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2007辽宁考研数学三真题及答案.doc
二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或
（22）（本题满分11分）
（Ⅰ）求参数的矩估计量
二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或
（22）（本题满分11分）
（Ⅰ）求参数的矩估计量
（Ⅰ）记，则
（Ⅱ）只须验证是否为
2007 辽宁考研数学三真题及答案
一．选择题（本题共 10 分小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只有
一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）
（1） 当
x
时，与 x 等价的无穷小量是（ ）
0
A .1
xe
.ln(1
B
x
)
C
. 1
x
1
D
.1 cos
x
（2） 设函数 ( )
f x 在 0
x 处连续，下列命题错误的是：
(
)
A .若
lim
0
x
.C .若
lim
0
x
( )
f x
x
( )
f x
x
存在，则 (0) 0
f
存在，则 '(0)
f
存在
( )
f x
( )
f x
.B 若
lim
0
x
.D 若
lim
0
x
x
x
f
(
x
)
存在，则 (0) 0
f
f
(
x
)
存在，则 '(0)
f
存在
（3） 如图.连续函数
y
( )
f x
在区间
3, 2 , 2,3
上的图形分别是直径为 1 的上、下
半圆周，在区间
则下列结论正确的是：（ ）
2,0 , 0,2
上图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设
( )
F x
x
0
f
( )
t dt
,
.A .
(3)F
.C ( 3)
F
3 ( 2)
F
4
3 (2)
F
4
.B (3)F
.D ( 3)
F
5 (2)
F
4
5 ( 2)
F
4
（4） 设函数 ( ,
f x y 连续，则二次积分
)
1
0
.A
.C 1
dy
0
dy
( ,
f x y dx
)
arcsin
x
arcsin
y
2
( ,
f x y dx
)
2
dx
.B 1
.D 1
0
0
1
sin
( ,
f x y dy
)
x
等于（ ）
dy
dy
2
( ,
f x y dx
)
arcsin
y
arcsin
y
( ,
f x y dx
)
（5） 设某商品的需求函数为
Q
160 2
，其中Q ，分别表示需要量和价格，如果该
商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是（ ）
.A 10
.D 40
y
渐近线的条数为（ ）
.B 20
),x
e
.C 30
（6） 曲线
.A 0
1 ln(1
x
.B 1
（7）设向量组线性 无关，则下列向量组线相关的是(
.C 2
.D 3
)
（A） 1
2
,
,
1
2
1
3
(B) 2
1
,
,
1
2
3
3
（C） 1
1
2 ,
3
2
2
,
2
2
3
(D) 1
1
2 ,
3
2
2
,
2
2
3
- 1 -
（8）设矩阵
2
1
1
（A）合同，且相似
A
(C) 不合同，但相似
1
2
1
1
1
2
，
B
1 0 0
0 1 0
0 0 0
则 A 与 B （ ）
(B) 合同，但不相似
(D) 既不合同，也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第 4 次射击恰好第
2 次命中目标的概率为 (
)
(
)3 (1
A p
p
)
2
(
)3
C p
2
(1
p
)
2
(
)6 (1
B p
p
)
2
(
)6
D p
2
(1
p
)
2
(10) 设随机变量(
)X Y 服从二维正态分布，且 X 与Y 不相关， ( ),
f x
x
,
f
y
( )
y 分别表示 X, Y
的概率密度，则在Y
y 条件下， X 的条件概率密度 (
X Y x y
f
)
为(
)
（A） ( )
x
Xf
(C)
( )
f x f
x
y
( )
y
(B)
yf
( )
y
(D)
( )
f x
x
( )
y
f
y
二、填空题：11-16 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上
（11）
lim
x
1
x
3
2x
x
2
3
x
(sin
x
cos )
x
________
.
（12）设函数
y
1
x
2
3
，则 ( )(0)
ny
_________
.
