2016北京高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2016 北京高考理科数学真题及答案本试卷共 5 页，150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合 A= B= ，则（）。（A）（C）【参考答案】C （B）（D）【答案解析】集合 { || x x A  | 2} { | 2   x    ，而 B= 2} x ，因此可得 A B   { 1,0,1} I ，故选择 C。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第一章《集合》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（2）若 x,y满足，则 2x+y的最大值为（）。（A）0 （C）4 【参考答案】C 【答案解析】可行域如下图阴影部分，目标函数平移到如图虚线处取得最大值，对应的点为（1,2），故可得最大值为 2×1+2=4，选择 C。（B）3 （D）5 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第四章《函数的值域、最值求法及应用》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

（3）执行如图所示的程序框图，若输入的 a值为 1，则输出的 k值为（）。（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【参考答案】B 【答案解析】开始 1, k a  ；第一次循环 0 a   1 , 2 k  ； 1 第二次循环 a   2, k  ；第三次循环 1a  ， 1 条件判断为“是”，跳出循环，此时 2 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第十三章《算法与统计》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 k  。（4）设 a,b 是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（）。（B）必要而不充分条件（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【参考答案】D 【答案解析】若|a|=|b|，则以|a|和|b|组成的平行四边形是菱形，而|a+b|和|a-b|分别表示菱形的对角线，而菱形的对角线是不一定相等的；反之，若|a+b|=|a-b|，那么以|a|和|b|组成的平行四边形为矩阵，而矩阵的相邻的两条边也不一定相等，因此选择 D。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第十五章《常用逻辑语》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（5）已知 x,y R,且 x y o，则（）。（A） - （B）（C）－ ( 0 （D）lnx+lny 【参考答案】C 【答案解析】因为 x y 0，因此有＜，故） - ，因此 A 错误，而正弦函数在 (0，+∞)上不是单调的，所以sin x 和sin y 的大小是不能确定的，故 B 错误，而指数函数 ∞)上是递减的，所以 1 ( 2  ，因此 C 正确，而 D 选项中的 ln ，故 1 ( 2 1 2 1 2 x ) y ) y )  (  ( x ) 1( 2 y  y   ln 在(0，+ ln xy ， x x ) 0 它在(0，+∞)的正负是不确定的，故 D 错误。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第二章《函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺

班中均有涉及。 (6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）。（A）（B）（C）（D）1 【参考答案】A 【答案解析】通过三视图可以得到下图所示的三棱锥，它的高为 1h  ，底面积为得体积为 V  1 3 Sh  。 1 6 S     ，因此可 1 1 1 2 1 2 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第十一章《立体几何》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 (7)将函数图像上的点 P（，t ）向左平移 s（s﹥0）个单位长度得到点 P′.若 P′ 位于函数的图像上，则（）。（A）t= ，s的最小值为（B）t= ，s的最小值为（C）t= ，s的最小值为（D）t= ，s的最小值为

【参考答案】A 【答案解析】由题意 P′是 P（，t）向左平移 s，因此可得 '( P s t , ) 4  ，它在 sin 2  y x 上，因此有 t t    ，而 P 在 sin(2  y ) s 4 s   ，故选择 A。 6 sin 2( 1 , 2 x  )  ，故可得 sin(2 3  t    ) 4 3  ，通过这两个式子，可解得【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）。（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【参考答案】B 【答案解析】取两个球往盒子中放有 4 种情况： ①红+红，则乙盒中红球数加1个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个； ③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机． ③和④对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响． ①和②出现的次数是一样的，所以对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样。综上，选 B，【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．第二部分（非选择题共 110 分）（9）设 a R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则 a=_______________。【参考答案】-1 【答案解析】 (1  )( i a i 1 (     a ) a  ，而它对应的点位于实轴上，因此可得 1 0 1) i a   ，故 a   。 1 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）

