a
的一条渐近线方程为
1
y
x ,则双曲线的离心率为( A )
4
3
2
2
y
b
4
3
(B)
(A)
5
3
解:双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得
(C)
5
4
(D)
b
a
4
3
,
e
可得
3
2
c
a
2
4
2
3
3
5
3
,故选 A
f
(10)若 (sin ) 3 cos 2 ,
x
x
(A)3 cos2x
解:
f
(sin ) 3 cos 2
x
(B)3 sin 2x
x
3 (1 2sin
(C)3 cos2x
2
x
2sin
x
)
2
(D)3 sin 2x
2
则 (cos )
x (C
f
)
所以
( )
f x
2
x
2
,因此
2
f
(cos )
x
2cos
2
x
2 (2cos
2
x
1) 3 3 cos 2
x
故选 C
(11)过点(-1,0)作抛物线
y
2
x
的切线,则其中一条切线为( D )
x
1
(A) 2
x
y (B)3
2 0
x
y (C)
3 0
x
y (D)
1 0
x
y
1 0
解:
y
2
x
1
,设切点坐标为 0
x y ,则切线的斜率为 2 0 1
x ,且
(
)
,
0
y
0
2
x
0
0 1
x
于是切线方程为
y
2
x
0
x
0
1 (2
x
0
1)(
x
0x =0 或-4,代入可验正 D 正确。选 D
,因为点(-1,0)在切线上,可解得
x
0
)
(12)5 名志愿者分到 3 所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有
( A )
(A)150 种
解:人数分配上有两种方式即 1,2,2 与 1,1,3
(B)180 种
(D)280 种
(C)200 种
若是 1,2,2,则有
3
1
1
C C C
5
1
2
2
A
2
所以共有 150 种,选 A
=60 种,若是 1,1,3,则有
3
A
3
2
2
1
2
C C C
4
5
2
A
2
=90 种
3
A
3
二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在横线上。
第Ⅱ卷
(13)在 4
x
(
解:
rT
1
101
)
x
(
r
C x
10
的展开式中常数项是 45。(用数字作答)
4 10
)
r
(
1
x
r
)
r
C x
10
40 5
r
要求常数项,即 40-5r=0,可得 r=8 代入通项公式可
得
rT
1
8
C
10
2
C
10
45
(14)圆 1O 是以 R 为半径的球 O 的小圆,若圆 1O 的面积 1S 和球 O 的表面积 S 的比为
1 :
S S
2 : 9
,则圆心 1O 到球心O 的距离与球半径的比 1 :OO R 1 3。
解:设圆 1O 的半径为 r,则 1S = 2r , S =
4 R ,由 1 :
S S
2
2 : 9
得 r R= 2 2 3
又 2
2
r OO
1
2
,可得 1 :OO R 1 3
R
(15)过点 (1, 2) 的直线l 将圆
(
x
2
2)
2
y
分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,
4
直线l 的斜率 ____.
k
解:(数形结合)由图形可知点 A (1, 2) 在圆
(
x
2
2)
2
y
的内部, 圆心为 O(2,0)要使得
4
劣弧所对的圆心角最小,只能是直线l OA
,所以
k
l
1
k
OA
1
2
2
2
(16)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得数据画了样本的
频率分布直方图(如下图)。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从
这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则在[2500,3000)(元)月收入
段应抽出_____人。
解:由直方图可得[2500,3000) (元)月收入段共有10000 0.0005 500 2500
人
按分层抽样应抽出
2500
100
10000
人
25
频率/组距
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
月收入(元)
三、解答题
17、解:(1)由
cos
C
2 5
5
得
sin
C
5
5
sin
A
sin(180
45
C
)
2
2
(cos
C
sin )
C
3 10
10
由正弦定理知
BC
AC
sin
B
sin
A
3 2
10 3 10
10
2
2
AB
(2)
AC
sin
B
sin
C
5
5
2
10
2
2
BD
1
2
AB
1
由余弦定理知
CD
2
BD BC
2
2
1 18 2 1 3 2
cos
B
BD BC
2
2
13
(18)解:设{ }na 的公比为 q,由 4
S
81,
S
17
知
q
1
,所以得
1(
a q
q
4
1
1) 1
……………………………………①
1(
a q
q
8
1
1) 17
由①、②式得
……………………………………②
整理得
8
4
q
q
1 17
1
解得 4 16
q
所以 q=2 或 q=-2
将 q=2 代入①式得 1
a ,
1
15
所以
a
12
n
15