（13）设 ( , )
f u v 是二元可微函数，
z
f
(
y x
,
x y
),
则
z
x
zy
y
________.
（14）微分方程
（15）设距阵
A
dy
dx
y
x
1 (
2
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
y
x
,
3
)
满足 1 1
xy 的特解为__________.
则 3A 的秩为_______.
(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于
1
2
的概率为________.
三、解答题：17－24 小题，共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
（17）（本题满分 10 分）
设函数
y
( )
y x
由方程 ln
y
y
确定，试判断曲线
y
x
0
y
( )
y x
在点（1，1）附近
- 2 -
的凹凸性.
（18）（本题满分 11 分）
设二元函数
2
.
x
y
( ,
.
f x y d
1
x
)
2
x
y
1.
,
2
1
x
y
2.
其中
D
( ,
x y x
)
y
2
( ,
f x y
)
计算二重积分
D
（19）（本题满分 11 分）
设函数 ( )
f x ， ( )g x 在
,a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又 ( )
f a ＝ ( )g a ，
f b ＝ ( )g b ，证明：
( )
（Ⅰ）存在 ( , ),
a b
（Ⅱ）存在 ( , ),
a b
使得 ( )
( )
g
f
；
使得 ''( )
g
''( ).
f
（20）（本题满分 10 分）
1
3
x
( )
f x
将函数
2
展开成 1x 的幂级数，并指出其收敛区间.
4
(21)(
设线性方程组
x
11 )
本题满分 分
x
1
x
1
x
1
x
3
a
0
0
0
(2)
有公共解，求 的值及所有公共解
x
x
3
2
2
ax
x
3
2
2
4
a x
x
3
2
1
a
与方程
x
2
x
1
2
(1)
（22）（本题满分 11 分）
设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1
3
2,
1,
2
2,
1
(1, 1,1) T
是 A 的属于 1的一
个特征向量.记
B A
5
34
A
，其中 E 为 3 阶单位矩阵.
E
（Ⅰ）验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；
（Ⅱ）求矩阵 B.
（23）（本题满分 11 分）
设二维随机变量 (
)X Y 的概率密度为
,
( ,
f x y
)
x
2
0,
其他
y
,0
x
1,0
y
1.
（Ⅰ）求
P X
2
Y
；
- 3 -
（Ⅱ）求 Z X Y
的概率密度 ( )
z .
Zf
（24）（本题满分 11 分）
设总体 X 的概率密度为
( ;
f x
)
x
,
,
x
1,
.
1 ,0
2
1
2(1
)
0,
其他
其中参数 (0
未知， 1
X X
1)
,
,...
2
X 是来自总体 X 的简单随机样本， X 是样本均值.
n
（Ⅰ）求参数的矩估计量 ；
（Ⅱ）判断
24X 是否为 2 的无偏估计量，并说明理由.
参考答案
一、选择题（本题共 10 分小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只有
一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）
（1） 当
x
时，与 x 等价的无穷小量是（B）
0
A .1
xe
.ln(1
B
x
)
C
. 1
x
1
D
.1 cos
x
（2） 设函数 ( )
f x 在 0
x 处连续，下列命题错误的是：
(D)
A .若
lim
0
x
.C .若
lim
0
x
( )
f x
x
( )
f x
x
存在，则 (0) 0
f
存在，则 '(0)
f
存在
( )
f x
( )
f x
.B 若
lim
0
x
.D 若
lim
0
x
x
x
f
(
x
)
存在，则 (0) 0
f
f
(
x
)
存在，则 '(0)
f
存在
（3） 如图.连续函数
y
( )
f x
在区间
3, 2 , 2,3
上的图形分别是直径为 1 的上、下半
圆周，在区间
下列结论正确的是：（C ）
2,0 , 0,2
上图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设
( )
F x
.A .