【参考答案】60 【答案解析】根据二项式定理可知， 2x 的项为 2 C 6 6 ( 2 )  x  2 60 x ，因此系数为 60。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第十六章《计数技巧》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（11）在极坐标系中，直线与圆交于 A，B 两点，则 =____________________. 【参考答案】2 x 【答案解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算，      cos , sin  y x ，则直线方程为：  3 y 1 0   ，圆的方程为：   2cos  也就是 2    2 cos  ，转化为直角坐标系方程为： 2 x  2 y  即 2 x ( x  1) 2  2 y 1  ，圆心为（1,0）正好在直线上，因此|AB|为直径，故|AB|=2。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第十章《直线与圆》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（12）已知为等差数列，为其前 n 项和，若，，则 . 【参考答案】6 a 【答案解析】 3 Q  a 5  2 a 4 Q a 4  0 a ， 1 Q  6, a 4  a 1     3 d d 2 S ，因此可得 6  6 a 1  6 5 d 2  。 6 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第六章《数列》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（13）双曲线的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点。若正方形 OABC 的边长为 2，则 a=_______________. 【参考答案】2 【答案解析】不妨设 B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则图像如下图，因为 OABC 为正方形，|OA|=2， c OB 所以 | | 2 2,   两个条件可得 2a  。  AOB  4  ，又知 OA 为渐近线，故 b a  tan  AOB  ，而 2 a 1  2 b  2 c  ，根据这 8

【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第十二章《圆锥曲线的方程与性质》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（14）设函数 ①若 a=0，则 f(x)的最大值为____________________； ②若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是_________________。【参考答案】①2；② 【答案解析】由 3 x (  1 a   3 )' 3 x  2 x   可得 3 0 x   ，如下图所示，若 a=0，那么最大值为 1     ，通过图像可以知道当 3 ( 1) 2 a   时，有最大值为 ( 1) f  ，因此若无最大值，则 1 3 ( 1) ( 1) f    1 a   。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第五章《函数图像的画法及应用》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。三、解答题（共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题 13 分）在  ABC 中， 3 c a （I）求 B 的大小  3  3 b  2 ac

（II）求 2 cos A 【参考答案】（1）的最大值 cos C  B    ；（2）1。 4 b  b  2 a 2 ac  2 ac  2 c b   2 ac 2 【答案解析】（1）  Q   a a c c 2 2 2 2 2 2  cos B   4   B （2） Q A B C      A C    3 4  2 ac 2 ac  2 2  2 cos A  cos C  2 cos A (   2 2 cos ) A  2 2 sin A cos A  sin A  sin( A  2 2  ) 4  2 2 A C  Q A    3  4 3(0, )  4   ( ,    4 4 A  )  的最大值为 1。 4 所以sin( )  A 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（16）（本小题 13 分）A、B、C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）； A 班 B 班 C 班 6 6 3 6.5 7 7 8 7.5 8 9 10 11 12 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （I）试估计 C 班的学生人数；（II）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（III）再从 A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7，9，8.25（单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记，表格中数据的平均数记为，试判断

和的大小，（结论不要求证明）【参考答案】（I）40；（II） 3 8 【答案解析】；（III） 1 0  。  100  ，因此 C 班的学生人数为 40。（I）因为 8 20 （II）在 A 班取到每个人的概率都是相同的，均为 1 5 40 ，设 A 班中取到第 i 个为事件 , iA i  1,2,3,4,5 ，在 C 班中取到第 j 个人为事件 , jC j  1,2,3,4,5,6,7,8 ， i A C 的概率为事件 D，则可得： j ) ( P D            。 1 3 1 3 1 3 1 4 5 8 5 8 1 2 5 8 0  ，三组的平均数为 7，9，8.25，总均值 0 （III） 1 5 8 5 8 3 8 8.2  ，但 1 中多加了三个数 7，9，8.25，平均值为 8.08，比 0 小，故拉低了平均值。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（17）（本小题 14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD  平面 ABCD，PA  PD ,PA=PD,AB  AD,AB=1,AD=2,AC=CD= 5 , （I）求证：PD  平面 PAB; （II）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；（III）在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BMll 平面 PCD?若存在，求 AM AP 的值；若不存在，说明理由。【参考答案】（I）略；（II） 3 3 ；（III）存在， AM AP  。 1 4 【答案解析】（I）

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