本文主要是通过一般的传播机理分析并建立相应的数学模型对谣言传播情况的研究。在模型 中主要沿用类似传染病模型的 SI、SIS 模型，使用图形分析和微分方程理论并用数学软件 MTALAB 对模型进行求解，从而描述谣言传播发展变化的过程和传播规律，以维护人类的 健康与社会经济的平稳发展。 关键词：微分方程、谣言传播、图形分析 一问题的重述 设某城市共有 n+1 人，其中一人出于某种目的编造了一个谣言，于是就利用他所认识 的人开始传播这个谣言。该城市具有初中以上文化程度的人占总人数的比例为 p，这些人只 有 a%相信这一谣言，而其他人约有 b%会相信。又设相信此谣言的人每人在单位时间内传 播的平均人数正比于当时尚未听说此谣言的人数，而不相信此谣言的人不传播谣言。试建立 一个反映谣言传播情况的数学模型，并简单分析其规律。 二 模型假设 （1）在消息传播过程中，不考虑该地区出生与死亡和人群的迁入迁出情况，总人数不随时 间的变化而变化，记为 n+1。 （2）在消息传播过程中，人群分为知道消息的人和不知道消息的人，且在知道消息的人群 分为相信信息并传播的人和不相信信息不传播的人。不同类的人在人群中混合均匀。 （3) 设单位时间内一个传播者能有效传播的平均人数为常数 k 三 符号说明 1.S(t)为在 t 时刻不知道消息的人占总人群的比例 2.I(t)为在 t 时刻知道消息的人占总人群的比例 3.S(t)+I(t)=1 S(t),I(t)是关于时间 t 的连续可导函数 4.σ是传播期内每个传播者有效传播的平均人数，称为传播数 5.h 单位时间内一个传播者传播给已经知道消息人的人数为常数 四 模型建立 4.1 模型1（SI 模型） 考察 t 到 t+△t 时间内知道消息的人数的变化情况： 在这段时间内，知道消息的人增加了(n+1)[I(t+△t )-I(t)]。 每个传播者在单位时间内可使 k*S(t)个人知道消息,因为传播者数为（n+1）I（t） 因此，可列出满足条件的方程： (n+1)[I(t+△t )-I(t)] = k*S(t)*(n+1)*I(t)*△t 上式两边同除以△t，即得微分方程 

dI(t)/dt = k*I(t)*S(t) 因为 I(t)+S(t)=1 且 I(0) = 1/(n+1) 得 dI(t)/dt = k*I(t)*[1-I(t)] 用 MATLAB 求解 >> I(t)=dsolve('DI(t)=k*I（t）*(1-I(t))','I(0)=1/(n+1)','x') I(t)=1/(1+(1/(n+1)-1)exp(-k*t)) I(t)—t 的图形如下图所示(令 N=10000,k=3)： >> ezplot('1/(1+(1/(n+1)-1)exp(-k*t))',[0,20])） dI(t)/dt—I(t)的图形如下图所示： >> ezplot('k* I(t)*(1- I(t))',[0,1])） 由图 1、图 2 可知： 当 I(t)=1/2 时 dI(t)/dt 达到最大值,这个时刻为： tm=ln(1/(n+1)-1)/k 4.1.1分析与解释： ① tm 是知道消息的人增加的速率取最大值的时刻，预示着传播高峰时刻的到来； ②当传播强度 k 增加时，tm 将变小，即传播高峰来得更快，这与实际情况相吻合； ③ 当 t->∞时，I(t)->1,这意味着随着时间的推移最终人人都会知道，显然这与实际不相 符。原因之一是在证实谣言的事实到来之时，总会有一些人未被通知；原因之二是有一部分 人会被重复通知。 所以提出如下改进模型 4.2 模型2(SIS 模型) 在模型Ⅰ的基础上增加一个假设： (4)单位时间内一个传播者传播给已经知道消息人的人数为常数 h。 模型 1 改为如下的模 2： dI(t)/dt=k*S(t)*I(t)-h*I(t) I(0)=1/(n+1) 令 σ=k/h，则上式可变形为： dI(t)/dt= -k*I(t)*[I(t)-(1-1/σ)] I(0)=1/(n+1) 用 MATLAB 求解 

>> I(t)=dsolve('D I(t)=k*(1- I(t))* I(t)-h* I(t)','I(0)=1/(n+1)','t') I(t) = -(h - k)/(k - exp((h - k)*(x + log(h + n*h - n*k)/(h - k)))) I(t)—t 的图形如下图所示(令 N=10000,k=3,h=1) σ.>1 >>ezplot('2/(3-exp((-2)*(1/4*x+log(1+10000-10000*3)/(-2))))',[0,35]) dI(t)/dt—I(t)的图形如下图所示：（k=100，h=20） σ.>1 >>ezplot('100*(1-x)*x/4-20*(x/4)',[0,1]) I(t)—t 的图形如下图所示(令 N=10000,k=3,h=5) σ<=1 >>ezplot('-2/(3-exp(2*(1/4*x+log(5+10000*5-10000*3)/2)))',[0,20]) dI(t)/dt—I(t)的图形如下图所示：（k=3 , h=4） σ<=1 >>ezplot('3*(1-x)*x/4-4*x/4',[0,50]) 4.2.1 分析与解释: (1)不难看出，传播数σ=1 是一个临界值。当σ>1，由图 3 可知，I(t)的增减性取觉于 n 的大小，若 I(0)< 1-1/σ, dI(t)/dt >0, I(t) 单调递增趋于 1-1/σ；若 I(0)>1-1/σ， dI(t)/dt <0, (2)当σ<=1 时，由图 5 可知 dI(t)/dt <0, I(t) 随 t 的增大单调递减趋于 0，即在传播 期内每个传播者传播的人数不超过 1，这时谣言传播将会被完全控制。 I(t) 单调递减趋于 1-1/σ。 五 模型的应用 该模型使用了微分方程数值计算、图形观察、理论分析的方法，有感性认识（图表），也有 理论分析，同时结合数学软件 MATLAB 得出模型结果。它们比较全面的达到了建模的目的， 即描述传播过程，分析传播人数的变化规律，预测高潮到来时刻，度量蔓延的过程并为探索 制止蔓延的手段措施提供依据。 六 参考文献 [1]姜启源，数学模型（第三版），北京，高等教育出版社，2009 [2]刘卫国，MATLAB 程序设计与应用（第二版），北京，高等教育出版社，2006