(3)F
.C ( 3)
F
3 ( 2)
F
4
3 (2)
F
4
.B (3)F
.D ( 3)
F
5 (2)
F
4
5 ( 2)
F
4
x
0
f
( )
t dt
,
则
- 4 -
（4） 设函数 ( ,
f x y 连续，则二次积分
)
dx
( ,
f x y dy
)
等于（B）
x
1
0
.A
.C 1
dy
0
dy
( ,
f x y dx
)
arcsin
x
arcsin
y
2
( ,
f x y dx
)
2
.B 1
.D 1
0
0
dy
dy
sin
1
2
( ,
f x y dx
)
arcsin
y
arcsin
y
( ,
f x y dx
)
（5） 设某商品的需求函数为
Q
160 2
，其中Q ，分别表示需要量和价格，如果该
商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是（D）
.A 10
（6） 曲线
y
.A 0
.B 20
1 ln(1
x
.B 1
.C 30
e
),x
渐近线的条数为（D）
.C 2
.D 40
.D 3
（7）设向量组线性 无关，则下列向量组线相关的是
(A)
（A） 1
2
,
,
1
2
1
3
(B) 2
1
,
,
1
2
3
3
(C) 1
1
2 ,
3
2
2
,
2
2
3
(D) 1
1
2 ,
3
2
2
,
2
2
3
（8）设矩阵
2
1
1
（A）合同，且相似
A
(C) 不合同，但相似
1
2
1
1
1
2
，
B
1 0 0
0 1 0
0 0 0
则 A 与 B （B）
(B) 合同，但不相似
(D) 既不合同，也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第 4 次射击恰好第
2 次命中目标的概率为 (C)
(
)3 (1
A p
p
)
2
(
)3
C p
2
(1
p
)
2
(
)6 (1
B p
p
)
2
(
)6
D p
2
(1
p
)
2
(10) 设随机变量(
)X Y 服从二维正态分布，且 X 与Y 不相关， ( ),
f x
x
,
f
y
( )
y 分别表示 X, Y
的概率密度，则在Y
y 条件下， X 的条件概率密度 (
X Y x y
f
)
为
(A)
（A） ( )
x
Xf
(C)
( )
f x f
x
y
( )
y
(B)
yf
( )
y
(D)
( )
f x
x
( )
y
f
y
二、填空题：11-16 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上
（11）
lim
x
1
x
3
2x
x
2
3
x
(sin
x
cos )
x
___ 0 _________
.
- 5 -
（12）设函数
y
1
x
2
3
，则 ( )
n
y
(0)
__
n
( 1) 2 !
n
n
1
n
3
_________
.
（ 13 ） 设
( , )
f u v 是 二 元 可 微 函 数 ，
z
f
(
y x
,
x y
),
则
z
x
y
z
y
2
y
x
f
'
1
(
y x
x y
,
) 2
x
y
f
'
2
(
y x
x y
,
)
.
（14）微分方程
dy
dx
y
x
1 (
2
y
x
3
)
满足 1 1
xy 的特解为
2
y
2
x
1 ln
.
x
（15）设距阵
A
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
,
则 3A 的秩为＿＿1＿＿＿.
(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于
1
2
的概率为＿
3
4
＿.
三、解答题：17－24 小题，共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
（17）（本题满分 10 分）
设函数
y
( )
y x
由方程 ln
y
y
近的凹凸性.
【详解】：
确定，试判断曲线
x
y
0
y
( )
y x
在点（1，1）附
对方程两边求导得
'
y
ln
y
'
2
y
1 0
y
'
1
2 ln
y
从而有
'
y
x
1
1
2 ln1
1
2
再对两边求导得
''
y
(2 ln )
y
'
y
1
y
'
y
求在(1,1)的值：
所以
y
( )
y x
'
2
y
(
)
1(2 ln1)
1
''
x
1
y
x
在点 处是凸的
(1,1)
0
''
y
' 2
)
(
(2 ln )
y
y
y
1
8
0
（18）（本题满分 11 分）
设二元函数
( ,
f x y
)
2
x
.
x
y
1.
1
2
x
,
2
y
1
x
y
2.
- 6 -
计算二重积分
D
( ,
.
f x y d
)
其中
D
( ,
x y x
)
y
2
【详解】：积分区域 D 如图，不难发现 D 分别关于 x 轴和 y 轴对称，设 1D 是 D 在第一象限中
的部分，即
D D
1
( ,
x y x
)
0,
y
0
利用被积函数 ( ,
f x y 无论关于 x 轴还是关于 y 轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可
)
得
D
设
( ,
)
f x y d
4
( ,
)
f x y d
D
1
D D
1
11
D
12
，
其
中
D
11
( ,
x y x
)
y
1,
x
0,
y
0 ,
D
12
( ,
x y
) 1
x
y
2,
x
0,
y
0
于是
D
( ,
)
f x y d
4
( ,
)
f x y d
4
( ,
)
f x y d
4
( ,
)
f x y d
D
12
D
1
4
D
11
2
x d
4
D
12
11
D
( ,
)
f x y d
由于
D
11
( ,
x y
) 0
x
1,0
，故
x
y
1
2
x d
D
11
1
0
2
x dx
1
x
0
dy
1
0
2
x
(1
)
x dx
1
3
1
4
1
12
为计算 12D 上的二重积分，可引入极坐标 ( ,
r 满足
)
x
r
cos ,
r
y
sin
.在极坐标系
( ,
r 中
)
x
y 的方程是
1
r
1
cos
sin
,
x
y
2
的方程是，
r
2
cos
，因
sin
而
D
12
0
,
2 cos
1
r
sin
2
cos
sin
，故
2
0
d
2
2
sin
1
sin
cos
cos
r
r
dr
2
0
1
cos
d
sin
令 tan
作换元，则 2arctan t
t
，于是 : 0
且
: 0
1
t
2
D
12
d
d
2
y
x
2
2
dt
2
1
t
,cos
2
2
1
1
t
t
,sin
2
t
t
2
1
，代入即得
- 7 -
d
2
y
x
2
2
0
D
12
=
0
1
1
cos
2
du
2
u
2
2
2
ln
1
2
u
u
sin
0
d
1
2
du
2
u
1
2
1
0
2
1
0
ln
1
2
dt
1 2
t
1
2
2 1
2 1
(
0
1
0
2
t
1
2
u
2
dt
)
2(1
t
1
2
(1
t
u
)
2
du
)
u
2 ln( 2 1)
综合以上计算结果可知
1
12
( ,
4
f x y d
)
D
4ln( 2 1)
1
3
4ln( 2 1)
（19）（本题满分 11 分）
设函数 ( )
f x ， ( )g x 在
,a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又 ( )
f a ＝ ( )g a ，
f b ＝ ( )g b ，证明：
( )
（Ⅰ）存在 ( , ),
a b
（Ⅱ）存在 ( , ),
a b
使得 ( )
( )
g
f
；
使得 ''( )
g
''( ).
f
【 详 解 】： 证 明 ： (1) 设 ( ),
f x g x 在 ( , )a b 内 某 点 ( , )
a b
( )
c
同 时 取 得 最 大 值 ， 则
( )
f c
( )
g c
，此时的 c 就是所求点
使得
f
( )
( )
g
.若两个函数取得最大值的点不同
则有设 ( ) max ( ),
f x g d
f c
( ) max ( )
g x
故有 ( )
f c
( ) 0,
g c
( )
g d
( ) 0
f d
，由介
值定理，在 ( ,
c d 内肯定存在
)
使得
f
( )
( )
g
(2)由(1)和罗尔定理在区间 ( ,
a
b 内分别存在一点
),( , )
1
2
,
,
使得
f
'
(
1
)
f
＝
'
(
2
)
＝0 在
区间 1
2
(
) 内再用罗尔定理，即
,
存在
( , )
a b
f
，使得
''
( )
g
''
( )
.
（20）（本题满分 10 分）
1
3
x
( )
f x
将函数
x
2
【详解】：
展开成 1x 的幂级数，并指出其收敛区间.
4
- 8 -
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